12. 如图, 在四边形ABCD中, ∠A = ∠ABC = 90°, DB平分∠ADC. 若AD = 1, CD = 3, 则sin∠ABD = .

12.$\frac{\sqrt{6}}{6}$

13. 如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上,若∠CAE=15°,则CE的长为.

13.$4\sqrt{3}-4$

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5,\sin∠ ABC=\dfrac{3}{5}$.
(1)求$BC$的长.
(2)$BE$是$AC$边上的高,请你补全图形,并求$BE$的长.

14.解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∴ $\sin∠ABC=\frac{AD}{AB}$,
∴ $AD=AB·\sin∠ABC=5×\frac{3}{5}=3$,
∴ $BD=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵ AB=AC,
∴ BC=2BD=8.
(2)补全图形,如图所示.
∵ AB=AC,
∴ ∠ACB=∠ABC,
∴ $\sin∠ACB=\sin∠ABC=\frac{3}{5}$.
∵ BE⊥AC于点E,$\sin∠ECB=\frac{BE}{BC}$,
∴ $BE=BC·\sin∠ECB=8×\frac{3}{5}=\frac{24}{5}$.

15.[新定义]我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图1,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的邻对记作can B,这时can B=$\frac{底边}{腰}$=$\frac{BC}{AB}$.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解下列问题:
(1)can 30°=,若can B=1,则∠B=.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,can B=$\frac{8}{5}$,$S_{△ ABC}=48$,求△ABC的周长.

15.解:(1)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵ AB=AC,AD⊥BC,
∴ BC=2BD.
∵ ∠B=30°,
∴ $BD=AB\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$,
∴ $BC=2BD=\sqrt{3}AB$,
∴ $\mathrm{can}\ 30°=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}AB}{AB}=\sqrt{3}$.
若$\mathrm{can}\ B=1$,
∴ $\mathrm{can}\ B=\frac{BC}{AB}=1$,
∴ BC=AB.
∵ AB=AC,
∴ AB=BC=AC,
∴ △ABC是等边三角形,
∴ ∠B=60°.
答案:$\sqrt{3}\ \ 60°$
(2)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,
∵ $\mathrm{can}\ B=\frac{8}{5}$,
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{8}{5}$,
∴ 设BC=8x,则AB=5x.
∵ AB=AC,AD⊥BC,
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=4x$,
∴ $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=3x$.
∵ $S_{△ABC}=48$,
∴ $\frac{1}{2}BC·AD=48$,
∴ $\frac{1}{2}×8x×3x=48$,
∴ $x^2=4$,
∴ x=2(负值舍去),
∴ AB=AC=10,BC=16,
∴ △ABC的周长为36.