19.「2025广西桂林期末，★★☆」(9分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,B,C,E$在同一条直线上,且$∠ D=∠ CAE$.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ECA$.
(2)若$AC=6$,$CE=4$,求$BD$的长度.

19.解析 (1)证明:$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ ABD=∠ ACE$,
又$\because ∠ D=∠ CAE,\therefore △ ABD∽ △ ECA$.
(2)$\because △ ABD∽ △ ECA,\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{CA}{EC}$,
$\because AB=AC,AC=6,CE=4$,
$\therefore \frac{BD}{6}=\frac{6}{4},\therefore BD=9$.

20.「2026河南南阳期中，★★☆」(9分)小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度.如图,河流两侧河岸平行,他在河的对岸选定一个目标作为点A,再在这一侧的河岸边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,连接DE,使得DE//BC.经测量,BC=80米,DE=200米,且点E到河岸BC的距离为360米.过点A作AF⊥BC,垂足为点F(AF的长即为河流的宽度),请你根据提供的数据计算河流的宽度.

20.解析 如图,过点 E 作$EH⊥ FB$,垂足为点 H,

$\because DE// BC,\therefore △ ABC∽ △ ADE$,
$\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}=\frac{80}{200}=\frac{2}{5},\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}$.
$\because EH⊥ BF,AF⊥ BC$,
$\therefore ∠ EHC=∠ AFC=90°$.
又$\because ∠ ECH=∠ ACF$,
$\therefore △ ECH∽ △ ACF$,
$\therefore \frac{EH}{AF}=\frac{EC}{AC}$,即$\frac{360}{AF}=\frac{3}{2},\therefore AF=240$米.
答:河流的宽度为 240 米.