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15. 情境 数学文化 发展史 「2026湖南长沙月考，★★☆」据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，使物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A,B的对应点分别是点C,D）.若物体AB的高度为9 cm，实像CD的高度为3 cm，则小孔O的高度OE为
$\frac{9}{4}$
cm.答案
15.答案 $\frac{9}{4}$
解析 $\because AB⊥ BC,DC⊥ BC,\therefore AB// CD,\therefore △ COD∽ △ AOB,\therefore \frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,$\because OE⊥ BC,\therefore OE// AB$,$\therefore △ ABC∽ △ OEC,\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+AO}=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{OE}{9}=\frac{1}{4}$,$\therefore OE=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$.故答案为$\frac{9}{4}$.
解析 $\because AB⊥ BC,DC⊥ BC,\therefore AB// CD,\therefore △ COD∽ △ AOB,\therefore \frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,$\because OE⊥ BC,\therefore OE// AB$,$\therefore △ ABC∽ △ OEC,\therefore \frac{OE}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+AO}=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{OE}{9}=\frac{1}{4}$,$\therefore OE=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$.故答案为$\frac{9}{4}$.
16.「2025山东烟台期末，★★」如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,点F是CD上一点,连接BE,BF,EF,若$∠BEF=90°$,$\frac{EF}{BE}=\frac{2}{3}$,则$\frac{CF}{DF}$的值为
$\frac{5}{4}$
.答案
16.答案 $\frac{5}{4}$
解析 $\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠ A=∠ D=90°,AD=BC,AB=CD$,$\because ∠ BEF=90°,\therefore ∠ AEB=90°-∠ DEF=∠ DFE$,$\therefore △ DEF∽ △ ABE$,$\therefore \frac{DF}{AE}=\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BE}=\frac{2}{3}$,$\because$ 点 E 是 AD 的中点,$\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$,设$AE=DE=2k(k≠ 0)$,则$\frac{2k}{AB}=\frac{2}{3}$,$\frac{DF}{2k}=\frac{2}{3}$,$\therefore AB=3k,DF=\frac{4}{3}k$,$\therefore FC=DC-DF=AB-DF=3k-\frac{4}{3}k=\frac{5}{3}k$,$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{5}{4}$.故答案为$\frac{5}{4}$.
解析 $\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore ∠ A=∠ D=90°,AD=BC,AB=CD$,$\because ∠ BEF=90°,\therefore ∠ AEB=90°-∠ DEF=∠ DFE$,$\therefore △ DEF∽ △ ABE$,$\therefore \frac{DF}{AE}=\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BE}=\frac{2}{3}$,$\because$ 点 E 是 AD 的中点,$\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$,设$AE=DE=2k(k≠ 0)$,则$\frac{2k}{AB}=\frac{2}{3}$,$\frac{DF}{2k}=\frac{2}{3}$,$\therefore AB=3k,DF=\frac{4}{3}k$,$\therefore FC=DC-DF=AB-DF=3k-\frac{4}{3}k=\frac{5}{3}k$,$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{5}{4}$.故答案为$\frac{5}{4}$.
三、解答题(共56分)
17.「2026河北沧州期中，★☆」(8分)已知$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$.
(1)求$\frac{a+2b}{a-3b}$的值.
(2)若$a+b+c=72$,求$2a-b+c$的值.
17.「2026河北沧州期中，★☆」(8分)已知$\frac{a}{4}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$.
(1)求$\frac{a+2b}{a-3b}$的值.
(2)若$a+b+c=72$,求$2a-b+c$的值.
答案
17.解析 设$a=4k,b=3k,c=5k(k≠ 0)$.
(1)$\frac{a+2b}{a-3b}=\frac{4k+6k}{4k-9k}=\frac{10k}{-5k}=-2$.
(2)$\because a+b+c=72,\therefore 4k+3k+5k=72$,解得$k=6$,
$\therefore a=24,b=18,c=30$,
$\therefore 2a-b+c=2×24-18+30=60$.
(1)$\frac{a+2b}{a-3b}=\frac{4k+6k}{4k-9k}=\frac{10k}{-5k}=-2$.
(2)$\because a+b+c=72,\therefore 4k+3k+5k=72$,解得$k=6$,
$\therefore a=24,b=18,c=30$,
$\therefore 2a-b+c=2×24-18+30=60$.
18.「2026陕西西安交大附中期中，★☆」（8分）如图，在平面直角坐标系中给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为(2,3)。
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁。
(2)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁位似，并且点A₂的坐标为(4,-6)。
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比是
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁。
(2)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A₂B₂C₂，使△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁位似，并且点A₂的坐标为(4,-6)。
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比是
1:2
。答案
18.解析 (1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)1 : 2.详解:$\because △ A_1B_1C_1∽ △ A_2B_2C_2,C_1B_1=3,C_2B_2=6$,
$\therefore △ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$的相似比$=\frac{C_1B_1}{C_2B_2}=1:2$.
