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12.「2026江苏苏州期末，★☆」若$\sqrt{a-2}+\sqrt{3-b}=0$，则$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$的值为________.
答案
答案 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
解析 由题意得 $a-2=0,3-b=0$,解得 $a=2,b=3$,所以$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
解析 由题意得 $a-2=0,3-b=0$,解得 $a=2,b=3$,所以$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
13.「2026河南郑州期中，★☆」已知直角三角形的三边长分别为7,n+1,n+2(n+2是斜边长),则n=
23
.答案
答案 23
解析 由勾股定理,得$7^2+(n+1)^2=(n+2)^2$,
去括号,得$49+n^2+2n+1=n^2+4n+4$,
化简,得$50+2n=4n+4$,移项,得$50-4=4n-2n$,
合并同类项,得$46=2n$,解得$n=23$.故答案为 23.
解析 由勾股定理,得$7^2+(n+1)^2=(n+2)^2$,
去括号,得$49+n^2+2n+1=n^2+4n+4$,
化简,得$50+2n=4n+4$,移项,得$50-4=4n-2n$,
合并同类项,得$46=2n$,解得$n=23$.故答案为 23.
14.「2026河南南阳期末，★☆」如图所示的雷达示意图中，规定:1个单位长度代表100 m，以中心点O为原点，过数轴上的每一刻度线画同心圆，并将同心圆平均分成十二等份.一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A,B两处有鱼群，那么A,B两处鱼群的距离是
500
m.答案
答案 500
解析 如图,连接 $AB$,
$\because$ 同心圆被平均分成十二等份,
$\therefore ∠ AOB=360°÷12×3=90°$,
$\because 1$ 个单位长度代表 100 m,$\therefore OA=300\ \mathrm{m},OB=400\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,根据勾股定理可得 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=500\ \mathrm{m}$.
15.「2026 江苏南通期末，★★☆」已知$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，……，类比这些等式，若$\sqrt{8+\frac{8}{n}}=8\sqrt{\frac{8}{n}}$（$n$为正整数），则$n$等于
63
。答案
答案 63
解析 由$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$,$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$,$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,……可以得到规律$\sqrt{a+\frac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$,所以当$a=8$时,$n=8^2-1=64-1=63$.
解析 由$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$,$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$,$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,……可以得到规律$\sqrt{a+\frac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$,所以当$a=8$时,$n=8^2-1=64-1=63$.
16.「2026浙江杭州期末，★★★」如图，在$△ ABC$和$△ BCD$中，$AB=BD=AC=5$，$∠ BAC=∠ BDC$，$CD=3$，连接$AD$，则$AD=$
$\sqrt{10}$
。答案
答案 $\sqrt{10}$
解析 如图所示,延长 $DC$ 到点 $E$,使得 $DE=DB=5$,过点 $B$ 作 $BF⊥ DE$ 于点 $F$,连接 $BE$,设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$,
$\because AB=AC=BD=DE=5$,$∠ BAC=∠ BDE$,
$\therefore △ BAC≌△ BDE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BC=BE$,$∠ ACB=∠ DEB$,
$\therefore ∠ BCE=∠ BEC$.
$\because DB=DE$,$\therefore ∠ DBE=∠ DEB$.
$\because ∠ DBE+∠ DEB+∠ BDE=180°$,
$∠ BCE+∠ ACB+∠ ACD=180°$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BDE=∠ BAC$.
又$\because ∠ AOB=∠ COD$,$\therefore 180°-∠ OAB-∠ AOB = 180°-∠ OCD-∠ COD$,$\therefore ∠ OBA=∠ ODC$,
又$\because AB=BD=DE$,$\therefore △ ABD≌△ EDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=BE$,
$\because CD=3$,$\therefore CE=DE-CD=2$.
$\because BE=BC$,$BF⊥ CE$,$\therefore CF=EF=\frac{1}{2}CE=1$,
$\therefore DF=CD+CF=4$,$\therefore BF=\sqrt{BD^2-DF^2}=3$,
$\therefore AD=BE=\sqrt{BF^2+EF^2}=\sqrt{10}$.
故答案为$\sqrt{10}$.
三、解答题(共56分)
17.「2026河北石家庄期末，★☆」(8分)计算：
(1)
$-\sqrt{5}×\sqrt{\dfrac{9}{20}}$. (2)$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
17.「2026河北石家庄期末，★☆」(8分)计算：
(1)
$-\sqrt{5}×\sqrt{\dfrac{9}{20}}$. (2)$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.答案
17.解析 (1)原式$=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\sqrt{5×\frac{9}{20}}=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$.
(2)原式$=5-4-(3-2\sqrt{6}+2)=1-5+2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4$.
(2)原式$=5-4-(3-2\sqrt{6}+2)=1-5+2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4$.
