8.「★☆」如图,在一个由边长为1的小正方形组成的方格纸上,有A,B,C,D,E,F,G七个点,则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是 ()


A.点A,点B,点C
B.点A,点D,点G
C.点B,点E,点F
D.点B,点G,点E

选项 A,$AB^2=1+36=37$,$AC^2=16+25=41$,$BC^2=1+9=10$,$37+10\ne41$,故不可以构成直角三角形;选项 B,$AD^2=16+16=32$,$AG^2=9+36=45$,$DG^2=1+4=5$,$32+5\ne45$,故不可以构成直角三角形;选项 C,$BE^2=36+16=52$,$BF^2=25+25=50$,$EF^2=1+1=2$,$50+2=52$,故可以构成直角三角形;选项 D,$BG^2=25+9=34$,$BE^2=36+16=52$,$GE^2=9+1=10$,$34+10\ne52$,故不可以构成直角三角形.故选 C.

9.「2026河南郑州经开区月考，★★☆」将一组数$\sqrt{2},2,\sqrt{6},2\sqrt{2},\sqrt{10},2\sqrt{3},\dots,\sqrt{2n},\dots$按如图所示的方式进行排列,则第八行左起第1个数是 ()


A.$7\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$\sqrt{58}$
D.$4\sqrt{7}$

根据题图中规律可知,前七行所有数的总个数为 $1+2+3+4+5+6+7=28$,所以第八行左起第 1 个数是第 29 个数,为$\sqrt{29×2}=\sqrt{58}$.故选 C.

10.「2026四川宜宾期末，★★★」我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交DE于点P。如图所示，若$S_{△ CFP} - S_{△ AEP}=4.5$，$AE+ED=7$，则正方形ABCD的面积为（）


A.28
B.29
C.30
D.24

如图,设 $BG,AC$ 交于点 $M$,

$\because AH⊥ BG,CF⊥ BG,\therefore AH// CF,\therefore ∠ EAP=∠ GCM$,
$\because △ AED≌△ CGB,\therefore AE=CG$,
又$∠ AEP=∠ CGM=90°,\therefore △ AEP≌△ CGM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore S_{△ AEP}=S_{△ CGM},EP=MG$,
$\because S_{△ CFP}-S_{△ AEP}=4.5$,
$\therefore S_{△ CFP}-S_{△ CGM}=S_{\mathrm{梯形}FPMG}=\frac{1}{2}(MG+PF)· FG=\frac{1}{2}EF· FG=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}EHGF}=4.5,\therefore S_{\mathrm{正方形}EHGF}=9,\therefore (DE-DF)^2=9$,
$\therefore (DE-AE)^2=9,\therefore DE^2+AE^2-2DE· AE=9①$,
$\because AE+ED=7,\therefore (AE+ED)^2=49$,
$\therefore AE^2+ED^2+2AE· DE=49②$,
①+②得 $2(AE^2+DE^2)=58$,
$\therefore AE^2+DE^2=29,\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的面积$=AD^2=AE^2+DE^2=29$.故选 B.

11.「2026 山东烟台期末，★☆」下列实数：①$\sqrt{\frac{1}{4}}$，②$\sqrt{0.9}$，③$\sqrt[3]{4}$，④$\frac{22}{7}$，⑤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，⑥2.020 202…，其中无理数有个.

答案 3
解析 $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$,是有理数,$\sqrt{0.9}$是无理数,$\sqrt[3]{4}$是无理数,$\frac{22}{7}$是有理数,$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数,2.020 202…是无限循环小数,是有理数,故无理数有 3 个.