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三、解答题
11. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与$x$轴两个交点的横坐标分别是$-2$和$4$，与$y$轴交点的纵坐标是$-4$.
（1）求二次函数的表达式.
（2）自变量$x$分别取何值时，相应的函数值$y$等于$-4$和$4$.
11. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与$x$轴两个交点的横坐标分别是$-2$和$4$，与$y$轴交点的纵坐标是$-4$.
（1）求二次函数的表达式.
（2）自变量$x$分别取何值时，相应的函数值$y$等于$-4$和$4$.
答案
11. (1) $y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$. (2) 当 $x=0$ 或 $x=2$ 时，$y=-4$；当 $x=1+\sqrt{17}$ 或 $x=1-\sqrt{17}$时，$y=4$.
解析
【分析】
（1）已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可先设交点式简化计算，再将与y轴的交点坐标代入求出未知系数a，最后整理为一般式即可得到函数表达式；
（2）求函数值为特定值时对应的自变量x，只需将y的取值分别代入二次函数表达式，转化为一元二次方程求解即可。
【解析】
（1）
∵二次函数图像与x轴两个交点的横坐标为-2和4，即交点坐标为$(-2,0)$、$(4,0)$
∴设二次函数的交点式为$y=a(x+2)(x-4)\ (a≠0)$
∵函数图像与y轴交点的纵坐标为-4，即当$x=0$时，$y=-4$
将$x=0$，$y=-4$代入交点式得：
$a×(0+2)×(0-4)=-4$
解得$a=\frac{1}{2}$
将$a=\frac{1}{2}$代入并展开得：
$y=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)=\frac{1}{2}x^2 -x -4$
（2）①求$y=-4$时对应的x值：
将$y=-4$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$得：
$\frac{1}{2}x^2 -x -4=-4$
整理得$\frac{1}{2}x^2 -x=0$
因式分解得$x(\frac{1}{2}x -1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
②求$y=4$时对应的x值：
将$y=4$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$得：
$\frac{1}{2}x^2 -x -4=4$
整理得$x^2 -2x -16=0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1,b=-2,c=-16$，代入得：
$x=\frac{2±\sqrt{(-2)^2 -4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{2±2\sqrt{17}}{2}=1±\sqrt{17}$
即$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$；(2) 当$x=0$或$x=2$时，$y=-4$；当$x=1+\sqrt{17}$或$x=1-\sqrt{17}$时，$y=4$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，重点考察二次函数解析式的求法以及函数与方程的转化思想，选用交点式求解析式可有效减少计算量，解一元二次方程时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次函数与x轴的两个交点坐标，可先设交点式简化计算，再将与y轴的交点坐标代入求出未知系数a，最后整理为一般式即可得到函数表达式；
（2）求函数值为特定值时对应的自变量x，只需将y的取值分别代入二次函数表达式，转化为一元二次方程求解即可。
【解析】
（1）
∵二次函数图像与x轴两个交点的横坐标为-2和4，即交点坐标为$(-2,0)$、$(4,0)$
∴设二次函数的交点式为$y=a(x+2)(x-4)\ (a≠0)$
∵函数图像与y轴交点的纵坐标为-4，即当$x=0$时，$y=-4$
将$x=0$，$y=-4$代入交点式得：
$a×(0+2)×(0-4)=-4$
解得$a=\frac{1}{2}$
将$a=\frac{1}{2}$代入并展开得：
$y=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)=\frac{1}{2}x^2 -x -4$
（2）①求$y=-4$时对应的x值：
将$y=-4$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$得：
$\frac{1}{2}x^2 -x -4=-4$
整理得$\frac{1}{2}x^2 -x=0$
因式分解得$x(\frac{1}{2}x -1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
②求$y=4$时对应的x值：
将$y=4$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$得：
$\frac{1}{2}x^2 -x -4=4$
整理得$x^2 -2x -16=0$
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1,b=-2,c=-16$，代入得：
$x=\frac{2±\sqrt{(-2)^2 -4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{2±2\sqrt{17}}{2}=1±\sqrt{17}$
即$x_1=1+\sqrt{17}$，$x_2=1-\sqrt{17}$
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2 -x -4$；(2) 当$x=0$或$x=2$时，$y=-4$；当$x=1+\sqrt{17}$或$x=1-\sqrt{17}$时，$y=4$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，重点考察二次函数解析式的求法以及函数与方程的转化思想，选用交点式求解析式可有效减少计算量，解一元二次方程时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx-3(a≠0)$与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上.（1）求二次函数的表达式及线段AB的长.（2）求$△ ABC$的面积.
答案
12. (1) $y=x^2+2x-3$，$AB=4$. (2) 10.
解析
【分析】
（1）求二次函数表达式可采用待定系数法：已知抛物线上点B、C的坐标，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，确定解析式；再令解析式中y=0，解一元二次方程得到点A的坐标，结合点B坐标即可算出线段AB的长度。
（2）求△ABC的面积时，线段AB在x轴上，可将AB作为三角形的底，点C到x轴的距离（即点C的纵坐标的绝对值）作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将点B(1,0)、C(2,5)代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases} a+b-3=0 \\ 4a+2b-3=5 \end{cases}$
化简第二个方程得$2a+b=4$，用该式减去第一个方程$a+b=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=3$，得$b=2$，
所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，所以点A的坐标为$(-3,0)$，
则$AB=1-(-3)=4$。
（2）因为线段AB在x轴上，点C的纵坐标为5，所以△ABC中AB边上的高为5，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × 5 = \frac{1}{2} × 4 × 5 = 10$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$，$AB=\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察待定系数法求解析式的方法，以及结合坐标轴特征计算线段长度、平面图形面积的技巧，解题时注意利用坐标轴上点的坐标特征简化计算。
【难度系数】
0.8
（1）求二次函数表达式可采用待定系数法：已知抛物线上点B、C的坐标，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，确定解析式；再令解析式中y=0，解一元二次方程得到点A的坐标，结合点B坐标即可算出线段AB的长度。
（2）求△ABC的面积时，线段AB在x轴上，可将AB作为三角形的底，点C到x轴的距离（即点C的纵坐标的绝对值）作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将点B(1,0)、C(2,5)代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases} a+b-3=0 \\ 4a+2b-3=5 \end{cases}$
化简第二个方程得$2a+b=4$，用该式减去第一个方程$a+b=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=3$，得$b=2$，
所以二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，所以点A的坐标为$(-3,0)$，
则$AB=1-(-3)=4$。
（2）因为线段AB在x轴上，点C的纵坐标为5，所以△ABC中AB边上的高为5，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × 5 = \frac{1}{2} × 4 × 5 = 10$。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-3}$，$AB=\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察待定系数法求解析式的方法，以及结合坐标轴特征计算线段长度、平面图形面积的技巧，解题时注意利用坐标轴上点的坐标特征简化计算。
【难度系数】
0.8
