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1. 若抛物线$y=x^2 -4x +3$与$x$轴交于点$A(a,0)$和$B(b,0)$，则$(a-2)(b-2)$的值为（
A.$1$；
B.$3$；
C.$-1$；
D.$-3$.
C
）A.$1$；
B.$3$；
C.$-1$；
D.$-3$.
答案
1. C.
解析
【分析】
解题思路：首先明确二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根，因此a、b是方程$x^2-4x+3=0$的两个实数根。要求$(a-2)(b-2)$的值，有两种常用思路：一是先解方程求出a、b的具体值，直接代入代数式计算；二是先将所求代数式展开，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和与两根之积后代入计算，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
∵抛物线$y=x^2 -4x +3$与x轴交于点$A(a,0)$和$B(b,0)$
∴a、b是一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=4$，$ab=3$
将$(a-2)(b-2)$展开得：
$(a-2)(b-2)=ab -2a -2b +4=ab -2(a+b)+4$
把$a+b=4$，$ab=3$代入上式：
原式$=3 - 2×4 +4=3-8+4=-1$
方法二（直接求根法）：
令$y=0$，得方程$x^2 -4x +3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
即a、b的值为1和3（顺序不影响结果）
代入得$(a-2)(b-2)=(1-2)×(3-2)=(-1)×1=-1$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与x轴的交点
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，两种解题方法都符合学段要求，其中利用根与系数的关系可避免解方程，提升运算效率，掌握二次函数和一元二次方程的联系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根，因此a、b是方程$x^2-4x+3=0$的两个实数根。要求$(a-2)(b-2)$的值，有两种常用思路：一是先解方程求出a、b的具体值，直接代入代数式计算；二是先将所求代数式展开，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两根之和与两根之积后代入计算，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
∵抛物线$y=x^2 -4x +3$与x轴交于点$A(a,0)$和$B(b,0)$
∴a、b是一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=4$，$ab=3$
将$(a-2)(b-2)$展开得：
$(a-2)(b-2)=ab -2a -2b +4=ab -2(a+b)+4$
把$a+b=4$，$ab=3$代入上式：
原式$=3 - 2×4 +4=3-8+4=-1$
方法二（直接求根法）：
令$y=0$，得方程$x^2 -4x +3=0$
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
即a、b的值为1和3（顺序不影响结果）
代入得$(a-2)(b-2)=(1-2)×(3-2)=(-1)×1=-1$
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与x轴的交点
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，两种解题方法都符合学段要求，其中利用根与系数的关系可避免解方程，提升运算效率，掌握二次函数和一元二次方程的联系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 若抛物线$y=-x^2+4x+c$与$x$轴的一个交点为$(5,0)$，则方程$x^2-4x -c=0$的解是（
A.$x_1=-1$，$x_2=5$；
B.$x_1=0$，$x_2=5$；
C.$x_1=1$，$x_2=-5$；
D.$x_1=-5$，$x_2=5$。
A
）A.$x_1=-1$，$x_2=5$；
B.$x_1=0$，$x_2=5$；
C.$x_1=1$，$x_2=-5$；
D.$x_1=-5$，$x_2=5$。
答案
2. A.
解析
【分析】
解题可通过两种思路展开：① 先把已知的抛物线与x轴交点坐标代入抛物线解析式，求出参数c的值，再将c代入待解的一元二次方程，求解方程即可得到答案；② 先观察待解方程和抛物线解析式的关联，可知待解方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，再利用二次函数的对称性求出另一个交点的横坐标，直接得到方程的解，两种方法均符合九年级知识要求，第二种方法解题更快捷。
【解析】
方法1：
∵ 抛物线$y=-x^2+4x+c$与x轴的一个交点为$(5,0)$
∴ 将$x=5,y=0$代入抛物线解析式得：
$0=-5^2+4×5 +c$
计算得$0=-25+20+c$，解得$c=5$
将$c=5$代入方程$x^2-4x -c=0$，得：
$x^2-4x -5=0$
因式分解得$(x-5)(x+1)=0$
∴ $x-5=0$或$x+1=0$
解得$x_1=5,x_2=-1$，对应选项A。
方法2：
将方程$x^2-4x -c=0$两边同乘$-1$，得$-x^2+4x +c=0$，可知该方程的解就是抛物线$y=-x^2+4x+c$与x轴交点的横坐标。
抛物线$y=-x^2+4x+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
已知一个交点为$(5,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，由二次函数的对称性可知$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$
∴ 方程的解为$x_1=-1,x_2=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法，二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联，解题时可根据知识掌握情况灵活选择代入计算或利用对称性求解，熟练掌握二次函数的图像性质可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可通过两种思路展开：① 先把已知的抛物线与x轴交点坐标代入抛物线解析式，求出参数c的值，再将c代入待解的一元二次方程，求解方程即可得到答案；② 先观察待解方程和抛物线解析式的关联，可知待解方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，再利用二次函数的对称性求出另一个交点的横坐标，直接得到方程的解，两种方法均符合九年级知识要求，第二种方法解题更快捷。
【解析】
方法1：
∵ 抛物线$y=-x^2+4x+c$与x轴的一个交点为$(5,0)$
∴ 将$x=5,y=0$代入抛物线解析式得：
$0=-5^2+4×5 +c$
计算得$0=-25+20+c$，解得$c=5$
将$c=5$代入方程$x^2-4x -c=0$，得：
$x^2-4x -5=0$
因式分解得$(x-5)(x+1)=0$
∴ $x-5=0$或$x+1=0$
解得$x_1=5,x_2=-1$，对应选项A。
方法2：
将方程$x^2-4x -c=0$两边同乘$-1$，得$-x^2+4x +c=0$，可知该方程的解就是抛物线$y=-x^2+4x+c$与x轴交点的横坐标。
抛物线$y=-x^2+4x+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$
已知一个交点为$(5,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，由二次函数的对称性可知$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$
∴ 方程的解为$x_1=-1,x_2=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解法，二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联，解题时可根据知识掌握情况灵活选择代入计算或利用对称性求解，熟练掌握二次函数的图像性质可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=x^2+2mx+m^2-2m-3$（$m$为常数）的图像与$x$轴有交点. 若当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，则$m$的取值范围是（
A.$m≥ -\dfrac{3}{2}$；
B.$-\dfrac{3}{2}≤ m≤ 2$；
C.$m＜2$；
D.$m≥ -2$.
A
）A.$m≥ -\dfrac{3}{2}$；
B.$-\dfrac{3}{2}≤ m≤ 2$；
C.$m＜2$；
D.$m≥ -2$.
答案
3. A.
解析
【分析】
解题时需结合二次函数的两个已知条件分别列不等式，再取解集的公共部分即可得到m的取值范围：第一步，根据二次函数图象与x轴有交点，可知判别式Δ≥0，据此列出第一个不等式求解；第二步，二次函数开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，结合“x＞2时y随x增大而增大”的条件，可得到对称轴的取值范围，列出第二个不等式求解；最后取两个解集的交集即为答案。
【解析】
1. 由二次函数图象与x轴有交点，得判别式$\Delta ≥ 0$：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-2m-3$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2m)^2 - 4×1×(m^2-2m-3)\\&=4m^2 - 4m^2 +8m +12\\&=8m+12 ≥ 0\end{aligned}$
解不等式得：$m≥ -\frac{3}{2}$。
2. 由二次函数$a=1＞0$，可知开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大。
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}=-m$，已知$x＞2$时y随x增大而增大，因此对称轴需在直线$x=2$的左侧或与$x=2$重合，即：
$-m ≤ 2$，解得$m≥ -2$。
3. 取两个解集的公共部分，得$m≥ -\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数与x轴交点判定；不等式求解
【点评】
本题是二次函数参数范围求解的基础常考题，核心是掌握判别式与图象和x轴交点的对应关系，以及开口方向、对称轴和函数增减性的联系，求解时注意两个条件需同时满足，要取解集的交集。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次函数的两个已知条件分别列不等式，再取解集的公共部分即可得到m的取值范围：第一步，根据二次函数图象与x轴有交点，可知判别式Δ≥0，据此列出第一个不等式求解；第二步，二次函数开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，结合“x＞2时y随x增大而增大”的条件，可得到对称轴的取值范围，列出第二个不等式求解；最后取两个解集的交集即为答案。
【解析】
1. 由二次函数图象与x轴有交点，得判别式$\Delta ≥ 0$：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2-2m-3$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2m)^2 - 4×1×(m^2-2m-3)\\&=4m^2 - 4m^2 +8m +12\\&=8m+12 ≥ 0\end{aligned}$
解不等式得：$m≥ -\frac{3}{2}$。
2. 由二次函数$a=1＞0$，可知开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大。
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}=-m$，已知$x＞2$时y随x增大而增大，因此对称轴需在直线$x=2$的左侧或与$x=2$重合，即：
$-m ≤ 2$，解得$m≥ -2$。
3. 取两个解集的公共部分，得$m≥ -\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数与x轴交点判定；不等式求解
【点评】
本题是二次函数参数范围求解的基础常考题，核心是掌握判别式与图象和x轴交点的对应关系，以及开口方向、对称轴和函数增减性的联系，求解时注意两个条件需同时满足，要取解集的交集。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线 $y=-(x-2\sqrt{2})^2 +1$ 与x轴交点的坐标是
$(2\sqrt{2}\pm1,0)$
。答案
4. $(2\sqrt{2}\pm1,0)$.
解析
【分析】
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此只需将y=0代入抛物线的解析式，得到关于x的一元二次方程，解出方程的根即为交点的横坐标，再结合纵坐标为0即可写出交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴交点的纵坐标为0，
∴令y=0，代入$y=-(x-2\sqrt{2})^2 +1$，得：
$0=-(x-2\sqrt{2})^2 +1$
移项得：$(x-2\sqrt{2})^2=1$
两边开平方得：$x-2\sqrt{2}=\pm1$
解得：$x=2\sqrt{2}\pm1$
∴抛物线与x轴交点的坐标为$(2\sqrt{2}\pm1,0)$。
【答案】
$(2\sqrt{2}\pm1,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点、直接开平方法解方程、二次函数与方程的关系
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数图象与x轴交点的坐标特征，掌握对应的一元二次方程的解法，计算时注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.8
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此只需将y=0代入抛物线的解析式，得到关于x的一元二次方程，解出方程的根即为交点的横坐标，再结合纵坐标为0即可写出交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴交点的纵坐标为0，
∴令y=0，代入$y=-(x-2\sqrt{2})^2 +1$，得：
$0=-(x-2\sqrt{2})^2 +1$
移项得：$(x-2\sqrt{2})^2=1$
两边开平方得：$x-2\sqrt{2}=\pm1$
解得：$x=2\sqrt{2}\pm1$
∴抛物线与x轴交点的坐标为$(2\sqrt{2}\pm1,0)$。
【答案】
$(2\sqrt{2}\pm1,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点、直接开平方法解方程、二次函数与方程的关系
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二次函数图象与x轴交点的坐标特征，掌握对应的一元二次方程的解法，计算时注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.8
5. 若抛物线$y=ax^2+2ax-4(a≠0)$与$x$轴的一个交点坐标为$(-3,0)$，则它与$x$轴的另外一个交点的坐标为
$(1,0)$
。答案
5. $(1,0)$.
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路一：先将已知交点坐标代入抛物线解析式求出a的值，得到完整的二次函数解析式，再令y=0解对应的一元二次方程，除已知根外的另一个根即为另一交点的横坐标，进而得到交点坐标；思路二：利用抛物线的轴对称性求解，抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，先根据对称轴公式求出抛物线的对称轴，再根据两点到对称轴的水平距离相等，即可算出另一交点的横坐标，这种方法更简便。
【解析】
方法1（利用对称性求解）：
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$b=2a$，代入得对称轴：$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标：
$\frac{-3+x}{2}=-1$
解得：$-3+x=-2$，$x=1$
因此另一交点坐标为$(1,0)$。
方法2（代入求解析式求解）：
将交点$(-3,0)$代入抛物线解析式$y=ax^2+2ax-4$得：
$0=a×(-3)^2 + 2a×(-3) -4$
化简得：$9a-6a-4=0$，即$3a=4$，解得$a=\frac{4}{3}$。
因此抛物线解析式为$y=\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x-4$。
令$y=0$，得方程：$\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x-4=0$
两边同乘3消分母得：$4x^2+8x-12=0$，化简得$x^2+2x-3=0$
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$
因此另一交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；抛物线对称轴公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过代入求参数解方程的方法求解，也可以利用抛物线的轴对称性快速得到答案，后者能大幅提升解题效率，建议掌握利用对称性解题的技巧。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：思路一：先将已知交点坐标代入抛物线解析式求出a的值，得到完整的二次函数解析式，再令y=0解对应的一元二次方程，除已知根外的另一个根即为另一交点的横坐标，进而得到交点坐标；思路二：利用抛物线的轴对称性求解，抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，先根据对称轴公式求出抛物线的对称轴，再根据两点到对称轴的水平距离相等，即可算出另一交点的横坐标，这种方法更简便。
【解析】
方法1（利用对称性求解）：
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$b=2a$，代入得对称轴：$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标：
$\frac{-3+x}{2}=-1$
解得：$-3+x=-2$，$x=1$
因此另一交点坐标为$(1,0)$。
方法2（代入求解析式求解）：
将交点$(-3,0)$代入抛物线解析式$y=ax^2+2ax-4$得：
$0=a×(-3)^2 + 2a×(-3) -4$
化简得：$9a-6a-4=0$，即$3a=4$，解得$a=\frac{4}{3}$。
因此抛物线解析式为$y=\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x-4$。
令$y=0$，得方程：$\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x-4=0$
两边同乘3消分母得：$4x^2+8x-12=0$，化简得$x^2+2x-3=0$
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$
因此另一交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；抛物线对称轴公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过代入求参数解方程的方法求解，也可以利用抛物线的轴对称性快速得到答案，后者能大幅提升解题效率，建议掌握利用对称性解题的技巧。
【难度系数】
0.8
6. 如果 m 是抛物线$y=x^2 - x - 2$与 x 轴交点的横坐标，那么$m^2 - m$的值为
$2$
。答案
6. 2.
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数与x轴交点的性质：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标m就是当y=0时对应的一元二次方程的根。根据一元二次方程根的定义，将x=m、y=0代入抛物线解析式，得到关于m的等式，无需解出m的具体值，对等式做移项变形即可直接求出$m^2 - m$的值，用整体代入的思路更简便。
【解析】
∵ m是抛物线$y=x^2 - x - 2$与x轴交点的横坐标，
∴ 当$x=m$时，$y=0$，
将$x=m$，$y=0$代入抛物线解析式得：
$m^2 - m - 2 = 0$，
移项可得：$m^2 - m = 2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与x轴交点；一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考察二次函数与一元二次方程的对应关系，解题时利用根的定义整体代入计算，可避免求解方程的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆二次函数与x轴交点的性质：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标m就是当y=0时对应的一元二次方程的根。根据一元二次方程根的定义，将x=m、y=0代入抛物线解析式，得到关于m的等式，无需解出m的具体值，对等式做移项变形即可直接求出$m^2 - m$的值，用整体代入的思路更简便。
【解析】
∵ m是抛物线$y=x^2 - x - 2$与x轴交点的横坐标，
∴ 当$x=m$时，$y=0$，
将$x=m$，$y=0$代入抛物线解析式得：
$m^2 - m - 2 = 0$，
移项可得：$m^2 - m = 2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数与x轴交点；一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考察二次函数与一元二次方程的对应关系，解题时利用根的定义整体代入计算，可避免求解方程的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 二次函数$y=(x-5)(x+7)$的图像的对称轴是
直线$x=-1$
。答案
7. 直线$x=-1$.
解析
【分析】
求该二次函数的对称轴可以用两种常规思路：思路一，题目给出的是二次函数的交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$，它的图象与x轴的两个交点横坐标为$x_1$、$x_2$，这两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是两点横坐标的平均值，即直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，代入对应数值即可求解；思路二，先将交点式展开为二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$代入计算即可得到结果。
【解析】
方法1（利用交点式性质求解）：
二次函数交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$的图象与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，两点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。
已知函数$y=(x-5)(x+7)=(x-5)(x-(-7))$，可得$x_1=5$，$x_2=-7$，
代入得$x=\frac{5+(-7)}{2}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
方法2（利用一般式对称轴公式求解）：
先将原式展开为一般式：
$y=(x-5)(x+7)=x^2+7x-5x-35=x^2+2x-35$，
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
此处$a=1$，$b=2$，代入得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
【答案】
直线$x=-1$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数交点式的性质、二次函数式变形
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，两种解题方法都属于常规解题逻辑，熟练掌握交点式求对称轴的方法可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
求该二次函数的对称轴可以用两种常规思路：思路一，题目给出的是二次函数的交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$，它的图象与x轴的两个交点横坐标为$x_1$、$x_2$，这两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是两点横坐标的平均值，即直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，代入对应数值即可求解；思路二，先将交点式展开为二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$代入计算即可得到结果。
【解析】
方法1（利用交点式性质求解）：
二次函数交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$的图象与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，两点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。
已知函数$y=(x-5)(x+7)=(x-5)(x-(-7))$，可得$x_1=5$，$x_2=-7$，
代入得$x=\frac{5+(-7)}{2}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
方法2（利用一般式对称轴公式求解）：
先将原式展开为一般式：
$y=(x-5)(x+7)=x^2+7x-5x-35=x^2+2x-35$，
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，
此处$a=1$，$b=2$，代入得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
【答案】
直线$x=-1$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数交点式的性质、二次函数式变形
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，两种解题方法都属于常规解题逻辑，熟练掌握交点式求对称轴的方法可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
8. 若抛物线$y=x^2 -2x -1$与$x$轴交于点$A$、$B$，则线段$AB$的长为
$2\sqrt{2}$
。答案
8. $2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要计算抛物线与x轴交点A、B之间的线段长度，思路如下：①抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0，得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是A、B两点的横坐标；②x轴上两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值，因此只需求出方程两个根的差的绝对值，即可得到AB的长。可以通过直接求解一元二次方程得到两个根计算，也可以利用根与系数的关系简化计算。
【解析】
解：令抛物线解析式中y=0，可得方程：
$x^2 - 2x - 1 = 0$
方法一：用求根公式解方程
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$
则$x = \frac{2\pm\sqrt{8}}{2} = 1\pm\sqrt{2}$
设点A的横坐标为$x_1=1+\sqrt{2}$，点B的横坐标为$x_2=1-\sqrt{2}$
则线段AB的长为：
$AB = |x_1 - x_2| = |(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})| = |2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$
方法二：用根与系数的关系计算
对于方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$
则$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{2^2 - 4×(-1)} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程的解法
3. 坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题关键是理解抛物线与x轴交点的横坐标对应一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的解法或根与系数的关系、x轴上两点距离的计算方法即可解题。
【难度系数】
0.7
要计算抛物线与x轴交点A、B之间的线段长度，思路如下：①抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0，得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是A、B两点的横坐标；②x轴上两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值，因此只需求出方程两个根的差的绝对值，即可得到AB的长。可以通过直接求解一元二次方程得到两个根计算，也可以利用根与系数的关系简化计算。
【解析】
解：令抛物线解析式中y=0，可得方程：
$x^2 - 2x - 1 = 0$
方法一：用求根公式解方程
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$
则$x = \frac{2\pm\sqrt{8}}{2} = 1\pm\sqrt{2}$
设点A的横坐标为$x_1=1+\sqrt{2}$，点B的横坐标为$x_2=1-\sqrt{2}$
则线段AB的长为：
$AB = |x_1 - x_2| = |(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})| = |2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}$
方法二：用根与系数的关系计算
对于方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$
则$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{2^2 - 4×(-1)} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程的解法
3. 坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题关键是理解抛物线与x轴交点的横坐标对应一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的解法或根与系数的关系、x轴上两点距离的计算方法即可解题。
【难度系数】
0.7
9. 若二次函数$y=2(x+1)^2$的图像如图所示，则$△ ABO$的面积为
$1$
。答案
9. 1.
解析
【分析】
要求△ABO的面积，首先需要确定三个顶点的坐标：O为坐标原点，A是二次函数的顶点，B是二次函数与y轴的交点。首先根据二次函数顶点式的特征求出顶点A的坐标，再代入x=0求出二次函数与y轴交点B的坐标，最后观察坐标特征可知△ABO是直角三角形，两条直角边分别为OA、OB的长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 确定各点坐标：
① 坐标原点O的坐标为$(0,0)$；
② 二次函数$y=2(x+1)^2$是顶点式，其顶点A的坐标为$(-1,0)$，因此OA的长度为$|{-1}-0|=1$；
③ 求二次函数与y轴的交点B，令$x=0$，代入函数得$y=2×(0+1)^2=2$，因此B点坐标为$(0,2)$，OB的长度为$|2-0|=2$。
2. 计算面积：
由坐标可知OA在x轴上，OB在y轴上，因此$OA⊥ OB$，△ABO为直角三角形，根据直角三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA × OB=\frac{1}{2}×1×2=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的图象与性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数图象考查三角形面积的计算，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征，准确找到对应点的坐标，结合坐标系的特点简化面积计算。
【难度系数】
0.8
要求△ABO的面积，首先需要确定三个顶点的坐标：O为坐标原点，A是二次函数的顶点，B是二次函数与y轴的交点。首先根据二次函数顶点式的特征求出顶点A的坐标，再代入x=0求出二次函数与y轴交点B的坐标，最后观察坐标特征可知△ABO是直角三角形，两条直角边分别为OA、OB的长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 确定各点坐标：
① 坐标原点O的坐标为$(0,0)$；
② 二次函数$y=2(x+1)^2$是顶点式，其顶点A的坐标为$(-1,0)$，因此OA的长度为$|{-1}-0|=1$；
③ 求二次函数与y轴的交点B，令$x=0$，代入函数得$y=2×(0+1)^2=2$，因此B点坐标为$(0,2)$，OB的长度为$|2-0|=2$。
2. 计算面积：
由坐标可知OA在x轴上，OB在y轴上，因此$OA⊥ OB$，△ABO为直角三角形，根据直角三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA × OB=\frac{1}{2}×1×2=1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数的图象与性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数图象考查三角形面积的计算，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征，准确找到对应点的坐标，结合坐标系的特点简化面积计算。
【难度系数】
0.8
10 已知关于$x$的方程$x^2 + 2bx + 3c = 0$的两个根分别是$x_1 = \frac{m}{2}$和$x_2 = \frac{6 - m}{2}$。设$A$是二次函数$y = x^2 + 2bx - 3c$的图像与$y$轴的交点，过点$A$作$AB$垂直于$y$轴并交函数图像于另一点$B$，$AB$的长为
$3$
。答案
10. 3. 提示：由 $x_1 + x_2 = -2b = 3$，$x_1x_2 = 3c = \frac{-m^2+6m}{4}$，得 $2b = -3$，$3c = \frac{-m^2+6m}{4}$，$y=x^2-3x+\frac{1}{4}(m^2-6m)$. 点 A 的坐标为$(0,\frac{1}{4}(m^2-6m))$，点 B 的纵坐标为$\frac{1}{4}(m^2-6m)$. 把$y=\frac{1}{4}(m^2-6m)$代入$y=x^2-3x+\frac{1}{4}(m^2-6m)$，得$\frac{1}{4}(m^2-6m)=x^2-3x+\frac{1}{4}(m^2-6m)$. 解得 $x_1=0$，$x_2=3$. 因此，$AB=3$.
解析
【分析】
解题时先从已知的一元二次方程的两个根入手，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算两根之和求出二次函数的一次项系数2b的值，再结合两根之积表示出3c的表达式；接下来确定二次函数的解析式，找到它与y轴的交点A的坐标；由于AB垂直于y轴，可知点A和点B的纵坐标相等，将该纵坐标代入二次函数解析式，解一元二次方程得到点B的横坐标，最后计算两个点横坐标的差的绝对值即可得到AB的长度，注意解题过程中参数m会自行消去，无需额外求解。
【解析】
1. 利用韦达定理求系数：
对于方程$x^2 + 2bx + 3c = 0$，两根为$x_1=\frac{m}{2}$，$x_2=\frac{6-m}{2}$，
两根之和：$x_1+x_2 = \frac{m}{2} + \frac{6-m}{2} = 3$，
由韦达定理得$x_1+x_2 = -2b$，因此$-2b=3$，即$2b=-3$；
两根之积：$x_1x_2 = \frac{m}{2} · \frac{6-m}{2} = \frac{6m - m^2}{4} = 3c$，因此$-3c = \frac{m^2 - 6m}{4}$。
2. 写出二次函数解析式：
二次函数$y = x^2 + 2bx - 3c$代入得$y = x^2 - 3x + \frac{m^2 - 6m}{4}$。
3. 求点A坐标：
A是二次函数与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y = \frac{m^2 - 6m}{4}$，即$A(0, \frac{m^2 - 6m}{4})$。
4. 求点B坐标并计算AB长度：
因为$AB ⊥ y$轴，所以点B的纵坐标与A相同，均为$\frac{m^2 - 6m}{4}$，将其代入二次函数解析式：
$\frac{m^2 - 6m}{4} = x^2 - 3x + \frac{m^2 - 6m}{4}$
两边消去常数项得$x^2 - 3x = 0$，因式分解得$x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$。
因此点B的坐标为$(3, \frac{m^2 - 6m}{4})$，$AB$的长度为$|3 - 0| = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二次函数图像性质
3. 平行于坐标轴的两点距离计算
【点评】
本题综合了一元二次方程和二次函数的相关知识，解题关键是灵活运用韦达定理求出二次函数的一次项系数，同时利用垂直于y轴的直线上点纵坐标相等的特征列方程求解，无需计算参数m的具体值，能较好考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的一元二次方程的两个根入手，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算两根之和求出二次函数的一次项系数2b的值，再结合两根之积表示出3c的表达式；接下来确定二次函数的解析式，找到它与y轴的交点A的坐标；由于AB垂直于y轴，可知点A和点B的纵坐标相等，将该纵坐标代入二次函数解析式，解一元二次方程得到点B的横坐标，最后计算两个点横坐标的差的绝对值即可得到AB的长度，注意解题过程中参数m会自行消去，无需额外求解。
【解析】
1. 利用韦达定理求系数：
对于方程$x^2 + 2bx + 3c = 0$，两根为$x_1=\frac{m}{2}$，$x_2=\frac{6-m}{2}$，
两根之和：$x_1+x_2 = \frac{m}{2} + \frac{6-m}{2} = 3$，
由韦达定理得$x_1+x_2 = -2b$，因此$-2b=3$，即$2b=-3$；
两根之积：$x_1x_2 = \frac{m}{2} · \frac{6-m}{2} = \frac{6m - m^2}{4} = 3c$，因此$-3c = \frac{m^2 - 6m}{4}$。
2. 写出二次函数解析式：
二次函数$y = x^2 + 2bx - 3c$代入得$y = x^2 - 3x + \frac{m^2 - 6m}{4}$。
3. 求点A坐标：
A是二次函数与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y = \frac{m^2 - 6m}{4}$，即$A(0, \frac{m^2 - 6m}{4})$。
4. 求点B坐标并计算AB长度：
因为$AB ⊥ y$轴，所以点B的纵坐标与A相同，均为$\frac{m^2 - 6m}{4}$，将其代入二次函数解析式：
$\frac{m^2 - 6m}{4} = x^2 - 3x + \frac{m^2 - 6m}{4}$
两边消去常数项得$x^2 - 3x = 0$，因式分解得$x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$。
因此点B的坐标为$(3, \frac{m^2 - 6m}{4})$，$AB$的长度为$|3 - 0| = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二次函数图像性质
3. 平行于坐标轴的两点距离计算
【点评】
本题综合了一元二次方程和二次函数的相关知识，解题关键是灵活运用韦达定理求出二次函数的一次项系数，同时利用垂直于y轴的直线上点纵坐标相等的特征列方程求解，无需计算参数m的具体值，能较好考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
