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13 如图，对称轴为直线 $ x=1 $ 的抛物线经过 $ A(-1,0) $、$ C(0,3) $ 两点，且还与x轴交于点B。点D在y轴上，且 $ OB=3OD $。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当 $ 0＜t＜3 $ 时，求四边形CDBP的面积s关于t的函数表达式，并求出s的最大值。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当 $ 0＜t＜3 $ 时，求四边形CDBP的面积s关于t的函数表达式，并求出s的最大值。
答案
13. (1) $y=-x^2+2x+3$.
(2) $s=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{51}{8}$，$s$的最大值是$\dfrac{51}{8}$. 提示：如图
，连接$BC$，过点$P$作$PE// y$轴，交$BC$于点$E$. 由$B、C$两点坐标可得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$. 由$OB=3OD$，得$OD=1$，$CD=2$. 由$P(t,-t^2+2t+3)$、$E(t,-t+3)$，得$PE=-t^2+3t$. 由$S_{四边形CDBP}=S_{△ BCD}+S_{△ BPC}=\dfrac{1}{2}CD· OB+\dfrac{1}{2}PE· OB$，得$s=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{51}{8}$. $s$的最大值是$\dfrac{51}{8}$.解析
【分析】
（1）求抛物线表达式时，已知抛物线对称轴为$x=1$，且过点$A(-1,0)$，根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，先求出点B的坐标，再结合点C的坐标，代入二次函数一般式求解系数，即可得到抛物线解析式。
（2）求四边形CDBP的面积表达式及最大值，采用割补法：连接BC将四边形拆分为面积固定的$△ BCD$和面积随动点P变化的$△ BCP$两部分。先根据$OB=3OD$求出点D坐标，计算$△ BCD$的固定面积；再求出直线BC的解析式，过P作PE平行于y轴交BC于E，用含t的式子表示铅垂高PE的长度，利用“水平宽×铅垂高÷2”求出$△ BCP$的面积，两部分相加得到s关于t的函数，最后根据二次函数性质求最大值即可。
【解析】
（1）
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，与x轴交于$A(-1,0)$，
∴点A、B关于直线$x=1$对称，可得B点横坐标为$1×2 - (-1)=3$，即$B(3,0)$。
设抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}a-b+c=0 \\9a+3b+c=0 \\c=3\end{cases}$
将$c=3$代入前两个方程，解得$a=-1$，$b=2$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）
∵$OB=3$，$OB=3OD$，
∴$OD=1$，即$D(0,1)$，
∴$CD=OC-OD=3-1=2$，
$△ BCD$的面积：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× OB=\frac{1}{2}×2×3=3$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k+m=0 \\m=3\end{cases}$，解得$k=-1$，$m=3$，即直线BC的解析式为$y=-x+3$。
过点P作$PE// y$轴交BC于点E，
∵点P横坐标为$t(0＜t＜3)$，
∴$P(t,-t^2+2t+3)$，$E(t,-t+3)$，
∴$PE=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$，
$△ BPC$的面积：$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}× PE× OB=\frac{1}{2}×(-t^2+3t)×3=-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{2}t$，
∴四边形CDBP的面积$s=S_{△ BCD}+S_{△ BPC}=3-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{2}t$，
配方得：$s=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{51}{8}$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，且$t=\frac{3}{2}$在$0＜t＜3$范围内，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，s取得最大值$\frac{51}{8}$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$.
(2) $s=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{51}{8}$，$s$的最大值是$\dfrac{51}{8}$. 提示：如图，连接$BC$，过点$P$作$PE// y$轴，交$BC$于点$E$. 由$B、C$两点坐标可得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$. 由$OB=3OD$，得$OD=1$，$CD=2$. 由$P(t,-t^2+2t+3)$、$E(t,-t+3)$，得$PE=-t^2+3t$. 由$S_{四边形CDBP}=S_{△ BCD}+S_{△ BPC}=\dfrac{1}{2}CD· OB+\dfrac{1}{2}PE· OB$，得$s=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{51}{8}$. $s$的最大值是$\dfrac{51}{8}$.
【知识点】
二次函数解析式求解，割补法求面积，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合基础题，解题核心是利用对称性求抛物线与x轴交点，通过割补法将不规则四边形面积转化为两个三角形面积和，再借助铅垂高表示动三角形面积，最后结合二次函数性质求最值，熟练掌握二次函数性质和面积割补技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线表达式时，已知抛物线对称轴为$x=1$，且过点$A(-1,0)$，根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，先求出点B的坐标，再结合点C的坐标，代入二次函数一般式求解系数，即可得到抛物线解析式。
（2）求四边形CDBP的面积表达式及最大值，采用割补法：连接BC将四边形拆分为面积固定的$△ BCD$和面积随动点P变化的$△ BCP$两部分。先根据$OB=3OD$求出点D坐标，计算$△ BCD$的固定面积；再求出直线BC的解析式，过P作PE平行于y轴交BC于E，用含t的式子表示铅垂高PE的长度，利用“水平宽×铅垂高÷2”求出$△ BCP$的面积，两部分相加得到s关于t的函数，最后根据二次函数性质求最大值即可。
【解析】
（1）
∵抛物线对称轴为直线$x=1$，与x轴交于$A(-1,0)$，
∴点A、B关于直线$x=1$对称，可得B点横坐标为$1×2 - (-1)=3$，即$B(3,0)$。
设抛物线表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}a-b+c=0 \\9a+3b+c=0 \\c=3\end{cases}$
将$c=3$代入前两个方程，解得$a=-1$，$b=2$，
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）
∵$OB=3$，$OB=3OD$，
∴$OD=1$，即$D(0,1)$，
∴$CD=OC-OD=3-1=2$，
$△ BCD$的面积：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD× OB=\frac{1}{2}×2×3=3$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k+m=0 \\m=3\end{cases}$，解得$k=-1$，$m=3$，即直线BC的解析式为$y=-x+3$。
过点P作$PE// y$轴交BC于点E，
∵点P横坐标为$t(0＜t＜3)$，
∴$P(t,-t^2+2t+3)$，$E(t,-t+3)$，
∴$PE=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$，
$△ BPC$的面积：$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}× PE× OB=\frac{1}{2}×(-t^2+3t)×3=-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{2}t$，
∴四边形CDBP的面积$s=S_{△ BCD}+S_{△ BPC}=3-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{2}t$，
配方得：$s=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{51}{8}$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，且$t=\frac{3}{2}$在$0＜t＜3$范围内，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，s取得最大值$\frac{51}{8}$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$.
(2) $s=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{51}{8}$，$s$的最大值是$\dfrac{51}{8}$. 提示：如图
，连接$BC$，过点$P$作$PE// y$轴，交$BC$于点$E$. 由$B、C$两点坐标可得直线$BC$的表达式为$y=-x+3$. 由$OB=3OD$，得$OD=1$，$CD=2$. 由$P(t,-t^2+2t+3)$、$E(t,-t+3)$，得$PE=-t^2+3t$. 由$S_{四边形CDBP}=S_{△ BCD}+S_{△ BPC}=\dfrac{1}{2}CD· OB+\dfrac{1}{2}PE· OB$，得$s=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{51}{8}$. $s$的最大值是$\dfrac{51}{8}$.【知识点】
二次函数解析式求解，割补法求面积，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合基础题，解题核心是利用对称性求抛物线与x轴交点，通过割补法将不规则四边形面积转化为两个三角形面积和，再借助铅垂高表示动三角形面积，最后结合二次函数性质求最值，熟练掌握二次函数性质和面积割补技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
