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7. 已知函数$y=x^2-(m+1)x+4$是关于$x$的二次函数. 如果其顶点在$y$轴上，那么$m$的值为
$-1$
.答案
7. $-1$
解析
【分析】
解题思路：首先明确二次函数顶点在y轴上的特征：顶点的横坐标为0，即二次函数的对称轴为直线$x=0$。回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-(m+1)x+4$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），可得：
$a=1$，$b=-(m+1)$，$c=4$
$\because$ 函数图象的顶点在$y$轴上，
$\therefore$ 二次函数的对称轴为直线$x=0$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$-\frac{-(m+1)}{2×1}=0$
化简得：$\frac{m+1}{2}=0$
解得：$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点位置与对称轴的对应关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确二次函数顶点在y轴上的特征：顶点的横坐标为0，即二次函数的对称轴为直线$x=0$。回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-(m+1)x+4$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），可得：
$a=1$，$b=-(m+1)$，$c=4$
$\because$ 函数图象的顶点在$y$轴上，
$\therefore$ 二次函数的对称轴为直线$x=0$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$-\frac{-(m+1)}{2×1}=0$
化简得：$\frac{m+1}{2}=0$
解得：$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点位置与对称轴的对应关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
8. 已知二次函数的图像经过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，且与y轴正半轴交于点C。若OC=2，则二次函数的表达式为
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x+2$
。答案
8. $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x+2$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由“与y轴正半轴交于点C，OC=2”可直接得到C点坐标为(0,2)，即二次函数一般式中的常数项c=2；其次已知对称轴为直线x=1，可通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得到系数a和b的关系；最后函数图像过点A(3,0)，将该点坐标代入解析式，结合前面得到的c值和a、b的关系，即可求出a、b的值，进而得到二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数与y轴正半轴交于点C，且OC=2，
∴点C的坐标为(0,2)，即二次函数的常数项$c=2$。
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
∵函数对称轴为直线$x=1$，
∴根据对称轴公式得：$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
又
∵函数图像经过点A(3,0)，将$x=3,y=0,c=2,b=-2a$代入表达式得：
$0=a×3^2 + (-2a)×3 +2$
$0=9a-6a+2$
$3a=-2$
解得$a=-\frac{2}{3}$，
则$b=-2a=-2×(-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}$。
将a、b、c的值代入一般式，得二次函数表达式。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴性质；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是将题干给出的对称轴、交点坐标等条件转化为对应系数的关系式，逐步计算即可得到结果，需注意题干中“与y轴正半轴相交”的限定，避免错取C点坐标为(0,-2)。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：首先由“与y轴正半轴交于点C，OC=2”可直接得到C点坐标为(0,2)，即二次函数一般式中的常数项c=2；其次已知对称轴为直线x=1，可通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得到系数a和b的关系；最后函数图像过点A(3,0)，将该点坐标代入解析式，结合前面得到的c值和a、b的关系，即可求出a、b的值，进而得到二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数与y轴正半轴交于点C，且OC=2，
∴点C的坐标为(0,2)，即二次函数的常数项$c=2$。
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
∵函数对称轴为直线$x=1$，
∴根据对称轴公式得：$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
又
∵函数图像经过点A(3,0)，将$x=3,y=0,c=2,b=-2a$代入表达式得：
$0=a×3^2 + (-2a)×3 +2$
$0=9a-6a+2$
$3a=-2$
解得$a=-\frac{2}{3}$，
则$b=-2a=-2×(-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}$。
将a、b、c的值代入一般式，得二次函数表达式。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴性质；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是将题干给出的对称轴、交点坐标等条件转化为对应系数的关系式，逐步计算即可得到结果，需注意题干中“与y轴正半轴相交”的限定，避免错取C点坐标为(0,-2)。
【难度系数】
0.7
9. 平移抛物线 $ y = x^2 + 2x + 1 $，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限. 平移后的抛物线的表达式可以是
$y=x^2-x$
.（只需写出一个符合条件的表达式）答案
9. $y=x^2-x$.（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先要抓住抛物线平移的核心性质：平移仅改变抛物线的位置，不改变二次项系数，因此平移后抛物线的二次项系数仍为1。接下来结合两个约束条件推导：①平移后抛物线过原点，代入原点坐标可确定常数项的值；②顶点在第四象限，结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征，利用二次函数顶点坐标公式列不等式，求出一次项系数的取值范围，在范围内任取一个合适的值代入即可得到符合条件的表达式。
【解析】
1. 由抛物线平移的性质可知，平移后抛物线的二次项系数与原抛物线一致，即$a=1$，设平移后的抛物线表达式为$y=x^2+bx+c$。
2. 因为平移后的抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入表达式得：$0=0^2+b×0+c$，解得$c=0$，因此表达式简化为$y=x^2+bx$。
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=1,c=0$，可得平移后抛物线的顶点为$(-\frac{b}{2},-\frac{b^2}{4})$。
4. 因为顶点在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0、纵坐标小于0：
纵坐标$-\frac{b^2}{4}＜0$，只要$b≠0$即可满足；
横坐标$-\frac{b}{2}＞0$，解得$b＜0$。
5. 取$b=-1$（满足$b＜0$即可），代入得表达式为$y=x^2 -x$，符合所有条件。
【答案】
$y=x^2-x$（答案不唯一）
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数顶点坐标；象限内点的坐标特征
【点评】
本题为开放性试题，解题的关键是牢记抛物线平移时二次项系数不变的性质，结合已知条件确定参数的取值范围，再选取合适的参数值即可，解题时需注意顶点坐标的符号不要算错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住抛物线平移的核心性质：平移仅改变抛物线的位置，不改变二次项系数，因此平移后抛物线的二次项系数仍为1。接下来结合两个约束条件推导：①平移后抛物线过原点，代入原点坐标可确定常数项的值；②顶点在第四象限，结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征，利用二次函数顶点坐标公式列不等式，求出一次项系数的取值范围，在范围内任取一个合适的值代入即可得到符合条件的表达式。
【解析】
1. 由抛物线平移的性质可知，平移后抛物线的二次项系数与原抛物线一致，即$a=1$，设平移后的抛物线表达式为$y=x^2+bx+c$。
2. 因为平移后的抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入表达式得：$0=0^2+b×0+c$，解得$c=0$，因此表达式简化为$y=x^2+bx$。
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=1,c=0$，可得平移后抛物线的顶点为$(-\frac{b}{2},-\frac{b^2}{4})$。
4. 因为顶点在第四象限，第四象限内点的横坐标大于0、纵坐标小于0：
纵坐标$-\frac{b^2}{4}＜0$，只要$b≠0$即可满足；
横坐标$-\frac{b}{2}＞0$，解得$b＜0$。
5. 取$b=-1$（满足$b＜0$即可），代入得表达式为$y=x^2 -x$，符合所有条件。
【答案】
$y=x^2-x$（答案不唯一）
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数顶点坐标；象限内点的坐标特征
【点评】
本题为开放性试题，解题的关键是牢记抛物线平移时二次项系数不变的性质，结合已知条件确定参数的取值范围，再选取合适的参数值即可，解题时需注意顶点坐标的符号不要算错。
【难度系数】
0.7
10 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(0,1)$，且其对称轴直线$x=1$与$x$轴交于点$B$. 若点$C$在抛物线上，且$△ ABC$的内心(三条角平分线的交点)恰好在$x$轴上，则点$C$的坐标是
$(-1,-2)$
.答案
10. $(-1,-2)$. 提示：抛物线表达式为$y=-x^2+2x+1$. 由$△ ABC$的内心恰好在$x$轴上，得$x$轴平分$∠ ABC$，即$∠ ABO=∠ CBO=45°$，且点$C$在$y$轴的左侧. 过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$，设点$C$的坐标为$(a,-a^2+2a+1)$，于是有$-a^2+2a+1=1-a$.
解析
【分析】
解题可按三步思路推进：第一步先求抛物线解析式，已知抛物线过点A(0,1)且对称轴为x=1，利用抛物线对称轴公式和代入点坐标即可求出未知系数b、c；第二步利用三角形内心的性质推导直线BC的解析式，内心是角平分线的交点，内心在x轴上说明x轴是∠ABC的角平分线，因此直线AB与直线BC关于x轴对称，求出直线AB的解析式后就能得到对称的直线BC解析式；第三步联立直线BC与抛物线的解析式求交点，再结合点C在y轴左侧的条件筛选出符合要求的坐标。
【解析】
1. 求抛物线解析式
∵ 抛物线$y=-x^2+bx+c$过点$A(0,1)$，代入得$c=1$
∵ 抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a=-1$）得：$\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$
∴ 抛物线解析式为$y=-x^2+2x+1$
2. 确定点B坐标
对称轴$x=1$与x轴交点为B，
∴ $B(1,0)$
3. 推导直线BC的解析式
∵ △ABC的内心在x轴上，
∴ x轴平分∠ABC，即直线AB、BC关于x轴对称
设直线AB解析式为$y=kx+m$，代入$A(0,1)$、$B(1,0)$得：
$\begin{cases}m=1 \\ k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\ m=1\end{cases}$，即直线AB：$y=-x+1$
关于x轴对称的直线将y替换为-y，得$-y=-x+1$，整理得直线BC：$y=x-1$
4. 求点C坐标
联立直线BC与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=-x^2+2x+1 \\ y=x-1\end{cases}$
消去y得：$-x^2+2x+1=x-1$，整理为$x^2-x-2=0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$
∵ 点C在y轴左侧（$x＜0$），
∴ 取$x=-1$，代入$y=x-1$得$y=-2$
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
二次函数解析式求解，三角形内心性质，函数交点求解
【点评】
本题结合了二次函数性质、三角形内心定义与轴对称的应用，解题核心是将“内心在x轴上”的几何条件转化为直线对称的代数关系，再通过联立方程求解，对几何与代数的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思路推进：第一步先求抛物线解析式，已知抛物线过点A(0,1)且对称轴为x=1，利用抛物线对称轴公式和代入点坐标即可求出未知系数b、c；第二步利用三角形内心的性质推导直线BC的解析式，内心是角平分线的交点，内心在x轴上说明x轴是∠ABC的角平分线，因此直线AB与直线BC关于x轴对称，求出直线AB的解析式后就能得到对称的直线BC解析式；第三步联立直线BC与抛物线的解析式求交点，再结合点C在y轴左侧的条件筛选出符合要求的坐标。
【解析】
1. 求抛物线解析式
∵ 抛物线$y=-x^2+bx+c$过点$A(0,1)$，代入得$c=1$
∵ 抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（$a=-1$）得：$\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$
∴ 抛物线解析式为$y=-x^2+2x+1$
2. 确定点B坐标
对称轴$x=1$与x轴交点为B，
∴ $B(1,0)$
3. 推导直线BC的解析式
∵ △ABC的内心在x轴上，
∴ x轴平分∠ABC，即直线AB、BC关于x轴对称
设直线AB解析式为$y=kx+m$，代入$A(0,1)$、$B(1,0)$得：
$\begin{cases}m=1 \\ k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\ m=1\end{cases}$，即直线AB：$y=-x+1$
关于x轴对称的直线将y替换为-y，得$-y=-x+1$，整理得直线BC：$y=x-1$
4. 求点C坐标
联立直线BC与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=-x^2+2x+1 \\ y=x-1\end{cases}$
消去y得：$-x^2+2x+1=x-1$，整理为$x^2-x-2=0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$
∵ 点C在y轴左侧（$x＜0$），
∴ 取$x=-1$，代入$y=x-1$得$y=-2$
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
二次函数解析式求解，三角形内心性质，函数交点求解
【点评】
本题结合了二次函数性质、三角形内心定义与轴对称的应用，解题核心是将“内心在x轴上”的几何条件转化为直线对称的代数关系，再通过联立方程求解，对几何与代数的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$A(-1,6)$、$B(1,-2)$、$C(0,1)$，求该抛物线的表达式及其对称轴$l.$
11. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$A(-1,6)$、$B(1,-2)$、$C(0,1)$，求该抛物线的表达式及其对称轴$l.$
答案
11. $y=x^2-4x+1$；直线$l$：$x=2$.
解析
【分析】
本题已知抛物线上三个不同点的坐标，求抛物线解析式与对称轴，适用待定系数法求解。首先将三个点的坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解出三个系数的值即可得到抛物线表达式；再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$代入系数计算，就能得到对称轴$l$。
【解析】
解：将点$A(-1,6)$、$B(1,-2)$、$C(0,1)$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 6 \\a×1^2 + b×1 + c = -2 \\c=1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 6 \quad ① \\a + b + c = -2 \quad ② \\c=1 \quad ③\end{cases}$
把③代入①、②，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a - b = 5 \\a + b = -3\end{cases}$
两式相加得$2a=2$，解得$a=1$；
将$a=1$代入$a+b=-3$，解得$b=-4$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2-4x+1$。
再代入对称轴公式计算：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，即对称轴$l$为直线$x=2$。
【答案】
$y=x^2-4x+1$；直线$l$：$x=2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴计算；三元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，解题逻辑清晰，熟练掌握代入求值的方法和相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题已知抛物线上三个不同点的坐标，求抛物线解析式与对称轴，适用待定系数法求解。首先将三个点的坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解出三个系数的值即可得到抛物线表达式；再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$代入系数计算，就能得到对称轴$l$。
【解析】
解：将点$A(-1,6)$、$B(1,-2)$、$C(0,1)$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 6 \\a×1^2 + b×1 + c = -2 \\c=1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 6 \quad ① \\a + b + c = -2 \quad ② \\c=1 \quad ③\end{cases}$
把③代入①、②，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a - b = 5 \\a + b = -3\end{cases}$
两式相加得$2a=2$，解得$a=1$；
将$a=1$代入$a+b=-3$，解得$b=-4$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2-4x+1$。
再代入对称轴公式计算：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，即对称轴$l$为直线$x=2$。
【答案】
$y=x^2-4x+1$；直线$l$：$x=2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴计算；三元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，解题逻辑清晰，熟练掌握代入求值的方法和相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，一条抛物线的顶点为$A(1,3)$，且经过点$B(0,2)$。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）设点$C(3,t)$在该抛物线上，求$△ ABC$的面积。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）设点$C(3,t)$在该抛物线上，求$△ ABC$的面积。
答案
12. (1) $y=-(x-1)^2+3$. (2) 3.
解析
【分析】
（1）已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设抛物线解析式，将顶点坐标代入顶点式后，再代入已知点B的坐标求出未知系数a，即可得到抛物线表达式。
（2）先将点C的横坐标代入已求出的抛物线表达式，算出纵坐标t得到点C的完整坐标；再采用割补法计算△ABC的面积，通过构造矩形减去周围三个直角三角形面积的方式即可快速求出结果，该方法无需额外公式，更易理解。
【解析】
（1）设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，
∵ 抛物线的顶点为$A(1,3)$，
∴ $h=1$，$k=3$，代入得$y=a(x-1)^2+3$，
将点$B(0,2)$代入上式：
$2=a(0-1)^2+3$，
解得$a=-1$，
∴ 该抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+3$。
（2）
∵ 点$C(3,t)$在抛物线上，将$x=3$代入$y=-(x-1)^2+3$得：
$t=-(3-1)^2+3=-1$，即$C(3,-1)$。
采用割补法求面积：
构造顶点为$(0,-1)$、$(3,-1)$、$(3,3)$、$(0,3)$的矩形，矩形面积为$3×4=12$，
减去矩形内△ABC外的三个直角三角形面积：
① 左上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
② 右下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$，
③ 左下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×3×3=4.5$，
∴ $S_{△ ABC}=12-0.5-4-4.5=3$。
【答案】
（1）$y=-(x-1)^2+3$；（2）$3$
【知识点】
二次函数顶点式应用，坐标系内三角形面积计算，点与函数图像的关系
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考查二次函数解析式的常规求法，第二问结合坐标求不规则三角形面积，熟练掌握割补法等坐标系面积计算技巧即可快速解题，是二次函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设抛物线解析式，将顶点坐标代入顶点式后，再代入已知点B的坐标求出未知系数a，即可得到抛物线表达式。
（2）先将点C的横坐标代入已求出的抛物线表达式，算出纵坐标t得到点C的完整坐标；再采用割补法计算△ABC的面积，通过构造矩形减去周围三个直角三角形面积的方式即可快速求出结果，该方法无需额外公式，更易理解。
【解析】
（1）设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，
∵ 抛物线的顶点为$A(1,3)$，
∴ $h=1$，$k=3$，代入得$y=a(x-1)^2+3$，
将点$B(0,2)$代入上式：
$2=a(0-1)^2+3$，
解得$a=-1$，
∴ 该抛物线的表达式为$y=-(x-1)^2+3$。
（2）
∵ 点$C(3,t)$在抛物线上，将$x=3$代入$y=-(x-1)^2+3$得：
$t=-(3-1)^2+3=-1$，即$C(3,-1)$。
采用割补法求面积：
构造顶点为$(0,-1)$、$(3,-1)$、$(3,3)$、$(0,3)$的矩形，矩形面积为$3×4=12$，
减去矩形内△ABC外的三个直角三角形面积：
① 左上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
② 右下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$，
③ 左下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×3×3=4.5$，
∴ $S_{△ ABC}=12-0.5-4-4.5=3$。
【答案】
（1）$y=-(x-1)^2+3$；（2）$3$
【知识点】
二次函数顶点式应用，坐标系内三角形面积计算，点与函数图像的关系
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考查二次函数解析式的常规求法，第二问结合坐标求不规则三角形面积，熟练掌握割补法等坐标系面积计算技巧即可快速解题，是二次函数模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
