13 已知在平面直角坐标系$xOy$中有抛物线$y=mx^2+4mx-1(m＜0)$.
（1）抛物线的顶点坐标为.（用含$m$的式子表示）
（2）设抛物线与$x$轴交于$A$、$B$两点（$A$在$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$.
① 设$OB=OC$，求抛物线的表达式.
② 已知$AB≤2$，写出$m$的取值范围.

13. (1) $(-2,-4m-1)$.
(2) ① 二次函数 $y=m(x+2)^2-4m-1(m＜0)$ 的对称轴为直线 $x=-2$，且开口向下. 当 $x=0$ 时，$y=-1$，因此，点 C 的坐标为$(0,-1)$，$OC=1$. 点 A、B 一定都位于 $x$ 轴的负半轴. 由 $OB=OC=1$，得点 B 的坐标为$(-1,0)$. 代入 $y=mx^2+4mx-1$，得 $m-4m-1=0$. 解得 $m=-\frac{1}{3}$. 因此，抛物线为 $y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$. ② 由题意可知，当 $y=0$ 时，$mx^2+4mx-1=0$，$\Delta=16m^2+4m＞0$. 又 $m＜0$，得 $m＜-\frac{1}{4}$. 设点 A、B 的坐标分别为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)(x_1＜x_2＜0)$. $x_1+x_2=-\frac{4m}{m}=-4$，$x_1x_2=-\frac{1}{m}$. $AB^2=(x_2-x_1)^2=(x_2+x_1)^2-4x_1x_2=16+\frac{4}{m}$. 由 $AB≤ 2$，得 $16+\frac{4}{m}≤ 4$. 又因为 $m＜0$，所以 $-\frac{1}{3}≤ m＜-\frac{1}{4}$.

【分析】
（1）求抛物线顶点坐标可采用配方法将一般式化为顶点式，或直接代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算，代入对应系数即可得到含m的顶点坐标。
（2）①先求抛物线与y轴交点C的坐标得到OC长度，结合OB=OC得OB长度，再根据抛物线对称轴、开口方向判断A、B均在x轴负半轴，得到B点坐标后代入解析式求解m即可。
②首先抛物线与x轴有两个交点，故判别式Δ＞0，结合m＜0得到m的第一个取值范围；再利用韦达定理求出A、B两点横坐标的和与积，将AB长度转化为含两根差的表达式，根据AB≤2列不等式求解，最终和前面的范围取交集即可。
【解析】
(1) 用配方法化简解析式：$y=mx^2+4mx-1=m(x^2+4x)-1=m(x+2)^2-4m-1$，因此顶点坐标为$(-2,-4m-1)$。
(2) ① 由顶点式可知抛物线对称轴为直线$x=-2$，且$m＜0$故开口向下。当$x=0$时，$y=-1$，即点C坐标为$(0,-1)$，可得$OC=1$。结合对称轴位置、开口方向可判断A、B均在x轴负半轴，由$OB=OC=1$得B点坐标为$(-1,0)$。将$(-1,0)$代入解析式得：$m-4m-1=0$，解得$m=-\frac{1}{3}$，因此抛物线表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$。
② 抛物线与x轴有两个交点，即方程$mx^2+4mx-1=0$有两个不等实根，故$\Delta=16m^2+4m＞0$，结合$m＜0$解得$m＜-\frac{1}{4}$。设$A(x_1,0),B(x_2,0)(x_1＜x_2＜0)$，由韦达定理得$x_1+x_2=-4$，$x_1x_2=-\frac{1}{m}$。$AB^2=(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16+\frac{4}{m}$，由$AB≤2$得$16+\frac{4}{m}≤4$，结合$m＜0$解得$m≥-\frac{1}{3}$。综上可得m的取值范围为$-\frac{1}{3}≤m＜-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,-4m-1)}$
(2) ① $\boldsymbol{y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1}$；② $\boldsymbol{-\frac{1}{3}≤ m＜-\frac{1}{4}}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数与坐标轴交点；韦达定理的应用
【点评】
本题是二次函数基础综合题，涵盖了二次函数核心的性质、与一元二次方程的关联知识点，解题时需注意结合图像性质判断交点位置，解含负参数的不等式时要注意不等号方向变化，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.6