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1. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的图像如图所示，则关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的实数根的情况是（
A.方程没有实数根；
B.方程的实数根情况不确定；
C.方程有两个相等的实数根；
D.方程有一正一负两个实数根.
D
）A.方程没有实数根；
B.方程的实数根情况不确定；
C.方程有两个相等的实数根；
D.方程有一正一负两个实数根.
答案
1. D.
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标。解题时先观察抛物线与x轴的交点个数判断根的数量，再判断交点所在的半轴位置，即可确定根的正负情况。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当$y=0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的解析式转化为方程$ax^2+bx+c=0$，此时函数图像与x轴交点的横坐标就是该方程的实数根。
观察题图可知，抛物线与x轴有2个不同的交点，说明方程有两个不相等的实数根；且两个交点分别位于x轴的负半轴和正半轴，因此两个根分别为负实数和正实数，即方程有一正一负两个实数根。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与方程的联系；二次函数的图像；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解二次函数图像和对应一元二次方程根的对应关系，结合直观的图像信息就能快速得出结论，是考查数形结合思想的基础题型。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标。解题时先观察抛物线与x轴的交点个数判断根的数量，再判断交点所在的半轴位置，即可确定根的正负情况。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当$y=0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的解析式转化为方程$ax^2+bx+c=0$，此时函数图像与x轴交点的横坐标就是该方程的实数根。
观察题图可知，抛物线与x轴有2个不同的交点，说明方程有两个不相等的实数根；且两个交点分别位于x轴的负半轴和正半轴，因此两个根分别为负实数和正实数，即方程有一正一负两个实数根。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与方程的联系；二次函数的图像；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解二次函数图像和对应一元二次方程根的对应关系，结合直观的图像信息就能快速得出结论，是考查数形结合思想的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 在关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，自变量$x$可以取任意实数，下表中列出了自变量$x$与函数值$y$的几组对应值：
根据以上信息，关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根最接近于（
A.0；
B.1.8；
C.2.0；
D.2.6.
根据以上信息，关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根最接近于（
C
）A.0；
B.1.8；
C.2.0；
D.2.6.
答案
2. C.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。我们可以先从表格中找到$y$值最接近0的两组数据，确定根的大致范围，再比较各选项与真实根的接近程度，就能得到答案。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=2$时，$y=-0.35＜0$；当$x=3$时，$y=2.35＞0$，说明$y=0$时$x$的取值在2和3之间，因此可以排除不在此区间的A（0）、B（1.8）选项。
再看$x=2$时$y$与0的距离为$|-0.35|=0.35$，$x=3$时$y$与0的距离为$|2.35|=2.35$，可知$y=0$对应的$x$值更靠近2。粗略估算可得根约为$2+\frac{0.35}{0.35+2.35}\approx2.13$，对比剩余选项，2.13与2.0的差值更小，因此最接近的根是2.0。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，估算一元二次方程近似根
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是利用表格中函数值的正负变化确定根的范围，再通过函数值的大小判断近似根的位置，是对二者关联知识的基础应用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。我们可以先从表格中找到$y$值最接近0的两组数据，确定根的大致范围，再比较各选项与真实根的接近程度，就能得到答案。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=2$时，$y=-0.35＜0$；当$x=3$时，$y=2.35＞0$，说明$y=0$时$x$的取值在2和3之间，因此可以排除不在此区间的A（0）、B（1.8）选项。
再看$x=2$时$y$与0的距离为$|-0.35|=0.35$，$x=3$时$y$与0的距离为$|2.35|=2.35$，可知$y=0$对应的$x$值更靠近2。粗略估算可得根约为$2+\frac{0.35}{0.35+2.35}\approx2.13$，对比剩余选项，2.13与2.0的差值更小，因此最接近的根是2.0。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，估算一元二次方程近似根
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是利用表格中函数值的正负变化确定根的范围，再通过函数值的大小判断近似根的位置，是对二者关联知识的基础应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像与$x$轴的正半轴交于点$A$，对称轴为直线$x=1$.现有结论：①$abc＜0$；②$2a+b=0$；③$3a+c＞0$；④方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$必有一个根大于$-1$且小于$0$.其中正确的有（
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
C
）A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
答案
3. C.
解析
【分析】解题时先从二次函数图像的特征入手：先由开口方向判断a的符号，由对称轴公式推导b和a的关系，由与y轴的交点判断c的符号，再结合二次函数的对称性、特殊点的函数值、二次函数与一元二次方程的对应关系，逐一验证四个结论是否成立。
【解析】
1. 推导a、b、c的符号与关系：
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$。
2. 逐个判断结论：
① $abc＜0$：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，三者乘积为负，故①正确；
② $2a+b=0$：由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，移项可得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故②正确；
③ $3a+c＞0$：当$x=-1$时，函数值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，代入$b=-2a$得$y=3a+c$。根据抛物线对称性，$x=-1$和$x=3$关于对称轴$x=1$对称，对应函数值相等，由图可知$x=3$时$y＜0$，因此$3a+c＜0$，故③错误；
④ 方程$ax^2+bx+c=0$的一个根是点A的横坐标，由图可知该根在$2∼3$之间，设另一根为$x_2$，两根关于对称轴$x=1$对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。$\because 2＜x_1＜3$，$\therefore -1＜x_2＜0$，即必有一个根大于-1且小于0，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程
【点评】本题核心是结合图像特征推导二次函数系数的关系，易错点是判断3a+c的符号时，要利用对称性找到x=-1对应点的函数值，解题时熟练掌握二次函数的对称性和特殊点函数值的应用是关键。
【难度系数】0.65
【解析】
1. 推导a、b、c的符号与关系：
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$。
2. 逐个判断结论：
① $abc＜0$：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，三者乘积为负，故①正确；
② $2a+b=0$：由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，移项可得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故②正确；
③ $3a+c＞0$：当$x=-1$时，函数值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，代入$b=-2a$得$y=3a+c$。根据抛物线对称性，$x=-1$和$x=3$关于对称轴$x=1$对称，对应函数值相等，由图可知$x=3$时$y＜0$，因此$3a+c＜0$，故③错误；
④ 方程$ax^2+bx+c=0$的一个根是点A的横坐标，由图可知该根在$2∼3$之间，设另一根为$x_2$，两根关于对称轴$x=1$对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。$\because 2＜x_1＜3$，$\therefore -1＜x_2＜0$，即必有一个根大于-1且小于0，故④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程
【点评】本题核心是结合图像特征推导二次函数系数的关系，易错点是判断3a+c的符号时，要利用对称性找到x=-1对应点的函数值，解题时熟练掌握二次函数的对称性和特殊点函数值的应用是关键。
【难度系数】0.65
4. (1) 抛物线 $y=x^2 - 3x - 4$ 与 $x$ 轴有
(2) 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ 与 $x$ 轴有
(3) 抛物线 $y=-3x^2 - 2x - 4$ 与 $x$ 轴有
(4) 抛物线 $y=(x-2)^2 -1$ 与 $x$ 轴有
2
个交点.(2) 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ 与 $x$ 轴有
1
个交点.(3) 抛物线 $y=-3x^2 - 2x - 4$ 与 $x$ 轴有
0
个交点.(4) 抛物线 $y=(x-2)^2 -1$ 与 $x$ 轴有
2
个交点.答案
4. (1) 2. (2) 1. (3) 0. (4) 2.
解析
【分析】
判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的联系：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，令$y=0$得到对应的一元二次方程，方程根的个数就是抛物线与x轴的交点个数，可通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta＞0$时，有2个交点；$\Delta=0$时，有1个交点；$\Delta＜0$时，有0个交点。解题时只需先确定每道题中$a、b、c$的取值，计算判别式即可得出结果，第(4)题也可直接令$y=0$解方程判断根的个数。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2 - 3x - 4$中，$a=1，b=-3，c=-4$，
$\Delta=(-3)^2-4×1×(-4)=9+16=25＞0$，故与x轴有2个交点。
(2) 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$中，$a=\frac{1}{2}，b=-2，c=2$，
$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{2}×2=4-4=0$，故与x轴有1个交点。
(3) 抛物线$y=-3x^2 - 2x - 4$中，$a=-3，b=-2，c=-4$，
$\Delta=(-2)^2-4×(-3)×(-4)=4-48=-44＜0$，故与x轴有0个交点。
(4) 方法1：将抛物线展开得$y=x^2-4x+3$，$a=1，b=-4，c=3$，
$\Delta=(-4)^2-4×1×3=16-12=4＞0$，故与x轴有2个交点。
方法2：令$y=0$得$(x-2)^2-1=0$，解得$x_1=1，x_2=3$，有两个不同实根，故与x轴有2个交点。
【答案】
(1) 2；(2) 1；(3) 0；(4) 2
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查判别式在判断抛物线与x轴交点个数中的应用，只要熟练掌握判别式的意义和计算方法，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的联系：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，令$y=0$得到对应的一元二次方程，方程根的个数就是抛物线与x轴的交点个数，可通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta＞0$时，有2个交点；$\Delta=0$时，有1个交点；$\Delta＜0$时，有0个交点。解题时只需先确定每道题中$a、b、c$的取值，计算判别式即可得出结果，第(4)题也可直接令$y=0$解方程判断根的个数。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2 - 3x - 4$中，$a=1，b=-3，c=-4$，
$\Delta=(-3)^2-4×1×(-4)=9+16=25＞0$，故与x轴有2个交点。
(2) 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$中，$a=\frac{1}{2}，b=-2，c=2$，
$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{2}×2=4-4=0$，故与x轴有1个交点。
(3) 抛物线$y=-3x^2 - 2x - 4$中，$a=-3，b=-2，c=-4$，
$\Delta=(-2)^2-4×(-3)×(-4)=4-48=-44＜0$，故与x轴有0个交点。
(4) 方法1：将抛物线展开得$y=x^2-4x+3$，$a=1，b=-4，c=3$，
$\Delta=(-4)^2-4×1×3=16-12=4＞0$，故与x轴有2个交点。
方法2：令$y=0$得$(x-2)^2-1=0$，解得$x_1=1，x_2=3$，有两个不同实根，故与x轴有2个交点。
【答案】
(1) 2；(2) 1；(3) 0；(4) 2
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查判别式在判断抛物线与x轴交点个数中的应用，只要熟练掌握判别式的意义和计算方法，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
