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5. 已知抛物线 $y=x^2 - 4mx + 4m^2 + 3m - 1$（$m$ 为常数）。若该抛物线与 $x$ 轴只有一个交点，则 $m=$
$\frac{1}{3}$
。答案
5. $\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
我们知道抛物线与x轴的交点个数和其对应的一元二次方程的判别式Δ的取值直接相关：当Δ=0时，抛物线与x轴只有一个交点。本题的解题思路为：先确定抛物线对应一元二次方程的各项系数a、b、c，再令判别式Δ=0，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 - 4mx + 4m^2 + 3m - 1$与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程$x^2 - 4mx + 4m^2 + 3m - 1 = 0$的判别式$\Delta=0$。
对于该方程，$a=1$，$b=-4m$，$c=4m^2+3m-1$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = (-4m)^2 - 4×1×(4m^2 + 3m - 1) = 0$，
展开计算得：$16m^2 - 16m^2 - 12m + 4 = 0$，
化简得：$-12m + 4 = 0$，
解得：$m=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定，一元二次方程判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题关键是熟练掌握“抛物线与x轴只有一个交点等价于判别式Δ=0”的性质，计算量小，掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
我们知道抛物线与x轴的交点个数和其对应的一元二次方程的判别式Δ的取值直接相关：当Δ=0时，抛物线与x轴只有一个交点。本题的解题思路为：先确定抛物线对应一元二次方程的各项系数a、b、c，再令判别式Δ=0，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 - 4mx + 4m^2 + 3m - 1$与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程$x^2 - 4mx + 4m^2 + 3m - 1 = 0$的判别式$\Delta=0$。
对于该方程，$a=1$，$b=-4m$，$c=4m^2+3m-1$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = (-4m)^2 - 4×1×(4m^2 + 3m - 1) = 0$，
展开计算得：$16m^2 - 16m^2 - 12m + 4 = 0$，
化简得：$-12m + 4 = 0$，
解得：$m=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定，一元二次方程判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题关键是熟练掌握“抛物线与x轴只有一个交点等价于判别式Δ=0”的性质，计算量小，掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 若函数$y=ax^2+bx+c$的图像如图所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c+3=0$的根的情况是：
有两个相等的实数根
。答案
6. 有两个相等的实数根.
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c+3=0$的根的情况，首先可以将方程变形为$ax^2+bx+c=-3$，此时方程的根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-3$时对应的$x$的值，也就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-3$的交点横坐标。接下来观察函数图像的最值：该抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-3$，说明函数的最小值是$-3$，因此直线$y=-3$和抛物线刚好只有一个交点（即顶点），由此可判断对应方程的根的情况。
【解析】
1. 对所求方程变形：将$ax^2+bx+c+3=0$移项得$ax^2+bx+c=-3$，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-3$时对应的自变量$x$的取值。
2. 分析二次函数的图像性质：由图可知，抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-3$，即该函数的最小值为$-3$，仅当$x$取顶点的横坐标时，函数值等于$-3$。
3. 对应交点与根的关系：抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-3$只有1个公共点，说明方程$ax^2+bx+c=-3$只有1个解，也就是有两个相等的实数根，因此原方程$ax^2+bx+c+3=0$有两个相等的实数根。
【答案】
有两个相等的实数根
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图像与性质
【点评】
本题将一元二次方程根的问题转化为二次函数图像与水平直线的交点问题，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是理解二次函数的函数值与对应一元二次方程根的对应关系。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c+3=0$的根的情况，首先可以将方程变形为$ax^2+bx+c=-3$，此时方程的根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-3$时对应的$x$的值，也就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-3$的交点横坐标。接下来观察函数图像的最值：该抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-3$，说明函数的最小值是$-3$，因此直线$y=-3$和抛物线刚好只有一个交点（即顶点），由此可判断对应方程的根的情况。
【解析】
1. 对所求方程变形：将$ax^2+bx+c+3=0$移项得$ax^2+bx+c=-3$，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-3$时对应的自变量$x$的取值。
2. 分析二次函数的图像性质：由图可知，抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-3$，即该函数的最小值为$-3$，仅当$x$取顶点的横坐标时，函数值等于$-3$。
3. 对应交点与根的关系：抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-3$只有1个公共点，说明方程$ax^2+bx+c=-3$只有1个解，也就是有两个相等的实数根，因此原方程$ax^2+bx+c+3=0$有两个相等的实数根。
【答案】
有两个相等的实数根
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图像与性质
【点评】
本题将一元二次方程根的问题转化为二次函数图像与水平直线的交点问题，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是理解二次函数的函数值与对应一元二次方程根的对应关系。
【难度系数】
0.7
7. 二次函数 $ y=-x^2+2x+3 $ 的图像如图所示，当 $ y ≥ 0 $ 时，x的取值范围是
$-1≤x≤3$
。答案
7. $-1≤x≤3$.
解析
【分析】
要确定y≥0时x的取值范围，需结合二次函数图像分析：y≥0对应函数图像位于x轴上方（包含与x轴的交点）的部分，因此第一步先求二次函数与x轴交点的横坐标，即解方程y=0时的一元二次方程；第二步结合抛物线开口向下的性质，可知y≥0对应的x区间在两个交点之间，即可得到结果。
【解析】
当y=0时，代入函数解析式得：
$-x^2+2x+3=0$
整理为标准形式：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3$，即二次函数图像与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$。
已知该二次函数二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，因此当y≥0时，图像在x轴及x轴上方，对应的x取值范围是$-1≤x≤3$。
【答案】
$-1≤x≤3$
【知识点】
二次函数与不等式；二次函数图像性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是明确函数值与图像位置的对应关系，结合二次函数与x轴的交点坐标即可快速确定自变量的取值范围，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定y≥0时x的取值范围，需结合二次函数图像分析：y≥0对应函数图像位于x轴上方（包含与x轴的交点）的部分，因此第一步先求二次函数与x轴交点的横坐标，即解方程y=0时的一元二次方程；第二步结合抛物线开口向下的性质，可知y≥0对应的x区间在两个交点之间，即可得到结果。
【解析】
当y=0时，代入函数解析式得：
$-x^2+2x+3=0$
整理为标准形式：$x^2-2x-3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3$，即二次函数图像与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$。
已知该二次函数二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，因此当y≥0时，图像在x轴及x轴上方，对应的x取值范围是$-1≤x≤3$。
【答案】
$-1≤x≤3$
【知识点】
二次函数与不等式；二次函数图像性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是明确函数值与图像位置的对应关系，结合二次函数与x轴的交点坐标即可快速确定自变量的取值范围，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c$中$x$和$y$的部分对应值，方程$ax^2+bx+c=0$的一个解$x$的值的估计范围是
$0.5＜x＜0.75$
。答案
8. $0.5＜x＜0.75$.
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需结合二次函数与一元二次方程的关系思考：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是连续的曲线，当函数值$y$在两个相邻的$x$取值处由负变为正（或由正变为负）时，这两个$x$值之间一定存在某个$x$使得$y=0$，这个$x$就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。因此我们只需观察表格中$y$值正负发生变化对应的$x$区间即可。
【解析】
观察表格中的函数值：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$，说明此时二次函数图象在$x$轴下方；
当$x=0.75$时，$y=1.31＞0$，说明此时二次函数图象在$x$轴上方。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$0.5＜x＜0.75$的范围内，必然存在一个$x$的值，使得$y=ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在这个区间内。
【答案】
$0.5＜x＜0.75$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的内在联系，通过函数值的正负变化即可快速确定方程根的大致范围。
【难度系数】
0.75
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需结合二次函数与一元二次方程的关系思考：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是连续的曲线，当函数值$y$在两个相邻的$x$取值处由负变为正（或由正变为负）时，这两个$x$值之间一定存在某个$x$使得$y=0$，这个$x$就是方程$ax^2+bx+c=0$的解。因此我们只需观察表格中$y$值正负发生变化对应的$x$区间即可。
【解析】
观察表格中的函数值：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$，说明此时二次函数图象在$x$轴下方；
当$x=0.75$时，$y=1.31＞0$，说明此时二次函数图象在$x$轴上方。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此在$0.5＜x＜0.75$的范围内，必然存在一个$x$的值，使得$y=ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在这个区间内。
【答案】
$0.5＜x＜0.75$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的内在联系，通过函数值的正负变化即可快速确定方程根的大致范围。
【难度系数】
0.75
9. 如图，若抛物线 $ y=ax^2 $ 与直线 $ y=bx+c $ 的两个交点坐标分别为 $ A(-2,4) $ 和 $ B(1,1) $，则关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 - bx - c = 0 $ 的解为
$x_1=-2，x_2=1$
。答案
9. $x_1=-2，x_2=1$.
解析
【分析】
要解关于x的方程$ax^2 - bx - c = 0$，可先将方程变形为$ax^2 = bx + c$。根据函数与方程的关系，该方程的解就是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$交点的横坐标，题目已直接给出两个交点的坐标，提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$变形可得$ax^2 = bx + c$，此时方程的解对应二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=bx+c$图象交点的横坐标。
已知抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2，x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图象交点的意义
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需进行解方程的运算，只需理解函数图象交点和对应方程解的关系即可快速得到答案，是对函数与方程关系的基础考查。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程$ax^2 - bx - c = 0$，可先将方程变形为$ax^2 = bx + c$。根据函数与方程的关系，该方程的解就是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$交点的横坐标，题目已直接给出两个交点的坐标，提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$变形可得$ax^2 = bx + c$，此时方程的解对应二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=bx+c$图象交点的横坐标。
已知抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2，x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图象交点的意义
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需进行解方程的运算，只需理解函数图象交点和对应方程解的关系即可快速得到答案，是对函数与方程关系的基础考查。
【难度系数】
0.8
10. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像如图所示，有下列结论：
①$ac＜0$；②当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而减小；③$2a+b=0$；④方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1$和$x_2=3$；⑤$4a+2b+c＜0$；⑥$3a+c＞0$。你认为正确的结论序号是
①$ac＜0$；②当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而减小；③$2a+b=0$；④方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1$和$x_2=3$；⑤$4a+2b+c＜0$；⑥$3a+c＞0$。你认为正确的结论序号是
①③⑤⑥
。答案
10. ①③⑤⑥.
解析
【分析】
首先从二次函数图像中提取关键信息：根据开口方向确定$a$的符号，根据对称轴位置可得$a$与$b$的关系，根据与$y$轴交点确定$c$的符号，结合对称轴对称性和$x$轴交点位置，判断不同$x$值对应的函数值符号，再逐个验证每个结论是否成立。
【解析】
根据图像可得以下基础信息：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$；
3. 抛物线与$y$轴交于负半轴，故$c＜0$；
4. 抛物线与$x$轴的一个交点在$(-1,0)$和$(0,0)$之间，结合对称轴$x=1$的对称性，另一个交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间。
逐个判断结论：
① $a＞0$，$c＜0$，因此$ac＜0$，①正确；
② 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大，②错误；
③ 由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，移项可得$2a+b=0$，③正确；
④ 抛物线与x轴的交点不是$x=-1$和$x=3$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根不是$x_1=-1$和$x_2=3$，④错误；
⑤ 当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$，由x轴右侧交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间可知，$x=2$时函数图像在x轴下方，即$y＜0$，故$4a+2b+c＜0$，⑤正确；
⑥ 当$x=-1$时，函数值$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c$，将$b=-2a$代入得$y=3a+c$，由图像可知$x=-1$时函数图像在x轴上方，即$y＞0$，故$3a+c＞0$，⑥正确。
【答案】
①③⑤⑥
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的增减性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题需要结合二次函数图像提取有效信息，通过特殊值代入、对称性等方法判断代数式的符号和结论的正确性，考查对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先从二次函数图像中提取关键信息：根据开口方向确定$a$的符号，根据对称轴位置可得$a$与$b$的关系，根据与$y$轴交点确定$c$的符号，结合对称轴对称性和$x$轴交点位置，判断不同$x$值对应的函数值符号，再逐个验证每个结论是否成立。
【解析】
根据图像可得以下基础信息：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$；
3. 抛物线与$y$轴交于负半轴，故$c＜0$；
4. 抛物线与$x$轴的一个交点在$(-1,0)$和$(0,0)$之间，结合对称轴$x=1$的对称性，另一个交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间。
逐个判断结论：
① $a＞0$，$c＜0$，因此$ac＜0$，①正确；
② 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大，②错误；
③ 由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，移项可得$2a+b=0$，③正确；
④ 抛物线与x轴的交点不是$x=-1$和$x=3$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的根不是$x_1=-1$和$x_2=3$，④错误；
⑤ 当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$，由x轴右侧交点在$(2,0)$和$(3,0)$之间可知，$x=2$时函数图像在x轴下方，即$y＜0$，故$4a+2b+c＜0$，⑤正确；
⑥ 当$x=-1$时，函数值$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c$，将$b=-2a$代入得$y=3a+c$，由图像可知$x=-1$时函数图像在x轴上方，即$y＞0$，故$3a+c＞0$，⑥正确。
【答案】
①③⑤⑥
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的增减性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题需要结合二次函数图像提取有效信息，通过特殊值代入、对称性等方法判断代数式的符号和结论的正确性，考查对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
