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三、解答题
11. 已知二次函数 $y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$，当实数 $m$ 分别满足什么条件时，其图像与 $x$ 轴有两个交点？有且只有一个交点？没有交点？
11. 已知二次函数 $y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$，当实数 $m$ 分别满足什么条件时，其图像与 $x$ 轴有两个交点？有且只有一个交点？没有交点？
答案
11. 当 $m＜-\frac{15}{16}$时，有两个交点；当 $m=-\frac{15}{16}$时，有且只有一个交点；当 $m＞-\frac{15}{16}$时，没有交点.
解析
【分析】
要判断二次函数图像与x轴的交点个数，可结合二次函数与一元二次方程的关系，通过对应一元二次方程的根的判别式Δ判断：Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应函数图像与x轴有两个交点；Δ=0时，方程有两个相等的实数根，对应函数图像与x轴有且只有一个交点；Δ＜0时，方程没有实数根，对应函数图像与x轴没有交点。解题时先确定二次函数各项系数，计算判别式关于m的表达式，再分别求解Δ＞0、Δ=0、Δ＜0对应的m的取值范围即可。
【解析】
对于二次函数 $y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$，对应的一元二次方程为 $x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$，其中 $a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=m^2+3m+4$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(2m-1)]^2 - 4×1×(m^2+3m+4)$
$=4m^2 -4m +1 -4m^2 -12m -16$
$=-16m -15$
1. 若图像与x轴有两个交点，则 $\Delta＞0$：
$-16m -15＞0$
解得 $m＜-\frac{15}{16}$
2. 若图像与x轴有且只有一个交点，则 $\Delta=0$：
$-16m -15=0$
解得 $m=-\frac{15}{16}$
3. 若图像与x轴没有交点，则 $\Delta＜0$：
$-16m -15＜0$
解得 $m＞-\frac{15}{16}$
【答案】
当 $m＜-\frac{15}{16}$时，有两个交点；当 $m=-\frac{15}{16}$时，有且只有一个交点；当 $m＞-\frac{15}{16}$时，没有交点.
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础应用题，核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题时需注意计算判别式时的符号问题，解系数为负的一元一次不等式时要记得改变不等号的方向。
【难度系数】
0.75
要判断二次函数图像与x轴的交点个数，可结合二次函数与一元二次方程的关系，通过对应一元二次方程的根的判别式Δ判断：Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应函数图像与x轴有两个交点；Δ=0时，方程有两个相等的实数根，对应函数图像与x轴有且只有一个交点；Δ＜0时，方程没有实数根，对应函数图像与x轴没有交点。解题时先确定二次函数各项系数，计算判别式关于m的表达式，再分别求解Δ＞0、Δ=0、Δ＜0对应的m的取值范围即可。
【解析】
对于二次函数 $y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$，对应的一元二次方程为 $x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$，其中 $a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=m^2+3m+4$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(2m-1)]^2 - 4×1×(m^2+3m+4)$
$=4m^2 -4m +1 -4m^2 -12m -16$
$=-16m -15$
1. 若图像与x轴有两个交点，则 $\Delta＞0$：
$-16m -15＞0$
解得 $m＜-\frac{15}{16}$
2. 若图像与x轴有且只有一个交点，则 $\Delta=0$：
$-16m -15=0$
解得 $m=-\frac{15}{16}$
3. 若图像与x轴没有交点，则 $\Delta＜0$：
$-16m -15＜0$
解得 $m＞-\frac{15}{16}$
【答案】
当 $m＜-\frac{15}{16}$时，有两个交点；当 $m=-\frac{15}{16}$时，有且只有一个交点；当 $m＞-\frac{15}{16}$时，没有交点.
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础应用题，核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题时需注意计算判别式时的符号问题，解系数为负的一元一次不等式时要记得改变不等号的方向。
【难度系数】
0.75
12. 已知二次函数$y=-x^2+2mx+m+1$.
（1）设该二次函数图像与$y$轴交于$(0,3)$，求$m$的值和函数图像在$x$轴上截得的线段长.
（2）对于任意实数$m$，判断该二次函数图像与$x$轴是否有交点，并说明理由.
（1）设该二次函数图像与$y$轴交于$(0,3)$，求$m$的值和函数图像在$x$轴上截得的线段长.
（2）对于任意实数$m$，判断该二次函数图像与$x$轴是否有交点，并说明理由.
答案
12. (1) $m=2$，在 $x$ 轴上截得的线段长是 $2\sqrt{7}$. (2) 有两个交点，理由略.
解析
【分析】
（1）首先，二次函数图象与y轴交点的横坐标为0，将交点坐标(0,3)代入函数解析式即可求出m的值；得到完整的函数解析式后，令y=0得到对应的一元二次方程，要求图象在x轴上截得的线段长，即求方程两个根的差的绝对值，可利用韦达定理（根与系数的关系）计算，简化计算过程。
（2）判断二次函数图象与x轴的交点个数，只需计算对应一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，若Δ≥0则有交点，若Δ＜0则无交点。本题将判别式整理为含m的式子，通过配方判断Δ的正负性即可得出结论。
【解析】
（1）
∵二次函数图象与y轴交于点(0,3)
∴将x=0，y=3代入$y=-x^2+2mx+m+1$，得：
$m+1=3$
解得：$m=2$
此时二次函数解析式为$y=-x^2+4x+3$
令$y=0$，得方程：$-x^2+4x+3=0$，整理为$x^2-4x-3=0$
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=-3$
∴图象在x轴上截得的线段长为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4^2-4×(-3)}=\sqrt{16+12}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
（2）该二次函数图象与x轴总有两个交点，理由如下：
对于二次函数$y=-x^2+2mx+m+1$，对应一元二次方程为$-x^2+2mx+m+1=0$，其中$a=-1$，$b=2m$，$c=m+1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(2m)^2 - 4×(-1)×(m+1)=4m^2+4m+4$
对$\Delta$变形得：$\Delta=4(m^2+m+1)=4[(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}]$
∵$(m+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴$(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0$
∴$\Delta=4×正数＞0$
∴对于任意实数m，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即二次函数图象与x轴总有两个交点。
【答案】
（1）$m=2$，函数图像在$x$轴上截得的线段长是$2\sqrt{7}$；
（2）该二次函数图像与$x$轴总有两个交点。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；根与系数的关系；判别式的应用
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是理解二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，掌握代入求值、韦达定理、判别式计算的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）首先，二次函数图象与y轴交点的横坐标为0，将交点坐标(0,3)代入函数解析式即可求出m的值；得到完整的函数解析式后，令y=0得到对应的一元二次方程，要求图象在x轴上截得的线段长，即求方程两个根的差的绝对值，可利用韦达定理（根与系数的关系）计算，简化计算过程。
（2）判断二次函数图象与x轴的交点个数，只需计算对应一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，若Δ≥0则有交点，若Δ＜0则无交点。本题将判别式整理为含m的式子，通过配方判断Δ的正负性即可得出结论。
【解析】
（1）
∵二次函数图象与y轴交于点(0,3)
∴将x=0，y=3代入$y=-x^2+2mx+m+1$，得：
$m+1=3$
解得：$m=2$
此时二次函数解析式为$y=-x^2+4x+3$
令$y=0$，得方程：$-x^2+4x+3=0$，整理为$x^2-4x-3=0$
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=-3$
∴图象在x轴上截得的线段长为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4^2-4×(-3)}=\sqrt{16+12}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
（2）该二次函数图象与x轴总有两个交点，理由如下：
对于二次函数$y=-x^2+2mx+m+1$，对应一元二次方程为$-x^2+2mx+m+1=0$，其中$a=-1$，$b=2m$，$c=m+1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(2m)^2 - 4×(-1)×(m+1)=4m^2+4m+4$
对$\Delta$变形得：$\Delta=4(m^2+m+1)=4[(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}]$
∵$(m+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴$(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ \frac{3}{4} ＞ 0$
∴$\Delta=4×正数＞0$
∴对于任意实数m，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即二次函数图象与x轴总有两个交点。
【答案】
（1）$m=2$，函数图像在$x$轴上截得的线段长是$2\sqrt{7}$；
（2）该二次函数图像与$x$轴总有两个交点。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；根与系数的关系；判别式的应用
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是理解二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，掌握代入求值、韦达定理、判别式计算的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的二次函数$y=x^2-(m+2)x+2m$（$m$为常数）.
（1）求证：对于任意的实数$m$，该二次函数图像与$x$轴总有交点.
（2）设此二次函数的图像与$x$轴有两个交点，其中一个交点在$x$轴正半轴，另一个交点在$x$轴负半轴，求$m$的取值范围.
（1）求证：对于任意的实数$m$，该二次函数图像与$x$轴总有交点.
（2）设此二次函数的图像与$x$轴有两个交点，其中一个交点在$x$轴正半轴，另一个交点在$x$轴负半轴，求$m$的取值范围.
答案
13. (1) $y=x^2-(m+2)x+2m$. 当 $y=0$ 时，$x^2-(m+2)x+2m=0$. $\Delta=[-(m+2)]^2-4×2m=(m-2)^2≥0$. 所以此抛物线与$x$轴总有交点.
(2) 令 $x^2-(m+2)x+2m=0$，即有$(x-2)(x-m)=0$. 解得 $x_1=2$，$x_2=m$. 因此，$m＜0$.
(2) 令 $x^2-(m+2)x+2m=0$，即有$(x-2)(x-m)=0$. 解得 $x_1=2$，$x_2=m$. 因此，$m＜0$.
解析
【分析】
（1）要证明二次函数图像与x轴总有交点，可转化为证明该函数对应的一元二次方程总有实数根，只需计算方程的判别式Δ，验证Δ恒大于等于0即可：Δ≥0时一元二次方程总有实根，对应函数图像和x轴必有交点。
（2）已知函数图像与x轴的两个交点分别在正负半轴，说明对应一元二次方程的两个根一正一负。我们可以先对一元二次方程因式分解求出两个根，已知其中一个根为2（是正数），因此只需让另一个根为负数，即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）证明：令二次函数中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2-(m+2)x+2m=0$
计算判别式：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m = m^2+4m+4-8m = (m-2)^2$
对任意实数$m$，都有$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此该一元二次方程总有实数根，即对于任意的实数$m$，该二次函数图像与$x$轴总有交点。
（2）解：令$x^2-(m+2)x+2m=0$，对左侧因式分解可得：
$(x-2)(x-m)=0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=m$。
已知两个交点分别在x轴正半轴和负半轴，其中$x_1=2＞0$为正半轴交点，因此另一个根需满足$x_2=m＜0$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$m＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程
【点评】
本题核心考查二次函数图像与x轴交点和对应一元二次方程根的转化逻辑，是二次函数章节的典型基础题，也可通过韦达定理两根之积小于0求解第二问，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
（1）要证明二次函数图像与x轴总有交点，可转化为证明该函数对应的一元二次方程总有实数根，只需计算方程的判别式Δ，验证Δ恒大于等于0即可：Δ≥0时一元二次方程总有实根，对应函数图像和x轴必有交点。
（2）已知函数图像与x轴的两个交点分别在正负半轴，说明对应一元二次方程的两个根一正一负。我们可以先对一元二次方程因式分解求出两个根，已知其中一个根为2（是正数），因此只需让另一个根为负数，即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）证明：令二次函数中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2-(m+2)x+2m=0$
计算判别式：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m = m^2+4m+4-8m = (m-2)^2$
对任意实数$m$，都有$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此该一元二次方程总有实数根，即对于任意的实数$m$，该二次函数图像与$x$轴总有交点。
（2）解：令$x^2-(m+2)x+2m=0$，对左侧因式分解可得：
$(x-2)(x-m)=0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=m$。
已知两个交点分别在x轴正半轴和负半轴，其中$x_1=2＞0$为正半轴交点，因此另一个根需满足$x_2=m＜0$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$m＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程
【点评】
本题核心考查二次函数图像与x轴交点和对应一元二次方程根的转化逻辑，是二次函数章节的典型基础题，也可通过韦达定理两根之积小于0求解第二问，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
