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1. 若抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(2,0)$和原点，则其对称轴是 （
A.y轴；
B.直线$x=4$；
C.直线$x=1$；
D.直线$x=2$。
C
）A.y轴；
B.直线$x=4$；
C.直线$x=1$；
D.直线$x=2$。
答案
1. C.
解析
【分析】
解决这道题可从两个方向思考：一是利用二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴是两个交点横坐标的中点；二是先将已知点代入解析式得到系数关系，再用对称轴公式计算，两种方法都符合九年级知识要求，思路清晰易懂。
【解析】
方法1：利用对称性求解
已知抛物线经过$(0,0)$和$(2,0)$，这是抛物线与x轴的两个交点，两点关于对称轴对称，因此对称轴横坐标为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{0+2}{2}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
方法2：利用对称轴公式求解
将$(0,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$；
再将$(2,0)$、$c=0$代入解析式，得$4a+2b=0$，化简得$b=-2a$；
代入二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都需要熟练掌握，利用交点对称性的方法运算量更小，可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解决这道题可从两个方向思考：一是利用二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴是两个交点横坐标的中点；二是先将已知点代入解析式得到系数关系，再用对称轴公式计算，两种方法都符合九年级知识要求，思路清晰易懂。
【解析】
方法1：利用对称性求解
已知抛物线经过$(0,0)$和$(2,0)$，这是抛物线与x轴的两个交点，两点关于对称轴对称，因此对称轴横坐标为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{0+2}{2}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
方法2：利用对称轴公式求解
将$(0,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$；
再将$(2,0)$、$c=0$代入解析式，得$4a+2b=0$，化简得$b=-2a$；
代入二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都需要熟练掌握，利用交点对称性的方法运算量更小，可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=x^2 - ax + b$的图像如图所示，对称轴为直线$x=1$，下列结论不正确的是（
A.$a=2$；
B.顶点坐标为$(1,-4)$；
C.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；
D.当$0＜x＜3$时，$-3＜y＜0$。
D
）A.$a=2$；
B.顶点坐标为$(1,-4)$；
C.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；
D.当$0＜x＜3$时，$-3＜y＜0$。
答案
2. D.
解析
【分析】
解题时首先要先求出二次函数的完整解析式，再逐一判断选项：第一步利用二次函数对称轴公式求出a的值，验证A选项；第二步结合图像给出的与x轴交点(-1,0)，代入解析式求出b，得到完整解析式后转化为顶点式验证B选项；第三步根据开口方向和对称轴判断函数增减性，验证C选项；最后计算0＜x＜3范围内y的取值范围，验证D选项，找出错误结论即可。
【解析】
1. 求a的值：
对于二次函数$y=x^2 - ax + b$，对称轴公式为$x=\frac{a}{2×1}=\frac{a}{2}$，已知对称轴为$x=1$，因此$\frac{a}{2}=1$，解得$a=2$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 求b的值，确定解析式：
将$a=2$代入得函数为$y=x^2 -2x +b$，由图像可知函数过点$(-1,0)$，代入得：
$(-1)^2 -2×(-1) +b=0$，解得$b=-3$，因此函数解析式为$y=x^2-2x-3$，配方得顶点式$y=(x-1)^2 -4$，可得顶点坐标为$(1,-4)$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 判断增减性：
该二次函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞2$属于$x＞1$的范围，故C选项结论正确，不符合题意。
4. 判断$0＜x＜3$时y的范围：
函数最小值为顶点处的$y=-4$，计算端点值：$x=0$时$y=-3$，$x=3$时$y=0$，因此$0＜x＜3$时，$y$的取值范围是$-4≤ y＜0$，存在$y＜-3$的情况（如$x=1$时$y=-4$），故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；求二次函数解析式；二次函数的图像
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，需要结合图像信息推导函数解析式，再利用二次函数的对称轴、增减性、最值等性质逐一分析选项，熟练掌握二次函数基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先要先求出二次函数的完整解析式，再逐一判断选项：第一步利用二次函数对称轴公式求出a的值，验证A选项；第二步结合图像给出的与x轴交点(-1,0)，代入解析式求出b，得到完整解析式后转化为顶点式验证B选项；第三步根据开口方向和对称轴判断函数增减性，验证C选项；最后计算0＜x＜3范围内y的取值范围，验证D选项，找出错误结论即可。
【解析】
1. 求a的值：
对于二次函数$y=x^2 - ax + b$，对称轴公式为$x=\frac{a}{2×1}=\frac{a}{2}$，已知对称轴为$x=1$，因此$\frac{a}{2}=1$，解得$a=2$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 求b的值，确定解析式：
将$a=2$代入得函数为$y=x^2 -2x +b$，由图像可知函数过点$(-1,0)$，代入得：
$(-1)^2 -2×(-1) +b=0$，解得$b=-3$，因此函数解析式为$y=x^2-2x-3$，配方得顶点式$y=(x-1)^2 -4$，可得顶点坐标为$(1,-4)$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 判断增减性：
该二次函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞2$属于$x＞1$的范围，故C选项结论正确，不符合题意。
4. 判断$0＜x＜3$时y的范围：
函数最小值为顶点处的$y=-4$，计算端点值：$x=0$时$y=-3$，$x=3$时$y=0$，因此$0＜x＜3$时，$y$的取值范围是$-4≤ y＜0$，存在$y＜-3$的情况（如$x=1$时$y=-4$），故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；求二次函数解析式；二次函数的图像
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，需要结合图像信息推导函数解析式，再利用二次函数的对称轴、增减性、最值等性质逐一分析选项，熟练掌握二次函数基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如果一个二次函数图像的顶点坐标是$(3,-1)$，与$y$轴的交点是$(0,-4)$，那么这个二次函数的表达式是（
A.$y=\frac{1}{3}x^2 -2x +4$；
B.$y=-\frac{1}{3}x^2 +2x -4$；
C.$y=-\frac{1}{3}(x+3)^2 -1$；
D.$y=-x^2 +6x -12$。
B
）A.$y=\frac{1}{3}x^2 -2x +4$；
B.$y=-\frac{1}{3}x^2 +2x -4$；
C.$y=-\frac{1}{3}(x+3)^2 -1$；
D.$y=-x^2 +6x -12$。
答案
3. B.
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，选用顶点式求解最为简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先将已知顶点坐标代入顶点式，得到仅含参数$a$的解析式，再将与$y$轴的交点坐标代入，求出$a$的值，最后整理为一般式后匹配选项即可；也可通过逐一验证选项的顶点坐标、与$y$轴交点坐标，用排除法快速解题。
【解析】
方法一：待定系数法（顶点式）
1. 设二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k \ (a≠0) $，已知顶点坐标为$(3,-1)$，即$h=3$，$k=-1$，代入得：
$ y=a(x-3)^2 -1 $
2. 二次函数与$y$轴交点为$(0,-4)$，将$x=0$，$y=-4$代入上式：
$ -4 = a×(0-3)^2 -1 $
$ -4 = 9a -1 $
解得$ a=-\frac{1}{3} $
3. 将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式，展开整理为一般式：
$ y=-\frac{1}{3}(x-3)^2 -1 = -\frac{1}{3}(x^2-6x+9) -1 = -\frac{1}{3}x^2 +2x -3 -1 = -\frac{1}{3}x^2 +2x -4 $，对应选项B。
方法二：排除法
选项C的顶点坐标为$(-3,-1)$，与题干顶点$(3,-1)$不符，排除；
选项A与$y$轴交点为$(0,4)$，与题干交点$(0,-4)$不符，排除；
选项D的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，代入得顶点纵坐标为$-3^2 +6×3 -12 = -9+18-12=-3≠-1$，排除；
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，已知顶点坐标时优先选择顶点式可大幅简化计算，也可通过验证特殊点（顶点、与坐标轴交点）的坐标用排除法快速得出答案，是对二次函数基本性质的常规考察。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，选用顶点式求解最为简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先将已知顶点坐标代入顶点式，得到仅含参数$a$的解析式，再将与$y$轴的交点坐标代入，求出$a$的值，最后整理为一般式后匹配选项即可；也可通过逐一验证选项的顶点坐标、与$y$轴交点坐标，用排除法快速解题。
【解析】
方法一：待定系数法（顶点式）
1. 设二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k \ (a≠0) $，已知顶点坐标为$(3,-1)$，即$h=3$，$k=-1$，代入得：
$ y=a(x-3)^2 -1 $
2. 二次函数与$y$轴交点为$(0,-4)$，将$x=0$，$y=-4$代入上式：
$ -4 = a×(0-3)^2 -1 $
$ -4 = 9a -1 $
解得$ a=-\frac{1}{3} $
3. 将$a=-\frac{1}{3}$代入顶点式，展开整理为一般式：
$ y=-\frac{1}{3}(x-3)^2 -1 = -\frac{1}{3}(x^2-6x+9) -1 = -\frac{1}{3}x^2 +2x -3 -1 = -\frac{1}{3}x^2 +2x -4 $，对应选项B。
方法二：排除法
选项C的顶点坐标为$(-3,-1)$，与题干顶点$(3,-1)$不符，排除；
选项A与$y$轴交点为$(0,4)$，与题干交点$(0,-4)$不符，排除；
选项D的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，代入得顶点纵坐标为$-3^2 +6×3 -12 = -9+18-12=-3≠-1$，排除；
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，已知顶点坐标时优先选择顶点式可大幅简化计算，也可通过验证特殊点（顶点、与坐标轴交点）的坐标用排除法快速得出答案，是对二次函数基本性质的常规考察。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 若二次函数 $ y=(k+3)x^2 + x + k^2 -9 $ 的图像经过原点，则k的值为
4. 若二次函数 $ y=(k+3)x^2 + x + k^2 -9 $ 的图像经过原点，则k的值为
3
.答案
4. 3.
解析
【分析】
解题时先明确两个核心条件：1. 二次函数的图像经过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式；2. 题目给定的是二次函数，因此二次项系数不能为0。解题步骤为先将原点坐标代入解析式求出k的所有可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的k值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 二次函数$ y=(k+3)x^2 + x + k^2 -9 $的图像经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=(k+3)×0^2 + 0 + k^2 -9$
整理得$k^2-9=0$，解得$k=3$或$k=-3$
又
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数$k+3≠0$，即$k≠-3$
综上，$k$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$k=\pm3$的错误结果，解题时要注意对二次函数定义的准确把握。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心条件：1. 二次函数的图像经过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式；2. 题目给定的是二次函数，因此二次项系数不能为0。解题步骤为先将原点坐标代入解析式求出k的所有可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的k值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 二次函数$ y=(k+3)x^2 + x + k^2 -9 $的图像经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=(k+3)×0^2 + 0 + k^2 -9$
整理得$k^2-9=0$，解得$k=3$或$k=-3$
又
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数$k+3≠0$，即$k≠-3$
综上，$k$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$k=\pm3$的错误结果，解题时要注意对二次函数定义的准确把握。
【难度系数】
0.7
5. 如果抛物线$y=x^2+bx+2$的对称轴是直线$x=1$，那么$b$的值为
-2
。答案
5. -2.
解析
【分析】
解决本题的核心是运用二次函数一般式的对称轴公式求解。首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中各系数的取值，再把已知的对称轴数值代入公式，通过解一元一次方程就能得到$b$的值，计算时要注意符号规则，避免出错。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为：
$x=-\frac{b}{2a}$
在抛物线$y=x^2+bx+2$中，可得$a=1$，已知对称轴为直线$x=1$，将对应数值代入公式：
$1=-\frac{b}{2×1}$
解方程：
两边同时乘2得：$2=-b$
解得$b=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数对称轴公式的掌握，只要准确识别一般式的系数、牢记公式的符号规则就能顺利得分，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是运用二次函数一般式的对称轴公式求解。首先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中各系数的取值，再把已知的对称轴数值代入公式，通过解一元一次方程就能得到$b$的值，计算时要注意符号规则，避免出错。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为：
$x=-\frac{b}{2a}$
在抛物线$y=x^2+bx+2$中，可得$a=1$，已知对称轴为直线$x=1$，将对应数值代入公式：
$1=-\frac{b}{2×1}$
解方程：
两边同时乘2得：$2=-b$
解得$b=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数对称轴公式的掌握，只要准确识别一般式的系数、牢记公式的符号规则就能顺利得分，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.9
6. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$开口向上，且经过点$(3,4)$和$(-2,4)$。如果点$(1,y_1)$与$(2,y_2)$在此抛物线上，那么$y_1$
＜
$y_2$。（填“＜”、“＞”或“=”）答案
6. ＜.
解析
【分析】
解题时首先观察到已知的两个点纵坐标相等，根据二次函数的对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此可以先求出抛物线的对称轴；再结合抛物线开口向上的性质，分析对称轴右侧函数的增减性；最后比较两个待求点的横坐标与对称轴的位置关系，即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(3,4)$和$(-2,4)$，两点纵坐标相同，
∴ 这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3+(-2)}{2}=0.5$。
又
∵ 抛物线开口向上，
∴ 在对称轴右侧，即$x＞0.5$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$的横坐标满足$0.5＜1＜2$，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，无需求解函数解析式，只需利用对称性求出对称轴，结合开口方向判断增减性即可快速得出结论，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到已知的两个点纵坐标相等，根据二次函数的对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此可以先求出抛物线的对称轴；再结合抛物线开口向上的性质，分析对称轴右侧函数的增减性；最后比较两个待求点的横坐标与对称轴的位置关系，即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(3,4)$和$(-2,4)$，两点纵坐标相同，
∴ 这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3+(-2)}{2}=0.5$。
又
∵ 抛物线开口向上，
∴ 在对称轴右侧，即$x＞0.5$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$的横坐标满足$0.5＜1＜2$，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，无需求解函数解析式，只需利用对称性求出对称轴，结合开口方向判断增减性即可快速得出结论，是二次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
7. 一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧是上升的. 请写出一个符合条件的函数表达式：
$y=4x^2$
.答案
7. $y=4x^2$.（答案不唯一）
解析
【分析】
要写出符合条件的二次函数表达式，我们可以结合二次函数的顶点式和性质逐步推导：首先，顶点在x轴上说明顶点的纵坐标为0，对应顶点式中的常数项为0；其次，y轴右侧上升说明抛物线开口向上，且对称轴不能在y轴右侧，否则y轴右侧会出现下降的部分，由此确定二次项系数和顶点横坐标的取值范围，最后选取符合范围的数值即可写出解析式。
【解析】
设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 由函数图像顶点在x轴上，可知顶点纵坐标$k=0$，因此解析式可简化为$y=a(x-h)^2$；
2. 由图像在y轴右侧上升，可知抛物线开口向上，即$a＞0$；同时y轴右侧整体单调递增，说明对称轴$x=h$需满足$h≤0$（保证$x＞0$的区域全部在对称轴右侧，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大）；
3. 取$a=4$，$h=0$，即可得到符合条件的表达式$y=4x^2$，也可选取其他满足$a＞0$、$h≤0$的数值，答案不唯一。
【答案】
$y=4x^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题是开放性试题，核心考查二次函数的图像与性质的应用，需要结合顶点位置、单调性两个限制条件确定参数的取值范围，再代入符合要求的数值即可得到答案，解题时注意不要遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
要写出符合条件的二次函数表达式，我们可以结合二次函数的顶点式和性质逐步推导：首先，顶点在x轴上说明顶点的纵坐标为0，对应顶点式中的常数项为0；其次，y轴右侧上升说明抛物线开口向上，且对称轴不能在y轴右侧，否则y轴右侧会出现下降的部分，由此确定二次项系数和顶点横坐标的取值范围，最后选取符合范围的数值即可写出解析式。
【解析】
设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 由函数图像顶点在x轴上，可知顶点纵坐标$k=0$，因此解析式可简化为$y=a(x-h)^2$；
2. 由图像在y轴右侧上升，可知抛物线开口向上，即$a＞0$；同时y轴右侧整体单调递增，说明对称轴$x=h$需满足$h≤0$（保证$x＞0$的区域全部在对称轴右侧，开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大）；
3. 取$a=4$，$h=0$，即可得到符合条件的表达式$y=4x^2$，也可选取其他满足$a＞0$、$h≤0$的数值，答案不唯一。
【答案】
$y=4x^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题是开放性试题，核心考查二次函数的图像与性质的应用，需要结合顶点位置、单调性两个限制条件确定参数的取值范围，再代入符合要求的数值即可得到答案，解题时注意不要遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
8. 若一个二次函数的图像经过点$(1,2)$和$(0,-1)$，且对称轴为直线$x=2$，则其表达式为
$y=-x^2+4x-1$
.答案
8. $y=-x^2+4x-1$.
解析
【分析】
求二次函数表达式通常用待定系数法，本题已知二次函数的对称轴和图象上的两个点，优先选择顶点式设解析式会简化计算：因为对称轴为x=2，所以顶点式中h=2，只需设解析式为y=a(x-2)²+k（a≠0），再将两个已知点的坐标代入，得到关于a、k的二元一次方程组，求解出a、k的值后，再整理为一般式即可。也可设一般式y=ax²+bx+c（a≠0），结合两个点的坐标和对称轴公式x=-b/(2a)=2列方程组求解。
【解析】
选用顶点式求解：
∵ 二次函数的对称轴为直线x=2，
∴ 设该二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2+k$（$a≠0$）。
将点$(1,2)$和$(0,-1)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}a(1-2)^2 + k = 2 \\a(0-2)^2 + k = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + k = 2&① \\4a + k = -1&②\end{cases}$
用②式减去①式，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①式，得$-1 + k = 2$，解得$k=3$。
因此二次函数表达式为$y=-(x-2)^2+3$，展开整理得：
$y=-(x^2-4x+4)+3=-x^2+4x-4+3=-x^2+4x-1$。
【答案】
$y=-x^2+4x-1$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数对称轴；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，根据已知条件选择合适的解析式形式可以有效减少计算量，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
求二次函数表达式通常用待定系数法，本题已知二次函数的对称轴和图象上的两个点，优先选择顶点式设解析式会简化计算：因为对称轴为x=2，所以顶点式中h=2，只需设解析式为y=a(x-2)²+k（a≠0），再将两个已知点的坐标代入，得到关于a、k的二元一次方程组，求解出a、k的值后，再整理为一般式即可。也可设一般式y=ax²+bx+c（a≠0），结合两个点的坐标和对称轴公式x=-b/(2a)=2列方程组求解。
【解析】
选用顶点式求解：
∵ 二次函数的对称轴为直线x=2，
∴ 设该二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2+k$（$a≠0$）。
将点$(1,2)$和$(0,-1)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}a(1-2)^2 + k = 2 \\a(0-2)^2 + k = -1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + k = 2&① \\4a + k = -1&②\end{cases}$
用②式减去①式，得$3a=-3$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①式，得$-1 + k = 2$，解得$k=3$。
因此二次函数表达式为$y=-(x-2)^2+3$，展开整理得：
$y=-(x^2-4x+4)+3=-x^2+4x-4+3=-x^2+4x-1$。
【答案】
$y=-x^2+4x-1$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数对称轴；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，根据已知条件选择合适的解析式形式可以有效减少计算量，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
9. 若一个二次函数的图像有顶点$(1,2)$且经过另一点$(3,-2)$，则其表达式为
$y=-(x-1)^2+2$
.答案
9. $y=-(x-1)^2+2$.
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解更简便。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，我们可以先将已知的顶点坐标代入顶点式，得到只含待定系数$a$的表达式，再把已知的另一个点的坐标代入，求出$a$的值，就能得到二次函数的表达式。
【解析】
1. 设二次函数的解析式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）
因为函数图像顶点为$(1,2)$，所以$h=1$，$k=2$，代入得：$y=a(x-1)^2+2$
2. 将点$(3,-2)$代入上述表达式求$a$：
把$x=3$，$y=-2$代入得：$-2=a×(3-1)^2+2$
化简计算：$-2=4a+2$，移项得$4a=-4$，解得$a=-1$
3. 把$a=-1$代入顶点式，得到最终表达式：$y=-(x-1)^2+2$
【答案】
$y=-(x-1)^2+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，当已知顶点坐标时，选用顶点式求解可以大幅减少计算量，熟练掌握不同条件下二次函数解析式的设法是解题关键。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解更简便。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，我们可以先将已知的顶点坐标代入顶点式，得到只含待定系数$a$的表达式，再把已知的另一个点的坐标代入，求出$a$的值，就能得到二次函数的表达式。
【解析】
1. 设二次函数的解析式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）
因为函数图像顶点为$(1,2)$，所以$h=1$，$k=2$，代入得：$y=a(x-1)^2+2$
2. 将点$(3,-2)$代入上述表达式求$a$：
把$x=3$，$y=-2$代入得：$-2=a×(3-1)^2+2$
化简计算：$-2=4a+2$，移项得$4a=-4$，解得$a=-1$
3. 把$a=-1$代入顶点式，得到最终表达式：$y=-(x-1)^2+2$
【答案】
$y=-(x-1)^2+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，当已知顶点坐标时，选用顶点式求解可以大幅减少计算量，熟练掌握不同条件下二次函数解析式的设法是解题关键。
【难度系数】
0.8
