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10 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”。
已知直线 $ y=-x+3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $。若点 $ B $ 恰好是抛物线 $ y=-(x-m)^2 +n $ 的顶点，则此抛物线关于直线 $ y=-x+3 $ 的割距是
已知直线 $ y=-x+3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $。若点 $ B $ 恰好是抛物线 $ y=-(x-m)^2 +n $ 的顶点，则此抛物线关于直线 $ y=-x+3 $ 的割距是
$\sqrt{2}$
。答案
10. $\sqrt{2}$．提示：点$B$坐标为$(0,3)$．由$B$是抛物线的顶点，可得$m=0$，$n=3$，抛物线的表达式为$y=-x^2+3$．抛物线与直线的交点为$(0,3)$和$(1,2)$。
解析
【分析】
解题思路可分为四步：①先求直线与y轴交点B的坐标，直线与y轴交点的横坐标为0，代入直线解析式即可求出B点坐标；②利用二次函数顶点式的性质，抛物线$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知B是抛物线顶点，即可求出m、n的值，得到抛物线的解析式；③联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到两个交点的坐标；④根据“割距”的定义，用两点间距离公式计算两个交点的距离即可得到结果。
【解析】
1. 求点B的坐标：
直线$y=-x+3$与y轴交于点B，令$x=0$，代入得$y=-0+3=3$，$\therefore B(0,3)$。
2. 求抛物线解析式：
抛物线$y=-(x-m)^2+n$的顶点坐标为$(m,n)$，
∵点B是抛物线的顶点，$\therefore m=0$，$n=3$，
∴抛物线解析式为$y=-x^2+3$。
3. 求直线与抛物线的交点：
联立两个解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-x+3 \\ y=-x^2+3\end{cases}$
将两个式子相等，得$-x+3=-x^2+3$，
整理得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
把$x_1=0$代入$y=-x+3$得$y_1=3$；把$x_2=1$代入$y=-x+3$得$y_2=2$，
∴两个交点坐标为$(0,3)$和$(1,2)$。
4. 计算割距：
根据两点间距离公式，两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，
代入交点坐标得割距为$\sqrt{(0-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
一次函数交点求法；二次函数顶点式；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合新定义“割距”考察函数基础性质，解题关键是先根据顶点坐标确定抛物线解析式，再通过联立方程求交点，最后计算两点距离即可，要求熟练掌握函数基础性质和联立求交点的方法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：①先求直线与y轴交点B的坐标，直线与y轴交点的横坐标为0，代入直线解析式即可求出B点坐标；②利用二次函数顶点式的性质，抛物线$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知B是抛物线顶点，即可求出m、n的值，得到抛物线的解析式；③联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到两个交点的坐标；④根据“割距”的定义，用两点间距离公式计算两个交点的距离即可得到结果。
【解析】
1. 求点B的坐标：
直线$y=-x+3$与y轴交于点B，令$x=0$，代入得$y=-0+3=3$，$\therefore B(0,3)$。
2. 求抛物线解析式：
抛物线$y=-(x-m)^2+n$的顶点坐标为$(m,n)$，
∵点B是抛物线的顶点，$\therefore m=0$，$n=3$，
∴抛物线解析式为$y=-x^2+3$。
3. 求直线与抛物线的交点：
联立两个解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-x+3 \\ y=-x^2+3\end{cases}$
将两个式子相等，得$-x+3=-x^2+3$，
整理得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
把$x_1=0$代入$y=-x+3$得$y_1=3$；把$x_2=1$代入$y=-x+3$得$y_2=2$，
∴两个交点坐标为$(0,3)$和$(1,2)$。
4. 计算割距：
根据两点间距离公式，两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，
代入交点坐标得割距为$\sqrt{(0-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
一次函数交点求法；二次函数顶点式；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合新定义“割距”考察函数基础性质，解题关键是先根据顶点坐标确定抛物线解析式，再通过联立方程求交点，最后计算两点距离即可，要求熟练掌握函数基础性质和联立求交点的方法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 已知二次函数 $y=x^2+2x-m$ 图像的顶点在 $x$ 轴上，求此二次函数的表达式。
11. 已知二次函数 $y=x^2+2x-m$ 图像的顶点在 $x$ 轴上，求此二次函数的表达式。
答案
11. $y=x^2+2x+1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数顶点在x轴上的核心特征：顶点的纵坐标为0，也等价于二次函数图像与x轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式Δ=0。我们可以先将给定的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，令其等于0求出未知参数m的值，再代回原式就能得到二次函数的表达式，也可以利用判别式等于0列方程求解m，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
解法一（配方法）：
将二次函数$y=x^2+2x-m$配方得：
$y=x^2+2x+1-1-m=(x+1)^2-(1+m)$
∴ 该二次函数的顶点坐标为$(-1, -(1+m))$
∵ 函数图像的顶点在x轴上，x轴上点的纵坐标为0
∴ $-(1+m)=0$
解得：$m=-1$
将$m=-1$代入原二次函数表达式，得：
$y=x^2+2x-(-1)=x^2+2x+1$
解法二（判别式法）：
∵ 二次函数$y=x^2+2x-m$的顶点在x轴上
∴ 对应的一元二次方程$x^2+2x-m=0$有两个相等的实数根，即$\Delta=0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=1,b=2,c=-m$
∴ $\Delta=2^2-4×1×(-m)=4+4m=0$
解得：$m=-1$
代入原表达式得$y=x^2+2x+1$
【答案】
$y=x^2+2x+1$
【知识点】
二次函数顶点性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点在x轴上的性质应用，无论是配方法求顶点坐标还是用判别式求解，都要求熟练掌握二次函数的基本性质，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确二次函数顶点在x轴上的核心特征：顶点的纵坐标为0，也等价于二次函数图像与x轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式Δ=0。我们可以先将给定的二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标的表达式，令其等于0求出未知参数m的值，再代回原式就能得到二次函数的表达式，也可以利用判别式等于0列方程求解m，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
解法一（配方法）：
将二次函数$y=x^2+2x-m$配方得：
$y=x^2+2x+1-1-m=(x+1)^2-(1+m)$
∴ 该二次函数的顶点坐标为$(-1, -(1+m))$
∵ 函数图像的顶点在x轴上，x轴上点的纵坐标为0
∴ $-(1+m)=0$
解得：$m=-1$
将$m=-1$代入原二次函数表达式，得：
$y=x^2+2x-(-1)=x^2+2x+1$
解法二（判别式法）：
∵ 二次函数$y=x^2+2x-m$的顶点在x轴上
∴ 对应的一元二次方程$x^2+2x-m=0$有两个相等的实数根，即$\Delta=0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=1,b=2,c=-m$
∴ $\Delta=2^2-4×1×(-m)=4+4m=0$
解得：$m=-1$
代入原表达式得$y=x^2+2x+1$
【答案】
$y=x^2+2x+1$
【知识点】
二次函数顶点性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点在x轴上的性质应用，无论是配方法求顶点坐标还是用判别式求解，都要求熟练掌握二次函数的基本性质，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
12. 已知抛物线$y=x^2+mx+3$的对称轴为直线$x=-2$.
（1）求$m$的值.
（2）如果将此抛物线向右平移$n$个单位长度后，那么新的抛物线经过点$(6,8)$，求新抛物线与$y$轴的交点坐标.
（1）求$m$的值.
（2）如果将此抛物线向右平移$n$个单位长度后，那么新的抛物线经过点$(6,8)$，求新抛物线与$y$轴的交点坐标.
答案
12. （1）$m=4$. （2）$(0,8)$或$(0,80)$.
解析
【分析】
第(1)问可利用二次函数对称轴公式求解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，结合题中给出的对称轴$x=-2$，代入对应系数即可列方程求出$m$。
第(2)问先将求得的$m$代入得到原抛物线解析式，根据抛物线平移“左加右减”的规律写出向右平移$n$个单位后的新解析式，将已知点$(6,8)$代入新解析式求出$n$的取值，最后令新解析式中$x=0$，计算得到的$y$值就是新抛物线与$y$轴交点的纵坐标。
【解析】
（1）二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^2+mx+3$中，$a=1$，$b=m$，已知对称轴为直线$x=-2$，代入得：
$-\frac{m}{2×1}=-2$
解得$m=4$。
（2）把$m=4$代入原抛物线解析式，得$y=x^2+4x+3$。
将抛物线向右平移$n$个单位长度（$n＞0$），根据“左加右减”的平移规律，新抛物线解析式为：
$y=(x-n)^2+4(x-n)+3$
因为新抛物线经过点$(6,8)$，将$x=6,y=8$代入上式：
$8=(6-n)^2+4(6-n)+3$
整理得$(6-n)^2+4(6-n)-5=0$，设$t=6-n$，方程变为$t^2+4t-5=0$，因式分解得$(t+5)(t-1)=0$，解得$t=1$或$t=-5$。
对应得：$6-n=1⇒ n=5$；$6-n=-5⇒ n=11$，两个$n$值均为正，符合平移要求。
求新抛物线与$y$轴的交点，令$x=0$：
①当$n=5$时，$y=(0-5)^2+4×(0-5)+3=25-20+3=8$，交点为$(0,8)$；
②当$n=11$时，$y=(0-11)^2+4×(0-11)+3=121-44+3=80$，交点为$(0,80)$。
【答案】
（1）$m=4$；（2）$(0,8)$或$(0,80)$
【知识点】
二次函数对称轴，二次函数图象平移，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设计，重点考查对称轴公式、图象平移规则的应用，以及代入求值的计算能力，解题时需要注意平移单位的非负性，避免舍去有效解。
【难度系数】
0.7
第(1)问可利用二次函数对称轴公式求解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，结合题中给出的对称轴$x=-2$，代入对应系数即可列方程求出$m$。
第(2)问先将求得的$m$代入得到原抛物线解析式，根据抛物线平移“左加右减”的规律写出向右平移$n$个单位后的新解析式，将已知点$(6,8)$代入新解析式求出$n$的取值，最后令新解析式中$x=0$，计算得到的$y$值就是新抛物线与$y$轴交点的纵坐标。
【解析】
（1）二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=x^2+mx+3$中，$a=1$，$b=m$，已知对称轴为直线$x=-2$，代入得：
$-\frac{m}{2×1}=-2$
解得$m=4$。
（2）把$m=4$代入原抛物线解析式，得$y=x^2+4x+3$。
将抛物线向右平移$n$个单位长度（$n＞0$），根据“左加右减”的平移规律，新抛物线解析式为：
$y=(x-n)^2+4(x-n)+3$
因为新抛物线经过点$(6,8)$，将$x=6,y=8$代入上式：
$8=(6-n)^2+4(6-n)+3$
整理得$(6-n)^2+4(6-n)-5=0$，设$t=6-n$，方程变为$t^2+4t-5=0$，因式分解得$(t+5)(t-1)=0$，解得$t=1$或$t=-5$。
对应得：$6-n=1⇒ n=5$；$6-n=-5⇒ n=11$，两个$n$值均为正，符合平移要求。
求新抛物线与$y$轴的交点，令$x=0$：
①当$n=5$时，$y=(0-5)^2+4×(0-5)+3=25-20+3=8$，交点为$(0,8)$；
②当$n=11$时，$y=(0-11)^2+4×(0-11)+3=121-44+3=80$，交点为$(0,80)$。
【答案】
（1）$m=4$；（2）$(0,8)$或$(0,80)$
【知识点】
二次函数对称轴，二次函数图象平移，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题围绕二次函数的基础性质设计，重点考查对称轴公式、图象平移规则的应用，以及代入求值的计算能力，解题时需要注意平移单位的非负性，避免舍去有效解。
【难度系数】
0.7
