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13. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像上部分点的横坐标$x$和纵坐标$y$的对应值如下表.
（1）由表格信息，求出该二次函数的表达式，并写出其图像的顶点$D$的坐标.
（2）设该二次函数图像与$y$轴交于点$A$，且过点$P(5,t)$，求$△ PAD$的面积.
（1）由表格信息，求出该二次函数的表达式，并写出其图像的顶点$D$的坐标.
（2）设该二次函数图像与$y$轴交于点$A$，且过点$P(5,t)$，求$△ PAD$的面积.
答案
13. （1）$y=x^2-4x+3$；$D(2,-1)$．（2）15.
解析
【分析】
（1）求二次函数表达式可采用待定系数法，观察表格可知x=0、x=4时y的值均为3，也可先确定对称轴为x=2，结合顶点纵坐标为-1，用顶点式求解，或直接选取三组x、y的对应值代入一般式$y=ax^2+bx+c$，解出a、b、c即可得到函数表达式，再通过配方或顶点坐标公式得到顶点D的坐标。
（2）先根据函数表达式求出y轴交点A的坐标，再将点P(5,t)代入表达式求出t，得到点P的坐标，最后用割补法或坐标面积公式计算$△ PAD$的面积即可。
【解析】
（1）设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将表格中$(0,3)$、$(1,0)$、$(4,3)$代入表达式得：
$\begin{cases}c=3\\a+b+c=0\\16a+4b+c=3\end{cases}$
把$c=3$代入后两个方程，得：
$\begin{cases}a+b=-3\\16a+4b=0\end{cases}$
化简第二个方程得$4a+b=0$，用该式减去$a+b=-3$，得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=-3$，得$b=-4$，
所以二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
将表达式配方得：$y=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1$，
所以其图像的顶点D的坐标为$(2,-1)$。
（2）二次函数图像与y轴交于点A，令$x=0$，得$y=3$，所以$A(0,3)$，
将$P(5,t)$代入$y=x^2-4x+3$，得$t=5^2-4×5+3=25-20+3=8$，所以$P(5,8)$。
计算$△ PAD$的面积：
$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}\left|x_A(y_D-y_P)+x_D(y_P-y_A)+x_P(y_A-y_D)\right|$
代入$A(0,3)$、$D(2,-1)$、$P(5,8)$得：
$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}\left|0×(-1-8)+2×(8-3)+5×[3-(-1)]\right|=\frac{1}{2}\left|0+10+20\right|=15$
【答案】
（1）$y=x^2-4x+3$；$D(2,-1)$
（2）15
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了平面直角坐标系中图形面积的计算技巧，解题时要灵活运用已知条件简化计算，熟练掌握相关基础知识点是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数表达式可采用待定系数法，观察表格可知x=0、x=4时y的值均为3，也可先确定对称轴为x=2，结合顶点纵坐标为-1，用顶点式求解，或直接选取三组x、y的对应值代入一般式$y=ax^2+bx+c$，解出a、b、c即可得到函数表达式，再通过配方或顶点坐标公式得到顶点D的坐标。
（2）先根据函数表达式求出y轴交点A的坐标，再将点P(5,t)代入表达式求出t，得到点P的坐标，最后用割补法或坐标面积公式计算$△ PAD$的面积即可。
【解析】
（1）设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将表格中$(0,3)$、$(1,0)$、$(4,3)$代入表达式得：
$\begin{cases}c=3\\a+b+c=0\\16a+4b+c=3\end{cases}$
把$c=3$代入后两个方程，得：
$\begin{cases}a+b=-3\\16a+4b=0\end{cases}$
化简第二个方程得$4a+b=0$，用该式减去$a+b=-3$，得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a+b=-3$，得$b=-4$，
所以二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
将表达式配方得：$y=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1$，
所以其图像的顶点D的坐标为$(2,-1)$。
（2）二次函数图像与y轴交于点A，令$x=0$，得$y=3$，所以$A(0,3)$，
将$P(5,t)$代入$y=x^2-4x+3$，得$t=5^2-4×5+3=25-20+3=8$，所以$P(5,8)$。
计算$△ PAD$的面积：
$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}\left|x_A(y_D-y_P)+x_D(y_P-y_A)+x_P(y_A-y_D)\right|$
代入$A(0,3)$、$D(2,-1)$、$P(5,8)$得：
$S_{△ PAD}=\frac{1}{2}\left|0×(-1-8)+2×(8-3)+5×[3-(-1)]\right|=\frac{1}{2}\left|0+10+20\right|=15$
【答案】
（1）$y=x^2-4x+3$；$D(2,-1)$
（2）15
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了平面直角坐标系中图形面积的计算技巧，解题时要灵活运用已知条件简化计算，熟练掌握相关基础知识点是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14 如图，已知二次函数 $ y = ax^2 + bx - 4 $ 的图像交 x 轴于点 A(-1,0)、B(3,0)，交 y 轴于点 C.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）设点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线 l，l 分别交直线 BC 和函数图像于点 N、P. 当点 M 在线段 OB 上时，求 OM+MP 的最大值.
（3）以 MN 为斜边作等腰直角三角形 MNQ，当点 Q 落在函数图像上时，求点 Q 的坐标.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）设点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线 l，l 分别交直线 BC 和函数图像于点 N、P. 当点 M 在线段 OB 上时，求 OM+MP 的最大值.
（3）以 MN 为斜边作等腰直角三角形 MNQ，当点 Q 落在函数图像上时，求点 Q 的坐标.
答案
14. （1）$y=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x-4$.
（2）$\frac{313}{48}$．提示：设点$M$的坐标为$(m,0)$，则点$P$的坐标为$(m,\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)$，可得$OM+MP=m-(\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)=-\frac{4}{3}(m-\frac{11}{8})^2+\frac{313}{48}$．因此，当$m=\frac{11}{8}$时，$OM+MP$的最大值是$\frac{313}{48}$．
（3）$(\frac{1}{2},-5)$或$(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$．提示：先求出$C(0,-4)$，再求出直线$BC$的方程为$y=\frac{4}{3}x-4$．① 若点$Q$在$MN$的右侧，设$Q$的坐标为$(n,\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，$N$的坐标为$(m,\frac{4}{3}m-4)$，由等腰直角三角形的性质得，$n-m=-(\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，即$m=\frac{4}{3}n^2-\frac{5}{3}n-4$；且$\frac{4}{3}m-4=2(\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)=\frac{8}{3}n^2-\frac{16}{3}n-8$．解得$n_1=\frac{1}{2}$，$n_2=3$(舍去)．故$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},-5)$．② 若点$Q$在$MN$的左侧，设$Q(n,\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，同理可得$N$的坐标为$(-\frac{4}{3}n^2+\frac{11}{3}n+4,\frac{8}{3}n^2-\frac{16}{3}n-8)$．代入$y=\frac{4}{3}x-4$，得$10n^2-23n-21=0$，解得$n_1=-\frac{7}{10}$，$n_2=3$(舍去)．故$Q$的坐标为$(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$．
（2）$\frac{313}{48}$．提示：设点$M$的坐标为$(m,0)$，则点$P$的坐标为$(m,\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)$，可得$OM+MP=m-(\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)=-\frac{4}{3}(m-\frac{11}{8})^2+\frac{313}{48}$．因此，当$m=\frac{11}{8}$时，$OM+MP$的最大值是$\frac{313}{48}$．
（3）$(\frac{1}{2},-5)$或$(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$．提示：先求出$C(0,-4)$，再求出直线$BC$的方程为$y=\frac{4}{3}x-4$．① 若点$Q$在$MN$的右侧，设$Q$的坐标为$(n,\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，$N$的坐标为$(m,\frac{4}{3}m-4)$，由等腰直角三角形的性质得，$n-m=-(\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，即$m=\frac{4}{3}n^2-\frac{5}{3}n-4$；且$\frac{4}{3}m-4=2(\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)=\frac{8}{3}n^2-\frac{16}{3}n-8$．解得$n_1=\frac{1}{2}$，$n_2=3$(舍去)．故$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},-5)$．② 若点$Q$在$MN$的左侧，设$Q(n,\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，同理可得$N$的坐标为$(-\frac{4}{3}n^2+\frac{11}{3}n+4,\frac{8}{3}n^2-\frac{16}{3}n-8)$．代入$y=\frac{4}{3}x-4$，得$10n^2-23n-21=0$，解得$n_1=-\frac{7}{10}$，$n_2=3$(舍去)．故$Q$的坐标为$(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$．
解析
【分析】
（1）已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得a、b的值，进而得到二次函数表达式。
（2）设点M的横坐标为m，用含m的代数式分别表示OM和MP的长度，将OM+MP整理为关于m的二次函数，结合m的取值范围，通过配方求二次函数的最大值即可。
（3）先求出直线BC的解析式，由于MN垂直x轴，以MN为斜边的等腰直角三角形斜边上的高为水平线段，长度等于MN的一半，分Q在MN右侧、Q在MN左侧两种情况，根据坐标之间的等量关系列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到Q点坐标。
【解析】
（1）将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y = ax^2 + bx - 4$，得：
$\begin{cases} a - b - 4 = 0 \\ 9a + 3b - 4 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{4}{3} \\ b=-\frac{8}{3} \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x-4$。
（2）设点M的坐标为$(m,0)$（$0≤ m≤3$），则点P的坐标为$(m,\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)$。
∵点P在x轴下方，
∴$MP=0 - (\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)=-\frac{4}{3}m^2+\frac{8}{3}m+4$，又$OM=m$，
∴$OM+MP=m + (-\frac{4}{3}m^2+\frac{8}{3}m+4)=-\frac{4}{3}m^2+\frac{11}{3}m+4$
配方得：$OM+MP=-\frac{4}{3}(m-\frac{11}{8})^2+\frac{313}{48}$
∵$-\frac{4}{3}＜0$，且$\frac{11}{8}$在$0≤ m≤3$范围内，
∴当$m=\frac{11}{8}$时，$OM+MP$取得最大值$\frac{313}{48}$。
（3）当$x=0$时，$y=-4$，
∴$C(0,-4)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+c$，代入$B(3,0)$、$C(0,-4)$得：
$\begin{cases} c=-4 \\ 3k-4=0 \end{cases}$，解得$k=\frac{4}{3}$，
∴直线BC的解析式为$y=\frac{4}{3}x-4$。
∵MN垂直x轴，$△ MNQ$为以MN为斜边的等腰直角三角形，
∴斜边上的高为水平线段，长度等于$\frac{1}{2}MN$，分两种情况：
① 当Q在MN右侧时：设$Q(n,\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，M横坐标为m，则$N(m,\frac{4}{3}m-4)$。
由等腰直角三角形性质得坐标关系，联立方程解得$n_1=\frac{1}{2}$，$n_2=3$（与点B重合，舍去），将$n=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式得$y=-5$，
∴$Q(\frac{1}{2},-5)$。
② 当Q在MN左侧时：同理可得坐标关系，列方程解得$n_1=-\frac{7}{10}$，$n_2=3$（舍去），将$n=-\frac{7}{10}$代入抛物线解析式得$y=-\frac{37}{25}$，
∴$Q(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$。
【答案】
（1）$y=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x-4$；（2）$\frac{313}{48}$；（3）$(\frac{1}{2},-5)$或$(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了一次函数、几何图形性质等知识，解题时要注意线段长度与坐标的转换，第三问需运用分类讨论思想避免漏解，同时要注意对解的合理性进行检验。
【难度系数】
0.4
（1）已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得a、b的值，进而得到二次函数表达式。
（2）设点M的横坐标为m，用含m的代数式分别表示OM和MP的长度，将OM+MP整理为关于m的二次函数，结合m的取值范围，通过配方求二次函数的最大值即可。
（3）先求出直线BC的解析式，由于MN垂直x轴，以MN为斜边的等腰直角三角形斜边上的高为水平线段，长度等于MN的一半，分Q在MN右侧、Q在MN左侧两种情况，根据坐标之间的等量关系列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到Q点坐标。
【解析】
（1）将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y = ax^2 + bx - 4$，得：
$\begin{cases} a - b - 4 = 0 \\ 9a + 3b - 4 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{4}{3} \\ b=-\frac{8}{3} \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x-4$。
（2）设点M的坐标为$(m,0)$（$0≤ m≤3$），则点P的坐标为$(m,\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)$。
∵点P在x轴下方，
∴$MP=0 - (\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m-4)=-\frac{4}{3}m^2+\frac{8}{3}m+4$，又$OM=m$，
∴$OM+MP=m + (-\frac{4}{3}m^2+\frac{8}{3}m+4)=-\frac{4}{3}m^2+\frac{11}{3}m+4$
配方得：$OM+MP=-\frac{4}{3}(m-\frac{11}{8})^2+\frac{313}{48}$
∵$-\frac{4}{3}＜0$，且$\frac{11}{8}$在$0≤ m≤3$范围内，
∴当$m=\frac{11}{8}$时，$OM+MP$取得最大值$\frac{313}{48}$。
（3）当$x=0$时，$y=-4$，
∴$C(0,-4)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+c$，代入$B(3,0)$、$C(0,-4)$得：
$\begin{cases} c=-4 \\ 3k-4=0 \end{cases}$，解得$k=\frac{4}{3}$，
∴直线BC的解析式为$y=\frac{4}{3}x-4$。
∵MN垂直x轴，$△ MNQ$为以MN为斜边的等腰直角三角形，
∴斜边上的高为水平线段，长度等于$\frac{1}{2}MN$，分两种情况：
① 当Q在MN右侧时：设$Q(n,\frac{4}{3}n^2-\frac{8}{3}n-4)$，M横坐标为m，则$N(m,\frac{4}{3}m-4)$。
由等腰直角三角形性质得坐标关系，联立方程解得$n_1=\frac{1}{2}$，$n_2=3$（与点B重合，舍去），将$n=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式得$y=-5$，
∴$Q(\frac{1}{2},-5)$。
② 当Q在MN左侧时：同理可得坐标关系，列方程解得$n_1=-\frac{7}{10}$，$n_2=3$（舍去），将$n=-\frac{7}{10}$代入抛物线解析式得$y=-\frac{37}{25}$，
∴$Q(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$。
【答案】
（1）$y=\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x-4$；（2）$\frac{313}{48}$；（3）$(\frac{1}{2},-5)$或$(-\frac{7}{10},-\frac{37}{25})$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了一次函数、几何图形性质等知识，解题时要注意线段长度与坐标的转换，第三问需运用分类讨论思想避免漏解，同时要注意对解的合理性进行检验。
【难度系数】
0.4
