登录
12. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在直线$y=\frac{1}{2}x$上. 二次函数$y=ax^2+bx-2$的图像也经过A、B两点，并与y轴相交于点C. 已知BC平行于x轴，点A的横坐标是2，求这个二次函数的表达式.
答案
12. $y=\frac{1}{4}x^2+x-2$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上、横坐标为2，求出点A的坐标；第二步，先求二次函数与y轴交点C的坐标，结合BC平行于x轴的性质，得到点B的纵坐标，再代入直线解析式求出点B的坐标；第三步，将A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y=\frac{1}{2}×2=1$，故$A(2,1)$。
2. 求点B的坐标：
二次函数$y=ax^2+bx-2$与y轴交于点C，当$x=0$时，$y=-2$，故$C(0,-2)$。
因为BC平行于x轴，所以点B的纵坐标与点C相同，即$y_B=-2$。
又点B在直线$y=\frac{1}{2}x$上，将$y=-2$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$-2=\frac{1}{2}x$，解得$x=-4$，故$B(-4,-2)$。
3. 用待定系数法求二次函数表达式：
将$A(2,1)$、$B(-4,-2)$代入$y=ax^2+bx-2$，得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b - 2 = 1 \\16a - 4b - 2 = -2\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}4a + 2b = 3 \quad ① \\4a - b = 0 \quad ②\end{cases}$
由②得$b=4a$，代入①得$4a + 8a = 3$，解得$a=\frac{1}{4}$，则$b=4×\frac{1}{4}=1$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}x^2+x-2$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是先结合一次函数性质与平行线的坐标特点求出未知点坐标，再通过列方程组求解二次函数的系数，较好地融合了一次函数与二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上、横坐标为2，求出点A的坐标；第二步，先求二次函数与y轴交点C的坐标，结合BC平行于x轴的性质，得到点B的纵坐标，再代入直线解析式求出点B的坐标；第三步，将A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点A在直线$y=\frac{1}{2}x$上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y=\frac{1}{2}×2=1$，故$A(2,1)$。
2. 求点B的坐标：
二次函数$y=ax^2+bx-2$与y轴交于点C，当$x=0$时，$y=-2$，故$C(0,-2)$。
因为BC平行于x轴，所以点B的纵坐标与点C相同，即$y_B=-2$。
又点B在直线$y=\frac{1}{2}x$上，将$y=-2$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$-2=\frac{1}{2}x$，解得$x=-4$，故$B(-4,-2)$。
3. 用待定系数法求二次函数表达式：
将$A(2,1)$、$B(-4,-2)$代入$y=ax^2+bx-2$，得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b - 2 = 1 \\16a - 4b - 2 = -2\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}4a + 2b = 3 \quad ① \\4a - b = 0 \quad ②\end{cases}$
由②得$b=4a$，代入①得$4a + 8a = 3$，解得$a=\frac{1}{4}$，则$b=4×\frac{1}{4}=1$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}x^2+x-2$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是先结合一次函数性质与平行线的坐标特点求出未知点坐标，再通过列方程组求解二次函数的系数，较好地融合了一次函数与二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.7
13 若一个点的纵坐标是其横坐标的3倍，则称这个点为三倍点. 已知反比例函数的图像经过点$A(3,4)$，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像经过点$A$和反比例函数图像上的三倍点，求该二次函数的表达式.
答案
13. $y=-x^2+3x+4$. 提示：由点$A(3,4)$求出反比例函数表达式$y=\frac{12}{x}$. 设三倍点坐标为$(x,3x)$，代入反比例函数，求出$x=2$或$x=-2$. 最后用待定系数法求出二次函数的表达式.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据反比例函数过点A(3,4)，利用待定系数法求出反比例函数的表达式；第二步，根据“三倍点”的定义，设三倍点坐标为(x,3x)，将其代入反比例函数表达式，求解得到两个三倍点的坐标；第三步，已知二次函数有3个未知系数，将点A和两个三倍点的坐标代入二次函数解析式，列出三元一次方程组，通过消元法解出a、b、c的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
1. 求反比例函数表达式：
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵ 反比例函数图像经过点$A(3,4)$，
∴ 代入得$4=\frac{k}{3}$，解得$k=12$，
∴ 反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
2. 求反比例函数图像上的三倍点：
设三倍点的坐标为$(x,3x)$，
∵ 该点在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图像上，
∴ 代入得$3x=\frac{12}{x}$，整理得$3x^2=12$，即$x^2=4$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴ 两个三倍点的坐标分别为$(2,6)$和$(-2,-6)$。
3. 用待定系数法求二次函数表达式：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过$A(3,4)$、$(2,6)$、$(-2,-6)$三点，
∴ 将三点坐标分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}9a+3b+c=4&①\\4a+2b+c=6&②\\4a-2b+c=-6&③\end{cases}$
用②-③消去$a$和$c$，得：$4b=12$，解得$b=3$。
把$b=3$代入②，得$4a+6+c=6$，整理得$4a+c=0$ ④。
把$b=3$代入①，得$9a+9+c=4$，整理得$9a+c=-5$ ⑤。
用⑤-④消去$c$，得：$5a=-5$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入④，得$4×(-1)+c=0$，解得$c=4$。
∴ 二次函数的表达式为$y=-x^2+3x+4$。
【答案】
$y=-x^2+3x+4$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 反比例函数性质
3. 新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查函数解析式的求解，解题的核心是先根据新定义求出所有符合条件的三倍点坐标，再利用待定系数法列方程组求解，计算时要注意消元法的正确运用，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据反比例函数过点A(3,4)，利用待定系数法求出反比例函数的表达式；第二步，根据“三倍点”的定义，设三倍点坐标为(x,3x)，将其代入反比例函数表达式，求解得到两个三倍点的坐标；第三步，已知二次函数有3个未知系数，将点A和两个三倍点的坐标代入二次函数解析式，列出三元一次方程组，通过消元法解出a、b、c的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
1. 求反比例函数表达式：
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵ 反比例函数图像经过点$A(3,4)$，
∴ 代入得$4=\frac{k}{3}$，解得$k=12$，
∴ 反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
2. 求反比例函数图像上的三倍点：
设三倍点的坐标为$(x,3x)$，
∵ 该点在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图像上，
∴ 代入得$3x=\frac{12}{x}$，整理得$3x^2=12$，即$x^2=4$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴ 两个三倍点的坐标分别为$(2,6)$和$(-2,-6)$。
3. 用待定系数法求二次函数表达式：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过$A(3,4)$、$(2,6)$、$(-2,-6)$三点，
∴ 将三点坐标分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}9a+3b+c=4&①\\4a+2b+c=6&②\\4a-2b+c=-6&③\end{cases}$
用②-③消去$a$和$c$，得：$4b=12$，解得$b=3$。
把$b=3$代入②，得$4a+6+c=6$，整理得$4a+c=0$ ④。
把$b=3$代入①，得$9a+9+c=4$，整理得$9a+c=-5$ ⑤。
用⑤-④消去$c$，得：$5a=-5$，解得$a=-1$。
把$a=-1$代入④，得$4×(-1)+c=0$，解得$c=4$。
∴ 二次函数的表达式为$y=-x^2+3x+4$。
【答案】
$y=-x^2+3x+4$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 反比例函数性质
3. 新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查函数解析式的求解，解题的核心是先根据新定义求出所有符合条件的三倍点坐标，再利用待定系数法列方程组求解，计算时要注意消元法的正确运用，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
