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7. 已知二次函数 $ y_1 = ax^2 + bx + c $ 的图像经过点(2, -10)和(0,6)，且可以由二次函数 $ y_2 = -2x^2 $ 的图像平移得到，则二次函数 $ y_1 $ 的表达式为
$y_1=-2x^2-4x+6$
。答案
7. $y_1=-2x^2-4x+6$.
解析
【分析】
首先，二次函数图像平移时形状、开口方向不变，因此二次项系数a与平移前的函数$y_2=-2x^2$的二次项系数相等，先确定a的值；再将已知的两个点坐标代入含待定系数的$y_1$解析式，通过解方程依次求出c和b的值，即可得到$y_1$的完整表达式。
【解析】
∵ 二次函数$y_1$由$y_2=-2x^2$平移得到
∴ 二次项系数$a=-2$，即$y_1=-2x^2+bx+c$
将点$(0,6)$代入$y_1$的解析式：
当$x=0$时，$y=6$，可得$6=0+0+c$，解得$c=6$
此时$y_1=-2x^2+bx+6$，再将点$(2,-10)$代入：
$-10=-2×2^2 + 2b +6$
计算得：$-10=-8+2b+6$
化简：$-10=2b-2$
移项求解：$2b=-8$，即$b=-4$
将$a=-2$、$b=-4$、$c=6$代入即可得到$y_1$的表达式。
【答案】
$y_1=-2x^2-4x+6$
【知识点】
二次函数平移性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是牢记平移不改变二次函数的二次项系数，再结合已知点用待定系数法计算未知系数即可。
【难度系数】
0.8
首先，二次函数图像平移时形状、开口方向不变，因此二次项系数a与平移前的函数$y_2=-2x^2$的二次项系数相等，先确定a的值；再将已知的两个点坐标代入含待定系数的$y_1$解析式，通过解方程依次求出c和b的值，即可得到$y_1$的完整表达式。
【解析】
∵ 二次函数$y_1$由$y_2=-2x^2$平移得到
∴ 二次项系数$a=-2$，即$y_1=-2x^2+bx+c$
将点$(0,6)$代入$y_1$的解析式：
当$x=0$时，$y=6$，可得$6=0+0+c$，解得$c=6$
此时$y_1=-2x^2+bx+6$，再将点$(2,-10)$代入：
$-10=-2×2^2 + 2b +6$
计算得：$-10=-8+2b+6$
化简：$-10=2b-2$
移项求解：$2b=-8$，即$b=-4$
将$a=-2$、$b=-4$、$c=6$代入即可得到$y_1$的表达式。
【答案】
$y_1=-2x^2-4x+6$
【知识点】
二次函数平移性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是牢记平移不改变二次函数的二次项系数，再结合已知点用待定系数法计算未知系数即可。
【难度系数】
0.8
8. 已知点$A(x_1,y_1)$、$B(4,y_2)$在二次函数$y=x^2-3x-1$的图像上. 若$y_1＜y_2$，则$x_1$的取值范围是
$-1＜x_1＜4$
.答案
8. $-1＜x_1＜4$.
解析
【分析】
首先明确二次函数的基本性质：该二次函数二次项系数为正，开口向上，先求出点B对应的函数值，再通过解方程找到函数值等于y₂时的所有x取值，结合开口向上的二次函数“函数值小于某一正数时，对应x取值在两个方程根之间”的规律，即可推导出y₁＜y₂时x₁的范围。也可利用二次函数的对称性，找到B点关于对称轴的对称点，结合增减性判断取值范围。
【解析】
1. 求点B的函数值：将$x=4$代入$y=x^2-3x-1$，得$y_2=4^2-3×4-1=3$。
2. 解方程求函数值等于3时的x值：令$x^2-3x-1=3$，整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x=4$或$x=-1$。
3. 结合二次函数性质判断范围：因为二次函数$y=x^2-3x-1$开口向上，所以当函数值小于3时，x的取值在两个根$-1$和$4$之间，即$-1＜x＜4$。
因此若$y_1＜y_2$，则$x_1$的取值范围是$-1＜x_1＜4$。
【答案】
$-1＜x_1＜4$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用方程思想找到函数值等于$y_2$的临界横坐标，再结合开口方向确定取值范围，熟练掌握二次函数的增减性和对称性可快速解题。
【难度系数】
0.75
首先明确二次函数的基本性质：该二次函数二次项系数为正，开口向上，先求出点B对应的函数值，再通过解方程找到函数值等于y₂时的所有x取值，结合开口向上的二次函数“函数值小于某一正数时，对应x取值在两个方程根之间”的规律，即可推导出y₁＜y₂时x₁的范围。也可利用二次函数的对称性，找到B点关于对称轴的对称点，结合增减性判断取值范围。
【解析】
1. 求点B的函数值：将$x=4$代入$y=x^2-3x-1$，得$y_2=4^2-3×4-1=3$。
2. 解方程求函数值等于3时的x值：令$x^2-3x-1=3$，整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x=4$或$x=-1$。
3. 结合二次函数性质判断范围：因为二次函数$y=x^2-3x-1$开口向上，所以当函数值小于3时，x的取值在两个根$-1$和$4$之间，即$-1＜x＜4$。
因此若$y_1＜y_2$，则$x_1$的取值范围是$-1＜x_1＜4$。
【答案】
$-1＜x_1＜4$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用方程思想找到函数值等于$y_2$的临界横坐标，再结合开口方向确定取值范围，熟练掌握二次函数的增减性和对称性可快速解题。
【难度系数】
0.75
9. 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像的顶点为 M，且与 x 轴交于 A、B 两点. 若$OA=1$，$OB=OC=3$，则 CM 的长为
$\sqrt{2}$
.答案
9. $\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据OA、OB、OC的长度确定二次函数图像上A、B、C三点的坐标；随后将三点坐标代入二次函数一般式，用待定系数法求出函数的系数a、b、c，得到二次函数解析式；再将解析式配方为顶点式，得到顶点M的坐标；最后用两点间距离公式计算CM的长度即可。
【解析】
1. 确定各点坐标：
∵OA=1，点A在x轴负半轴，
∴A(-1,0)；
∵OB=3，点B在x轴正半轴，
∴B(3,0)；
∵OC=3，点C在y轴负半轴，
∴C(0,-3)。
2. 用待定系数法求二次函数解析式：
将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=-3 \\a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0\end{cases}$
把$c=-3$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a - b =3$，得$b=-2$。
∴二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
3. 求顶点M的坐标：
将解析式配方：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2 -4$，
∴顶点M的坐标为$(1,-4)$。
4. 计算CM的长度：
根据两点间距离公式，$CM=\sqrt{(1-0)^2 + (-4 - (-3))^2}=\sqrt{1^2 + (-1)^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题的核心是先根据线段长度确定对应点的坐标，再依次求解函数解析式、顶点坐标，最后计算线段长度，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据OA、OB、OC的长度确定二次函数图像上A、B、C三点的坐标；随后将三点坐标代入二次函数一般式，用待定系数法求出函数的系数a、b、c，得到二次函数解析式；再将解析式配方为顶点式，得到顶点M的坐标；最后用两点间距离公式计算CM的长度即可。
【解析】
1. 确定各点坐标：
∵OA=1，点A在x轴负半轴，
∴A(-1,0)；
∵OB=3，点B在x轴正半轴，
∴B(3,0)；
∵OC=3，点C在y轴负半轴，
∴C(0,-3)。
2. 用待定系数法求二次函数解析式：
将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=-3 \\a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0\end{cases}$
把$c=-3$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a - b =3$，得$b=-2$。
∴二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
3. 求顶点M的坐标：
将解析式配方：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2 -4$，
∴顶点M的坐标为$(1,-4)$。
4. 计算CM的长度：
根据两点间距离公式，$CM=\sqrt{(1-0)^2 + (-4 - (-3))^2}=\sqrt{1^2 + (-1)^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题的核心是先根据线段长度确定对应点的坐标，再依次求解函数解析式、顶点坐标，最后计算线段长度，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
10 如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是$(-2,-1)$、$(2,1)$。若点A在抛物线$y=ax^2+x$的图像上，则a的值为
3
。答案
10. 3. 提示：由点B、D的坐标知，点B和点D关于点O对称，因此点O为正方形ABCD的中心. 连接OA、OD，过点A、D分别作$AM⊥ x$轴、$DN⊥ x$轴，垂足分别为M、N，$△ AOM≌△ DON$. 求出点A坐标，再代入抛物线的方程求出a.
解析
【分析】
首先观察点B和点D的坐标特征，发现两点横、纵坐标均互为相反数，关于原点对称，因此原点O是正方形ABCD的中心，可得OA与OD垂直且长度相等。接下来构造垂直于x轴的线段得到两个直角三角形，通过角度互余关系证明三角形全等，从而求出点A的坐标，最后将点A坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
1. 确定正方形中心：已知点$B(-2,-1)$、$D(2,1)$，两点关于原点$O$对称，即$O$是正方形$ABCD$的中心，因此$OA=OD$，且$OA⊥ OD$，$∠ AOD=90°$。
2. 证明三角形全等：过点$A$作$AM⊥ x$轴于$M$，过点$D$作$DN⊥ x$轴于$N$，可得$∠ AMO=∠ OND=90°$。
因为$∠ AOM+∠ OAM=90°$，$∠ AOM+∠ DON=180°-∠ AOD=90°$，所以$∠ OAM=∠ DON$。
在$△ AOM$和$△ ODN$中：
$\begin{cases}∠ AMO=∠ OND \\∠ OAM=∠ DON \\OA=OD\end{cases}$
因此$△ AOM≌△ ODN$（AAS）。
3. 求点$A$坐标：由$D(2,1)$得$ON=2$，$DN=1$，根据全等三角形对应边相等，得$OM=DN=1$，$AM=ON=2$。
因为点$A$在第二象限，所以$A$的坐标为$(-1,2)$。
4. 计算$a$的值：将$A(-1,2)$代入抛物线$y=ax^2+x$，得：
$2=a× (-1)^2+(-1)$
即$2=a-1$，解得$a=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数参数
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题核心是利用正方形的中心对称性得到线段的位置和数量关系，通过构造全等三角形得到抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，能较好地考查知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察点B和点D的坐标特征，发现两点横、纵坐标均互为相反数，关于原点对称，因此原点O是正方形ABCD的中心，可得OA与OD垂直且长度相等。接下来构造垂直于x轴的线段得到两个直角三角形，通过角度互余关系证明三角形全等，从而求出点A的坐标，最后将点A坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
1. 确定正方形中心：已知点$B(-2,-1)$、$D(2,1)$，两点关于原点$O$对称，即$O$是正方形$ABCD$的中心，因此$OA=OD$，且$OA⊥ OD$，$∠ AOD=90°$。
2. 证明三角形全等：过点$A$作$AM⊥ x$轴于$M$，过点$D$作$DN⊥ x$轴于$N$，可得$∠ AMO=∠ OND=90°$。
因为$∠ AOM+∠ OAM=90°$，$∠ AOM+∠ DON=180°-∠ AOD=90°$，所以$∠ OAM=∠ DON$。
在$△ AOM$和$△ ODN$中：
$\begin{cases}∠ AMO=∠ OND \\∠ OAM=∠ DON \\OA=OD\end{cases}$
因此$△ AOM≌△ ODN$（AAS）。
3. 求点$A$坐标：由$D(2,1)$得$ON=2$，$DN=1$，根据全等三角形对应边相等，得$OM=DN=1$，$AM=ON=2$。
因为点$A$在第二象限，所以$A$的坐标为$(-1,2)$。
4. 计算$a$的值：将$A(-1,2)$代入抛物线$y=ax^2+x$，得：
$2=a× (-1)^2+(-1)$
即$2=a-1$，解得$a=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数参数
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题核心是利用正方形的中心对称性得到线段的位置和数量关系，通过构造全等三角形得到抛物线上点的坐标，再代入解析式求解，能较好地考查知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 已知一个二次函数的图像经过点$(1,0)$、$(2,-1)$、$(4,3)$。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及图像的变化规律。判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标。
11. 已知一个二次函数的图像经过点$(1,0)$、$(2,-1)$、$(4,3)$。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及图像的变化规律。判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标。
答案
11. (1) $y=x^2-4x+3$. （2）开口向上；直线$x=2$；顶点$(2,-1)$. 在对称轴左侧，图像下降，在对称轴右侧，图像上升. 该图像有最低点，其坐标是$(2,-1)$.
解析
【分析】
（1）已知二次函数经过三个普通点，选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到函数表达式。（2）根据求出的二次函数表达式，先由二次项系数的正负判断开口方向，再利用对称轴公式、代入求值的方法求出对称轴和顶点坐标，结合开口方向分析图像的增减变化规律，进而判断图像的最高/最低点。
【解析】
（1）设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将点$(1,0)$、$(2,-1)$、$(4,3)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}a+b+c=0 \quad ① \\4a+2b+c=-1 \quad ② \\16a+4b+c=3 \quad ③\end{cases}$
用②$-$①，得：$3a+b=-1 \quad ④$
用③$-$②，得：$12a+2b=4$，化简为$6a+b=2 \quad ⑤$
用⑤$-$④，得：$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入④，得：$3×1+b=-1$，解得$b=-4$，
将$a=1$，$b=-4$代入①，得：$1-4+c=0$，解得$c=3$，
因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
（2）$\because$二次函数表达式为$y=x^2-4x+3$，二次项系数$a=1＞0$，
$\therefore$二次函数图像开口向上；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$；
将$x=2$代入函数表达式，得$y=2^2-4×2+3=-1$，即顶点坐标为$(2,-1)$；
图像变化规律：在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，图像下降；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，图像上升；
$\because$图像开口向上，$\therefore$该图像有最低点，最低点为顶点，坐标是$(2,-1)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) 开口向上；对称轴为直线$x=2$；顶点坐标为$(2,-1)$；在对称轴左侧图像下降，在对称轴右侧图像上升；图像有最低点，坐标为$(2,-1)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值等核心性质的应用，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次函数经过三个普通点，选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到函数表达式。（2）根据求出的二次函数表达式，先由二次项系数的正负判断开口方向，再利用对称轴公式、代入求值的方法求出对称轴和顶点坐标，结合开口方向分析图像的增减变化规律，进而判断图像的最高/最低点。
【解析】
（1）设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将点$(1,0)$、$(2,-1)$、$(4,3)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}a+b+c=0 \quad ① \\4a+2b+c=-1 \quad ② \\16a+4b+c=3 \quad ③\end{cases}$
用②$-$①，得：$3a+b=-1 \quad ④$
用③$-$②，得：$12a+2b=4$，化简为$6a+b=2 \quad ⑤$
用⑤$-$④，得：$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入④，得：$3×1+b=-1$，解得$b=-4$，
将$a=1$，$b=-4$代入①，得：$1-4+c=0$，解得$c=3$，
因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
（2）$\because$二次函数表达式为$y=x^2-4x+3$，二次项系数$a=1＞0$，
$\therefore$二次函数图像开口向上；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$；
将$x=2$代入函数表达式，得$y=2^2-4×2+3=-1$，即顶点坐标为$(2,-1)$；
图像变化规律：在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，图像下降；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，图像上升；
$\because$图像开口向上，$\therefore$该图像有最低点，最低点为顶点，坐标是$(2,-1)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) 开口向上；对称轴为直线$x=2$；顶点坐标为$(2,-1)$；在对称轴左侧图像下降，在对称轴右侧图像上升；图像有最低点，坐标为$(2,-1)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值等核心性质的应用，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
