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12.有这样一道题:计算$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x} - x$的值,其中$x=2024$.甲同学把“$x=2024$”错抄成“$x=2014$”,但他的计算结果也正确,你能说明这是怎么回事吗?
答案
12.解:$\because \frac{x^2-2x+1}{x^2-1}÷\frac{x-1}{x^2+x}-x$
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x(x+1)}{x-1}-x=x-x=0,$
其结果不随x的变化而变化，
$\therefore$把“$x=2\ 024$”错抄成“$x=2\ 014$”,计算结果仍然正确.
$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x(x+1)}{x-1}-x=x-x=0,$
其结果不随x的变化而变化，
$\therefore$把“$x=2\ 024$”错抄成“$x=2\ 014$”,计算结果仍然正确.
解析
【分析】
遇到抄错x的取值但计算结果仍正确的问题，首先可推测原式化简后为常数，与x的取值无关。解题时先遵循分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对各分式的分子、分母进行因式分解，通过约分后合并同类项，观察最终化简结果是否含有x，即可说明原因。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x} - x\\=&\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1} - x \\=&x - x\\=&0\end{aligned}$
可知化简后的结果为0，只要x的取值使原式有意义（即$x≠±1$且$x≠0$），计算结果不会随x的取值变化而变化。2024和2014均满足原式有意义的条件，因此即使抄错x的值，计算结果仍然正确。
【答案】
原式化简后结果为0，与x的取值（使原式有意义的前提下）无关，因此把“$x=2024$”错抄成“$x=2014$”，计算结果仍然正确。
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的典型应用，解题核心是先化简再判断结果与自变量的关系，无需代入数值计算即可快速得出结论，既简化了运算也能直观解释现象，需要熟练掌握分式运算规则和常见因式分解的方法。
【难度系数】
0.8
遇到抄错x的取值但计算结果仍正确的问题，首先可推测原式化简后为常数，与x的取值无关。解题时先遵循分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对各分式的分子、分母进行因式分解，通过约分后合并同类项，观察最终化简结果是否含有x，即可说明原因。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x} - x\\=&\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1} - x \\=&x - x\\=&0\end{aligned}$
可知化简后的结果为0，只要x的取值使原式有意义（即$x≠±1$且$x≠0$），计算结果不会随x的取值变化而变化。2024和2014均满足原式有意义的条件，因此即使抄错x的值，计算结果仍然正确。
【答案】
原式化简后结果为0，与x的取值（使原式有意义的前提下）无关，因此把“$x=2024$”错抄成“$x=2014$”，计算结果仍然正确。
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的典型应用，解题核心是先化简再判断结果与自变量的关系，无需代入数值计算即可快速得出结论，既简化了运算也能直观解释现象，需要熟练掌握分式运算规则和常见因式分解的方法。
【难度系数】
0.8
1. 计算$\frac{ab^2}{2cd} ÷ \frac{-3ax}{4cd}$的结果是(
A.$-\frac{2b^2}{3x}$
B.$\frac{3}{2}b^2x$
C.$\frac{2b^2}{3x}$
D.$-\frac{3a^2b^2x}{8c^2d^2}$
A
).A.$-\frac{2b^2}{3x}$
B.$\frac{3}{2}b^2x$
C.$\frac{2b^2}{3x}$
D.$-\frac{3a^2b^2x}{8c^2d^2}$
答案
1.A
解析
【分析】
解这道题需遵循分式除法的解题思路：首先回忆分式除法的运算法则，先将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；其次先判断结果的符号，一正一负相乘结果为负；最后对分子分母的公因式进行约分，约去相同的因式后化简得到结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，计算如下：
原式$=\frac{ab^2}{2cd} × \frac{4cd}{-3ax}$
首先判断符号，正乘负结果为负，整理得：
$=-\frac{ab^2 · 4cd}{2cd · 3ax}$
对分子分母约分：约去公因式$a$、$2cd$，化简得：
$=-\frac{2b^2}{3x}$
【答案】
A
【知识点】
分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握分式除法的转化规则，运算过程中要重点注意符号的判断，同时约分时要找准分子分母的公因式，避免出现符号错误或者约分漏项的问题。
【难度系数】
0.8
解这道题需遵循分式除法的解题思路：首先回忆分式除法的运算法则，先将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；其次先判断结果的符号，一正一负相乘结果为负；最后对分子分母的公因式进行约分，约去相同的因式后化简得到结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，计算如下：
原式$=\frac{ab^2}{2cd} × \frac{4cd}{-3ax}$
首先判断符号，正乘负结果为负，整理得：
$=-\frac{ab^2 · 4cd}{2cd · 3ax}$
对分子分母约分：约去公因式$a$、$2cd$，化简得：
$=-\frac{2b^2}{3x}$
【答案】
A
【知识点】
分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握分式除法的转化规则，运算过程中要重点注意符号的判断，同时约分时要找准分子分母的公因式，避免出现符号错误或者约分漏项的问题。
【难度系数】
0.8
2.如果$(\dfrac{a^3}{b^2})^2 ÷ (\dfrac{a}{b^3})^2 = 3$，那么$a^8b^4$等于（
A.6
B.9
C.12
D.81
B
）。A.6
B.9
C.12
D.81
答案
2.B
解析
【分析】
本题需要先对已知等式左边的分式运算进行化简，再通过化简结果与所求代数式的关系求解。首先根据分式乘方法则分别计算两个乘方项，再将除法转化为乘法，结合同底数幂的运算法则化简得到最简形式，最后观察所求的$a^8b^4$与化简结果的关联，利用整体代入法计算即可。
【解析】
先化简已知等式左边的式子：
1. 计算乘方：根据分式乘方法则$(\frac{x}{y})^n=\frac{x^n}{y^n}$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$可得：
$(\frac{a^3}{b^2})^2=\frac{(a^3)^2}{(b^2)^2}=\frac{a^6}{b^4}$
$(\frac{a}{b^3})^2=\frac{a^2}{(b^3)^2}=\frac{a^2}{b^6}$
2. 计算除法：除以一个分式等于乘以它的倒数：
$\frac{a^6}{b^4} ÷ \frac{a^2}{b^6} = \frac{a^6}{b^4} × \frac{b^6}{a^2}$
3. 结合同底数幂的乘除法则$x^m ÷ x^n = x^{m-n}$、$x^m × x^n = x^{m+n}$计算：
$\frac{a^6 × b^6}{b^4 × a^2} = a^{6-2} · b^{6-4} = a^4b^2$
由已知条件得$a^4b^2=3$
4. 变形所求代数式：$a^8b^4=(a^4)^2 · (b^2)^2=(a^4b^2)^2$
将$a^4b^2=3$代入得：$(a^4b^2)^2=3^2=9$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、幂的运算性质、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题核心是熟练掌握分式乘方、同底数幂的运算法则，先化简已知条件得到核心关系式，再利用整体代入思想快速求出目标式的值，可避免单独求解a、b的冗余运算。
【难度系数】
0.8
本题需要先对已知等式左边的分式运算进行化简，再通过化简结果与所求代数式的关系求解。首先根据分式乘方法则分别计算两个乘方项，再将除法转化为乘法，结合同底数幂的运算法则化简得到最简形式，最后观察所求的$a^8b^4$与化简结果的关联，利用整体代入法计算即可。
【解析】
先化简已知等式左边的式子：
1. 计算乘方：根据分式乘方法则$(\frac{x}{y})^n=\frac{x^n}{y^n}$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$可得：
$(\frac{a^3}{b^2})^2=\frac{(a^3)^2}{(b^2)^2}=\frac{a^6}{b^4}$
$(\frac{a}{b^3})^2=\frac{a^2}{(b^3)^2}=\frac{a^2}{b^6}$
2. 计算除法：除以一个分式等于乘以它的倒数：
$\frac{a^6}{b^4} ÷ \frac{a^2}{b^6} = \frac{a^6}{b^4} × \frac{b^6}{a^2}$
3. 结合同底数幂的乘除法则$x^m ÷ x^n = x^{m-n}$、$x^m × x^n = x^{m+n}$计算：
$\frac{a^6 × b^6}{b^4 × a^2} = a^{6-2} · b^{6-4} = a^4b^2$
由已知条件得$a^4b^2=3$
4. 变形所求代数式：$a^8b^4=(a^4)^2 · (b^2)^2=(a^4b^2)^2$
将$a^4b^2=3$代入得：$(a^4b^2)^2=3^2=9$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算、幂的运算性质、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题核心是熟练掌握分式乘方、同底数幂的运算法则，先化简已知条件得到核心关系式，再利用整体代入思想快速求出目标式的值，可避免单独求解a、b的冗余运算。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$(a^2 - a) ÷ \dfrac{a}{a - 1} = \_\_\_\_\_\_$
答案
3.$(a-1)^2$
解析
【分析】
本题是分式的除法运算题，解题思路可分为三步：第一步先对被除数中的多项式进行因式分解，方便后续约分；第二步根据分式的除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子分母中的公因式进行约分，再将剩余部分相乘即可得到最终结果。
【解析】
首先对被除数因式分解：
$a^2 - a = a(a-1)$
再根据分式除法法则将除法转化为乘法：
$(a^2 - a) ÷ \dfrac{a}{a - 1} = a(a-1) × \dfrac{a-1}{a}$
约去分子分母的公因式$a$（隐含$a≠0$且$a≠1$，分式有意义），得：
原式$=(a-1)(a-1)=(a-1)^2$
【答案】
$(a-1)^2$
【知识点】
分式的除法法则；提取公因式法因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察分式除法的运算规则，解题的关键是先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法后约分计算，计算时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.85
本题是分式的除法运算题，解题思路可分为三步：第一步先对被除数中的多项式进行因式分解，方便后续约分；第二步根据分式的除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子分母中的公因式进行约分，再将剩余部分相乘即可得到最终结果。
【解析】
首先对被除数因式分解：
$a^2 - a = a(a-1)$
再根据分式除法法则将除法转化为乘法：
$(a^2 - a) ÷ \dfrac{a}{a - 1} = a(a-1) × \dfrac{a-1}{a}$
约去分子分母的公因式$a$（隐含$a≠0$且$a≠1$，分式有意义），得：
原式$=(a-1)(a-1)=(a-1)^2$
【答案】
$(a-1)^2$
【知识点】
分式的除法法则；提取公因式法因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察分式除法的运算规则，解题的关键是先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法后约分计算，计算时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.85
4. 已知$|3a - b + 1| + (3a - \dfrac{3b}{2})^2 = 0$，则$\dfrac{b^2}{a + b} ÷ (\dfrac{b}{a - b} · \dfrac{ab}{a + b})$的值为________。
答案
4.$-1$ 【提示】由$|3a-b+1|+(3a-\frac{3b}{2})^2=0$，
解得$a=-1,b=-2.$
$\frac{b^2}{a+b}÷(\frac{b}{a-b}·\frac{ab}{a+b})=\frac{a-b}{a},$
将$a=-1,b=-2$代入,得$\frac{a-b}{a}=-1.$
解得$a=-1,b=-2.$
$\frac{b^2}{a+b}÷(\frac{b}{a-b}·\frac{ab}{a+b})=\frac{a-b}{a},$
将$a=-1,b=-2$代入,得$\frac{a-b}{a}=-1.$
解析
【分析】
解题分为两步：第一步，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组，求解得到a、b的值；第二步，先按照分式运算顺序，先计算括号内的分式乘法，再将分式除法转化为乘法，约分后得到最简分式，最后代入a、b的值计算结果，先化简再代入可降低计算出错概率。
【解析】
1. 求解a、b的值：
∵ 绝对值和偶次平方均为非负数，且$|3a - b + 1| + (3a - \dfrac{3b}{2})^2 = 0$
∴ 可得方程组：$\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \dfrac{3b}{2} = 0 \end{cases}$
由第二个方程化简得：$3a = \dfrac{3b}{2}$，即$b = 2a$
将$b=2a$代入第一个方程：$3a - 2a +1 =0$，解得$a=-1$
则$b=2×(-1) = -2$
2. 化简分式：
$\dfrac{b^2}{a + b} ÷ (\dfrac{b}{a - b} · \dfrac{ab}{a + b})$
先计算括号内的乘法：$\dfrac{b}{a - b} · \dfrac{ab}{a + b} = \dfrac{ab^2}{(a - b)(a + b)}$
再将除法转化为乘法：原式$=\dfrac{b^2}{a + b} × \dfrac{(a - b)(a + b)}{ab^2}$
约分后得：$\dfrac{a - b}{a}$
3. 代入求值：
将$a=-1$，$b=-2$代入$\dfrac{a - b}{a}$得：
$\dfrac{-1 - (-2)}{-1} = \dfrac{-1 + 2}{-1} = \dfrac{1}{-1} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质；分式的乘除运算；代数式求值
【点评】
本题是代数综合基础题，既考查了非负性的应用，也检验了分式混合运算的运算顺序和约分规则，解题时先化简分式再代入参数计算，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
解题分为两步：第一步，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组，求解得到a、b的值；第二步，先按照分式运算顺序，先计算括号内的分式乘法，再将分式除法转化为乘法，约分后得到最简分式，最后代入a、b的值计算结果，先化简再代入可降低计算出错概率。
【解析】
1. 求解a、b的值：
∵ 绝对值和偶次平方均为非负数，且$|3a - b + 1| + (3a - \dfrac{3b}{2})^2 = 0$
∴ 可得方程组：$\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \dfrac{3b}{2} = 0 \end{cases}$
由第二个方程化简得：$3a = \dfrac{3b}{2}$，即$b = 2a$
将$b=2a$代入第一个方程：$3a - 2a +1 =0$，解得$a=-1$
则$b=2×(-1) = -2$
2. 化简分式：
$\dfrac{b^2}{a + b} ÷ (\dfrac{b}{a - b} · \dfrac{ab}{a + b})$
先计算括号内的乘法：$\dfrac{b}{a - b} · \dfrac{ab}{a + b} = \dfrac{ab^2}{(a - b)(a + b)}$
再将除法转化为乘法：原式$=\dfrac{b^2}{a + b} × \dfrac{(a - b)(a + b)}{ab^2}$
约分后得：$\dfrac{a - b}{a}$
3. 代入求值：
将$a=-1$，$b=-2$代入$\dfrac{a - b}{a}$得：
$\dfrac{-1 - (-2)}{-1} = \dfrac{-1 + 2}{-1} = \dfrac{1}{-1} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质；分式的乘除运算；代数式求值
【点评】
本题是代数综合基础题，既考查了非负性的应用，也检验了分式混合运算的运算顺序和约分规则，解题时先化简分式再代入参数计算，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
5.(2023,随州,17)先化简,再求值:$\frac{4}{x^2 -4} ÷ \frac{2}{x-2}$,其中$x=1$.
答案
5.解:原式=$\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{x-2}{2}=\frac{2}{x+2}.$
当$x=1$时,原式=$\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}.$
当$x=1$时,原式=$\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题可按三步思考：第一步先处理多项式因式分解，观察到分母$x^2-4$符合平方差公式特征，先分解为$(x+2)(x-2)$；第二步根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，将除法运算转化为乘法运算；第三步约去分子分母的公因式得到最简分式，代入$x=1$计算即可，代入前可确认$x=1$不会让原分式分母为0，符合运算要求。
【解析】
解：先对原式化简：
利用平方差公式分解因式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
根据分式除法法则将除法转化为乘法：
$\frac{4}{x^2 -4} ÷ \frac{2}{x-2}=\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{x-2}{2}$
约去分子分母的公因式$2(x-2)$，得最简式为$\frac{2}{x+2}$。
再代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.分式的乘除运算 2.平方差公式因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式除法法则的应用以及因式分解的熟练度，计算过程中先约分再计算可以有效降低运算量，同时要注意代入的数值需保证原分式所有分母不为0。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，解题可按三步思考：第一步先处理多项式因式分解，观察到分母$x^2-4$符合平方差公式特征，先分解为$(x+2)(x-2)$；第二步根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，将除法运算转化为乘法运算；第三步约去分子分母的公因式得到最简分式，代入$x=1$计算即可，代入前可确认$x=1$不会让原分式分母为0，符合运算要求。
【解析】
解：先对原式化简：
利用平方差公式分解因式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
根据分式除法法则将除法转化为乘法：
$\frac{4}{x^2 -4} ÷ \frac{2}{x-2}=\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{x-2}{2}$
约去分子分母的公因式$2(x-2)$，得最简式为$\frac{2}{x+2}$。
再代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.分式的乘除运算 2.平方差公式因式分解 3.分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式除法法则的应用以及因式分解的熟练度，计算过程中先约分再计算可以有效降低运算量，同时要注意代入的数值需保证原分式所有分母不为0。
【难度系数】
0.8
