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1.(2023,河南,5)化简$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$的结果是(
A.0
B.1
C.a
D.a-2
B
).A.0
B.1
C.a
D.a-2
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查同分母分式的加法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为a，属于同分母分式相加，按照同分母分式加减法法则计算即可：第一步保持分母不变，只把分子相加；第二步对相加后的分子合并同类项，最后对得到的分式约分即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，可得：
$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{(a-1)+1}{a}$
对分子合并同类项：$a-1+1=a$，因此原式可化简为：
$\frac{a}{a}=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式的约分、合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分式加减的基础规则，解题时注意分子做加减运算时可先添加括号避免符号错误，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的加法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为a，属于同分母分式相加，按照同分母分式加减法法则计算即可：第一步保持分母不变，只把分子相加；第二步对相加后的分子合并同类项，最后对得到的分式约分即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，可得：
$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{(a-1)+1}{a}$
对分子合并同类项：$a-1+1=a$，因此原式可化简为：
$\frac{a}{a}=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法、分式的约分、合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分式加减的基础规则，解题时注意分子做加减运算时可先添加括号避免符号错误，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.若$xy=x-y≠0$，则$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的结果是(
A.$\frac{1}{xy}$
B.$x+y$
C.$-1$
D.$1$
C
).A.$\frac{1}{xy}$
B.$x+y$
C.$-1$
D.$1$
答案
2.C
解析
【分析】
要计算$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的结果，首先按照异分母分式减法的计算规则，先对所求式子通分化简，再结合题目给出的$xy=x-y$的条件，整体代入化简后的式子即可求出结果，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值。
【解析】
解：先对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$通分，转化为同分母分式计算：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y - x}{xy}$
已知$xy=x-y$且$xy≠0$，对分子变形可得$y - x=-(x - y)=-xy$，将其代入上式：
$\frac{y - x}{xy}=\frac{-xy}{xy}=-1$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式减法，整体代入求值
【点评】
本题主要考查分式减法运算和整体代入思想的应用，解题关键是先对所求分式通分化简，再结合已知条件整体代入计算，可简化运算过程，注意通分后分子的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
要计算$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的结果，首先按照异分母分式减法的计算规则，先对所求式子通分化简，再结合题目给出的$xy=x-y$的条件，整体代入化简后的式子即可求出结果，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值。
【解析】
解：先对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$通分，转化为同分母分式计算：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y - x}{xy}$
已知$xy=x-y$且$xy≠0$，对分子变形可得$y - x=-(x - y)=-xy$，将其代入上式：
$\frac{y - x}{xy}=\frac{-xy}{xy}=-1$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式减法，整体代入求值
【点评】
本题主要考查分式减法运算和整体代入思想的应用，解题关键是先对所求分式通分化简，再结合已知条件整体代入计算，可简化运算过程，注意通分后分子的符号不要出错。
【难度系数】
0.7
3.计算$a-b+\frac{2b^2}{a+b}$的结果是(
A.$\frac{a-b+2b^2}{a+b}$
B.$a+b$
C.$\frac{a^2+b^2}{a+b}$
D.$a-b$
C
).A.$\frac{a-b+2b^2}{a+b}$
B.$a+b$
C.$\frac{a^2+b^2}{a+b}$
D.$a-b$
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道分式与整式的加减运算题，解题思路分三步：第一步，将整式部分$a-b$看作分母为1的分式，和$\frac{2b^2}{a+b}$通分，统一分母为$a+b$；第二步，利用平方差公式计算通分后整式部分的分子，再和后面分式的分子相加；第三步，合并分子的同类项，化简得到最终结果，对应选项判断即可。
【解析】
解：先对整式部分通分，将$a-b$转化为分母为$a+b$的分式：
$\begin{aligned}a-b+\frac{2b^2}{a+b}&=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+\frac{2b^2}{a+b}\\&=\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{a+b}\\&=\frac{a^2 + b^2}{a+b}\end{aligned}$
故计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减法；平方差公式；通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算规则，解题时注意将整式转化为分母为1的分式再通分，结合整式乘法公式化简即可，计算时要注意分子运算的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
这是一道分式与整式的加减运算题，解题思路分三步：第一步，将整式部分$a-b$看作分母为1的分式，和$\frac{2b^2}{a+b}$通分，统一分母为$a+b$；第二步，利用平方差公式计算通分后整式部分的分子，再和后面分式的分子相加；第三步，合并分子的同类项，化简得到最终结果，对应选项判断即可。
【解析】
解：先对整式部分通分，将$a-b$转化为分母为$a+b$的分式：
$\begin{aligned}a-b+\frac{2b^2}{a+b}&=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+\frac{2b^2}{a+b}\\&=\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{a+b}\\&=\frac{a^2 + b^2}{a+b}\end{aligned}$
故计算结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减法；平方差公式；通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算规则，解题时注意将整式转化为分母为1的分式再通分，结合整式乘法公式化简即可，计算时要注意分子运算的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
4.计算$\frac{3x^2}{x+y}+\frac{3xy}{x+y}$的结果是(
A.$\frac{3x^2+3xy}{x+y}$
B.$3x$
C.$\frac{3x^3y}{x+y}$
D.$\frac{6xy}{x+y}$
B
).A.$\frac{3x^2+3xy}{x+y}$
B.$3x$
C.$\frac{3x^3y}{x+y}$
D.$\frac{6xy}{x+y}$
答案
4.B
解析
【分析】
这是一道同分母分式的加法计算题，解题时首先回忆同分母分式的加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加；相加后观察分子是否可以因式分解，若分子分母有公因式，要进行约分，将结果化为最简形式。
【解析】
解：两个分式的分母均为$x+y$，属于同分母分式相加，根据同分母分式加法法则：
原式$=\frac{3x^2 + 3xy}{x+y}$
对分子提取公因式$3x$，得：
$=\frac{3x(x+y)}{x+y}$
由分式有意义的条件可知$x+y≠0$，因此可以约去公因式$x+y$，得：
$=3x$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加法，分式约分，提公因式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查同分母分式的运算规则和约分方法，计算时注意要把最终结果化为最简整式或分式即可。
【难度系数】
0.9
这是一道同分母分式的加法计算题，解题时首先回忆同分母分式的加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加；相加后观察分子是否可以因式分解，若分子分母有公因式，要进行约分，将结果化为最简形式。
【解析】
解：两个分式的分母均为$x+y$，属于同分母分式相加，根据同分母分式加法法则：
原式$=\frac{3x^2 + 3xy}{x+y}$
对分子提取公因式$3x$，得：
$=\frac{3x(x+y)}{x+y}$
由分式有意义的条件可知$x+y≠0$，因此可以约去公因式$x+y$，得：
$=3x$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加法，分式约分，提公因式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查同分母分式的运算规则和约分方法，计算时注意要把最终结果化为最简整式或分式即可。
【难度系数】
0.9
5.(2025,天津,9)计算$\frac{2}{a^2 -1}+\frac{1}{a+1}$的结果等于(
A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
A
).A.$\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$\frac{1}{1-a}$
D.1
答案
5.A
解析
【分析】
这是一道异分母分式加法计算题，解题思路如下：第一步先对可因式分解的分母进行因式分解，$a^2-1$符合平方差公式，可分解为$(a+1)(a-1)$；第二步确定两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$；第三步将两个分式通分为同分母分式，再按照同分母分式加法法则，分母不变、分子相加；最后对计算结果约分，即可得到最简结果，对应选项判断即可。
【解析】
首先对第一个分式的分母因式分解：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{1}{a+1}\\&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2 + a - 1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
对应选项可得答案为A。
【答案】
A
【知识点】
异分母分式加法、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察异分母分式的加减运算规则，解题的关键是先对复杂分母因式分解，准确找到最简公分母，分子合并计算时要注意运算符号，最后结果要约分为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是一道异分母分式加法计算题，解题思路如下：第一步先对可因式分解的分母进行因式分解，$a^2-1$符合平方差公式，可分解为$(a+1)(a-1)$；第二步确定两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$；第三步将两个分式通分为同分母分式，再按照同分母分式加法法则，分母不变、分子相加；最后对计算结果约分，即可得到最简结果，对应选项判断即可。
【解析】
首先对第一个分式的分母因式分解：
$a^2-1=(a+1)(a-1)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{1}{a+1}\\&=\frac{2}{(a+1)(a-1)}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2 + a - 1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1}\end{aligned}$
对应选项可得答案为A。
【答案】
A
【知识点】
异分母分式加法、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察异分母分式的加减运算规则，解题的关键是先对复杂分母因式分解，准确找到最简公分母，分子合并计算时要注意运算符号，最后结果要约分为最简分式。
【难度系数】
0.8
