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6.计算：$\frac{2x}{x-1} - \frac{2}{x-1} =$
2
.答案
6.2
解析
【分析】
首先观察算式中两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算。按照同分母分式加减法的运算规则，运算时保持分母不变，只需将两个分式的分子相减，再对得到的新分式的分子进行因式分解，约去分子分母的公因式，即可得到最终化简结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x - 2}{x - 1}\\&=\frac{2(x - 1)}{x - 1}\end{aligned}$
原式有意义的前提是$x≠1$，即$x-1≠0$，因此可以约去分子分母的公因式$x-1$，最终结果为$2$。
【答案】
2
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则和约分方法，运算时要注意同分母分式加减仅分子参与运算，约分前可先对分子因式分解，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
首先观察算式中两个分式的分母，发现分母均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算。按照同分母分式加减法的运算规则，运算时保持分母不变，只需将两个分式的分子相减，再对得到的新分式的分子进行因式分解，约去分子分母的公因式，即可得到最终化简结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x - 2}{x - 1}\\&=\frac{2(x - 1)}{x - 1}\end{aligned}$
原式有意义的前提是$x≠1$，即$x-1≠0$，因此可以约去分子分母的公因式$x-1$，最终结果为$2$。
【答案】
2
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则和约分方法，运算时要注意同分母分式加减仅分子参与运算，约分前可先对分子因式分解，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
7.计算$\frac{(x+y)^2}{xy}+\frac{(x-y)^2}{xy}$的结果是
$\frac{2x^2+2y^2}{xy}$
。答案
7.$\frac{2x^2+2y^2}{xy}$
解析
【分析】
首先观察算式中两个分式的分母均为$xy$，属于同分母分式相加，按照同分母分式加减法法则，不需要通分，直接保持分母不变，将两个分子相加即可。接下来只需把分子中的两个完全平方展开，合并同类项就能得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算如下：
原式$=\frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{xy}$
展开分子的完全平方：
$=\frac{(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)}{xy}$
合并分子中的同类项（$2xy$与$-2xy$抵消）：
$=\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{xy}$
$=\frac{2x^2+2y^2}{xy}$
【答案】
$\frac{2x^2+2y^2}{xy}$
【知识点】
同分母分式加减法；完全平方公式
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对同分母分式加减法则和完全平方公式的应用，计算时要注意完全平方展开后的符号，以及同类项合并时不要漏项。
【难度系数】
0.8
首先观察算式中两个分式的分母均为$xy$，属于同分母分式相加，按照同分母分式加减法法则，不需要通分，直接保持分母不变，将两个分子相加即可。接下来只需把分子中的两个完全平方展开，合并同类项就能得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算如下：
原式$=\frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{xy}$
展开分子的完全平方：
$=\frac{(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)}{xy}$
合并分子中的同类项（$2xy$与$-2xy$抵消）：
$=\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{xy}$
$=\frac{2x^2+2y^2}{xy}$
【答案】
$\frac{2x^2+2y^2}{xy}$
【知识点】
同分母分式加减法；完全平方公式
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对同分母分式加减法则和完全平方公式的应用，计算时要注意完全平方展开后的符号，以及同类项合并时不要漏项。
【难度系数】
0.8
8.化简$\frac{6}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}$的结果是
$-\frac{1}{x+3}$
。答案
8.$-\frac{1}{x+3}$
解析
【分析】
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；再根据分式的基本性质对分式通分，转化为同分母分式；接下来按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；最后对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，因此最简公分母为$(x+3)(x-3)$。
对原式通分计算如下：
$\begin{aligned}\frac{6}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}&=\frac{6}{(x+3)(x-3)} - \frac{x+3}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{6-(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{6-x-3}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)}{(x+3)(x-3)}\\&=-\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
平方差公式因式分解、分式通分、分式减法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是正确对分母因式分解找到最简公分母，计算时要注意去括号的符号变化，约分前可先对分子变形，便于找到公因式，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；再根据分式的基本性质对分式通分，转化为同分母分式；接下来按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；最后对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，因此最简公分母为$(x+3)(x-3)$。
对原式通分计算如下：
$\begin{aligned}\frac{6}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}&=\frac{6}{(x+3)(x-3)} - \frac{x+3}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{6-(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{6-x-3}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)}{(x+3)(x-3)}\\&=-\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
平方差公式因式分解、分式通分、分式减法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是正确对分母因式分解找到最简公分母，计算时要注意去括号的符号变化，约分前可先对分子变形，便于找到公因式，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
9.当$a=3$时，$\frac{a-2}{a^2 -4} + \frac{1}{a+2}$的值是
$\frac{2}{5}$
。答案
9.$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的思路，可避免直接代入计算的繁琐，降低出错率。第一步先观察第一个分式的分母$a^2-4$，符合平方差公式的形式，先对其因式分解，再对第一个分式约分；第二步将约分后的分式和第二个分式做加法运算，得到最简结果；第三步将$a=3$代入最简式计算出最终数值即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\frac{a-2}{a^2 -4} + \frac{1}{a+2}&=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)} + \frac{1}{a+2} \quad \mathrm{（利用平方差公式分解因式，$a≠\pm2$）}\\&=\frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} \quad \mathrm{（约去分子分母的公因式$a-2$）}\\&=\frac{2}{a+2} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\end{aligned}$
将$a=3$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
分式化简求值；平方差公式因式分解；同分母分式加法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查“先化简再求值”的解题逻辑，要求熟练掌握常见的因式分解方法、分式约分及加减法运算规则，先化简再代入的方法能有效减少计算量，提升准确率。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的思路，可避免直接代入计算的繁琐，降低出错率。第一步先观察第一个分式的分母$a^2-4$，符合平方差公式的形式，先对其因式分解，再对第一个分式约分；第二步将约分后的分式和第二个分式做加法运算，得到最简结果；第三步将$a=3$代入最简式计算出最终数值即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}\frac{a-2}{a^2 -4} + \frac{1}{a+2}&=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)} + \frac{1}{a+2} \quad \mathrm{（利用平方差公式分解因式，$a≠\pm2$）}\\&=\frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} \quad \mathrm{（约去分子分母的公因式$a-2$）}\\&=\frac{2}{a+2} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\end{aligned}$
将$a=3$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
分式化简求值；平方差公式因式分解；同分母分式加法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查“先化简再求值”的解题逻辑，要求熟练掌握常见的因式分解方法、分式约分及加减法运算规则，先化简再代入的方法能有效减少计算量，提升准确率。
【难度系数】
0.8
10.化简$\frac{2}{x+1} ÷ ( \frac{2}{x^2 -1} - \frac{1}{x-1} )$的结果是
$-2$
。答案
10.$-2$
解析
【分析】
这是分式混合运算类题目，遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序解题。第一步处理括号内的分式减法：先将括号内的分母因式分解，确定最简公分母为$x^2-1=(x+1)(x-1)$，把两个分式通分为同分母分式后做减法，再对结果约分；第二步处理括号外的除法，将除法转化为乘除数的倒数，最后约分得到化简结果，运算中要重点注意符号变化。
【解析】
解：先计算括号内的分式减法：
$\begin{aligned}\frac{2}{x^2 -1} - \frac{1}{x-1}&=\frac{2}{(x+1)(x-1)} - \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2-(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=-\frac{1}{x+1} \quad (x≠\pm1)\end{aligned}$
再计算括号外的除法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+1} ÷ (-\frac{1}{x+1})\\&=\frac{2}{x+1} × (-(x+1))\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式混合运算，分式通分，分式约分
【点评】
本题核心考查分式的混合运算规则，解题关键是准确确定最简公分母完成通分，运算时要注意去括号、除法转乘法过程中的符号变化，避免因符号错误失分，最后约分时要保证约分彻底。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算类题目，遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序解题。第一步处理括号内的分式减法：先将括号内的分母因式分解，确定最简公分母为$x^2-1=(x+1)(x-1)$，把两个分式通分为同分母分式后做减法，再对结果约分；第二步处理括号外的除法，将除法转化为乘除数的倒数，最后约分得到化简结果，运算中要重点注意符号变化。
【解析】
解：先计算括号内的分式减法：
$\begin{aligned}\frac{2}{x^2 -1} - \frac{1}{x-1}&=\frac{2}{(x+1)(x-1)} - \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2-(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=-\frac{1}{x+1} \quad (x≠\pm1)\end{aligned}$
再计算括号外的除法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+1} ÷ (-\frac{1}{x+1})\\&=\frac{2}{x+1} × (-(x+1))\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式混合运算，分式通分，分式约分
【点评】
本题核心考查分式的混合运算规则，解题关键是准确确定最简公分母完成通分，运算时要注意去括号、除法转乘法过程中的符号变化，避免因符号错误失分，最后约分时要保证约分彻底。
【难度系数】
0.7
11.先化简,再求值:$\frac{1}{2a - 6} + \frac{a - 3}{3a - a^2} + \frac{1}{2a}$,其中$a = \frac{3}{2}$.
答案
11.解:原式=$\frac{1}{2(a-3)}-\frac{a-3}{a(a-3)}+\frac{1}{2a}$
=$\frac{1}{2(a-3)}-\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}$
=$\frac{1}{2(a-3)}-\frac{1}{2a}$
=$\frac{3}{2a(a-3)}.$
当$a=\frac{3}{2}$时,原式=$-\frac{2}{3}.$
=$\frac{1}{2(a-3)}-\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}$
=$\frac{1}{2(a-3)}-\frac{1}{2a}$
=$\frac{3}{2a(a-3)}.$
当$a=\frac{3}{2}$时,原式=$-\frac{2}{3}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先对各分式的分母进行因式分解，观察发现第二个分式的分子分母存在公因式$(a-3)$，可先约分简化计算；第二步将约分后分母相同的分式先合并，再对剩余异分母分式通分计算，得到最简结果；最后将$a$的取值代入最简式计算出最终数值，过程中要注意符号的变化，避免出错。
【解析】
解：先对各分母因式分解，再化简：
原式=$\frac{1}{2(a-3)} + \frac{a-3}{-a(a-3)} + \frac{1}{2a}$
=$\frac{1}{2(a-3)} - \frac{a-3}{a(a-3)} + \frac{1}{2a}$（$a≠0且a≠3$，可约去公因式$a-3$）
=$\frac{1}{2(a-3)} - \frac{1}{a} + \frac{1}{2a}$
合并同分母分式：
=$\frac{1}{2(a-3)} - \frac{1}{2a}$
通分计算，最简公分母为$2a(a-3)$：
=$\frac{a}{2a(a-3)} - \frac{a-3}{2a(a-3)}$
=$\frac{a - (a-3)}{2a(a-3)}$
=$\frac{3}{2a(a-3)}$
将$a=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
原式=$\frac{3}{2×\frac{3}{2}×(\frac{3}{2}-3)}$
=$\frac{3}{3×(-\frac{3}{2})}$
=$-\frac{2}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{3}{2a(a-3)}$，求值结果为$-\frac{2}{3}$
【知识点】
分式约分，分式加减法，化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题核心是先对分母因式分解，优先约分再进行加减运算，可大幅降低计算量，运算时要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先对各分式的分母进行因式分解，观察发现第二个分式的分子分母存在公因式$(a-3)$，可先约分简化计算；第二步将约分后分母相同的分式先合并，再对剩余异分母分式通分计算，得到最简结果；最后将$a$的取值代入最简式计算出最终数值，过程中要注意符号的变化，避免出错。
【解析】
解：先对各分母因式分解，再化简：
原式=$\frac{1}{2(a-3)} + \frac{a-3}{-a(a-3)} + \frac{1}{2a}$
=$\frac{1}{2(a-3)} - \frac{a-3}{a(a-3)} + \frac{1}{2a}$（$a≠0且a≠3$，可约去公因式$a-3$）
=$\frac{1}{2(a-3)} - \frac{1}{a} + \frac{1}{2a}$
合并同分母分式：
=$\frac{1}{2(a-3)} - \frac{1}{2a}$
通分计算，最简公分母为$2a(a-3)$：
=$\frac{a}{2a(a-3)} - \frac{a-3}{2a(a-3)}$
=$\frac{a - (a-3)}{2a(a-3)}$
=$\frac{3}{2a(a-3)}$
将$a=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
原式=$\frac{3}{2×\frac{3}{2}×(\frac{3}{2}-3)}$
=$\frac{3}{3×(-\frac{3}{2})}$
=$-\frac{2}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{3}{2a(a-3)}$，求值结果为$-\frac{2}{3}$
【知识点】
分式约分，分式加减法，化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题核心是先对分母因式分解，优先约分再进行加减运算，可大幅降低计算量，运算时要注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12.计算：$m - 1 + \frac{2m - 6}{m^2 - 9} + \frac{m + 1}{m + 3}$
答案
12.解:原式=$m-1+\frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{2}{m+3}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{m+3}{m+3}$
=$m-1+1$
=$m.$
=$m-1+\frac{2}{m+3}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{m+3}{m+3}$
=$m-1+1$
=$m.$
解析
【分析】
这是分式与整式的加减混合运算，解题可遵循“先分解因式约分，再合并同分母分式，最后化简整式”的思路：①先观察各个分式的分子、分母，对可因式分解的部分分解，能约分的先约分简化；②约分后发现后两个分式分母相同，按照同分母分式加法法则，分母不变分子相加，计算出这两个分式的和；③将得到的结果和前面的整式合并，化简后即可得到最终结果。
【解析】
原式=$m-1+\frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{2}{m+3}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{2+m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{m+3}{m+3}$
=$m-1+1$
=$m$
【答案】
$m$
【知识点】
因式分解、分式约分、分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式加减的运算逻辑，先对分式因式分解约分能大幅简化计算过程，计算时要注意同分母分式加减的运算法则，避免分子合并时出错。
【难度系数】
0.8
这是分式与整式的加减混合运算，解题可遵循“先分解因式约分，再合并同分母分式，最后化简整式”的思路：①先观察各个分式的分子、分母，对可因式分解的部分分解，能约分的先约分简化；②约分后发现后两个分式分母相同，按照同分母分式加法法则，分母不变分子相加，计算出这两个分式的和；③将得到的结果和前面的整式合并，化简后即可得到最终结果。
【解析】
原式=$m-1+\frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{2}{m+3}+\frac{m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{2+m+1}{m+3}$
=$m-1+\frac{m+3}{m+3}$
=$m-1+1$
=$m$
【答案】
$m$
【知识点】
因式分解、分式约分、分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式加减的运算逻辑，先对分式因式分解约分能大幅简化计算过程，计算时要注意同分母分式加减的运算法则，避免分子合并时出错。
【难度系数】
0.8
