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一、选择题
1. 下列说法中错误的是 （
A.正多边形一定是轴对称图形
B.同一平面内，不在同一条直线上的三点确定一个圆
C.长度相等的弧是等弧
D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
1. 下列说法中错误的是 （
C
）A.正多边形一定是轴对称图形
B.同一平面内，不在同一条直线上的三点确定一个圆
C.长度相等的弧是等弧
D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
答案
1. C
解析
【分析】
本题为几何概念辨析类选择题，解题思路是逐一核对每个选项对应的知识点定义，判断表述是否符合概念要求，最终选出错误的选项。解题时需格外注意概念的前提限定条件，避免因忽略前提导致判断失误。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：正多边形的每条边、每个内角都相等，存在至少一条对称轴使折叠后图形完全重合，因此正多边形一定是轴对称图形，该说法正确，不符合题意。
B选项：同一平面内，不在同一条直线上的三个点，可作唯一的一个圆同时经过这三点，即“不在同一直线上的三点确定一个圆”，该说法正确，不符合题意。
C选项：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，仅长度相等的弧，对应的圆心角不一定相等，无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意。
D选项：三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正多边形的对称性
2. 确定圆的条件
3. 等弧的定义
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对几何基础概念的记忆与理解，解题的核心是准确掌握各概念的完整表述，尤其要注意等弧这类带有前提限定的概念，不能漏看前提条件。
【难度系数】
0.8
本题为几何概念辨析类选择题，解题思路是逐一核对每个选项对应的知识点定义，判断表述是否符合概念要求，最终选出错误的选项。解题时需格外注意概念的前提限定条件，避免因忽略前提导致判断失误。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：正多边形的每条边、每个内角都相等，存在至少一条对称轴使折叠后图形完全重合，因此正多边形一定是轴对称图形，该说法正确，不符合题意。
B选项：同一平面内，不在同一条直线上的三个点，可作唯一的一个圆同时经过这三点，即“不在同一直线上的三点确定一个圆”，该说法正确，不符合题意。
C选项：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，仅长度相等的弧，对应的圆心角不一定相等，无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意。
D选项：三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正多边形的对称性
2. 确定圆的条件
3. 等弧的定义
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对几何基础概念的记忆与理解，解题的核心是准确掌握各概念的完整表述，尤其要注意等弧这类带有前提限定的概念，不能漏看前提条件。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$\odot O$中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC。若$∠ A=60°$，$∠ ADC=85°$，则$∠ AOC$的度数是 （
A.$25°$
B.$27.5°$
C.$30°$
D.$50°$
（第2题）
D
）A.$25°$
B.$27.5°$
C.$30°$
D.$50°$
（第2题）答案
2. D
解析
【分析】
要求∠AOC的度数，可根据圆周角定理，先求出同弧AC所对的圆周角∠ABC的度数，再乘2得到∠AOC的度数。求∠ABC时，观察到∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，代入已知角度即可求出∠ABC。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠ADC = ∠A + ∠ABC
代入已知∠A=60°，∠ADC=85°，得：
∠ABC = ∠ADC - ∠A = 85° - 60° = 25°
2. 求∠AOC的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠AOC和∠ABC都是弧AC所对的角，∠AOC是圆心角，∠ABC是圆周角
∴ ∠AOC = 2∠ABC = 2×25° = 50°
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质、圆周角定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是找到角度之间的关联，先利用三角形外角性质求出圆周角的度数，再结合圆周角定理求出对应圆心角的度数，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要求∠AOC的度数，可根据圆周角定理，先求出同弧AC所对的圆周角∠ABC的度数，再乘2得到∠AOC的度数。求∠ABC时，观察到∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，代入已知角度即可求出∠ABC。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
∵ ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠ADC = ∠A + ∠ABC
代入已知∠A=60°，∠ADC=85°，得：
∠ABC = ∠ADC - ∠A = 85° - 60° = 25°
2. 求∠AOC的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠AOC和∠ABC都是弧AC所对的角，∠AOC是圆心角，∠ABC是圆周角
∴ ∠AOC = 2∠ABC = 2×25° = 50°
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质、圆周角定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是找到角度之间的关联，先利用三角形外角性质求出圆周角的度数，再结合圆周角定理求出对应圆心角的度数，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$\odot O$中，CD是直径，AB是弦，$AB ⊥ CD$，垂足为M，AB=8，OC=5，则MD的长为（
A.4
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.1
B
）A.4
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.1
答案
3. B
解析
【分析】
本题是圆中线段长度计算问题，首先观察到直径CD垂直于弦AB，可优先运用垂径定理得到弦AB的一半长度；要求MD的长，已知半径OC=5，可知半径OD=5，因此只需算出OM的长度即可通过OD-OM得到MD。计算OM时，连接半径OA构造直角三角形OMA，结合勾股定理即可求出OM的长度，进而得到MD的值。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，垂足为M，
∴ 根据垂径定理可得：$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
∵ OC、OA、OD都是$\odot O$的半径，$OC=5$，
∴ $OA=OD=5$，
在$Rt△ OMA$中，$∠ OMA=90°$，由勾股定理得：
$OA^2 = OM^2 + AM^2$，
代入数值：$5^2 = OM^2 + 4^2$，
解得$OM^2=25-16=9$，即$OM=3$（线段长度为正，舍去负根），
∴ $MD = OD - OM = 5 - 3 = 2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求解相关线段长度，这类题型是圆相关计算的常考类型。
【难度系数】
0.8
本题是圆中线段长度计算问题，首先观察到直径CD垂直于弦AB，可优先运用垂径定理得到弦AB的一半长度；要求MD的长，已知半径OC=5，可知半径OD=5，因此只需算出OM的长度即可通过OD-OM得到MD。计算OM时，连接半径OA构造直角三角形OMA，结合勾股定理即可求出OM的长度，进而得到MD的值。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，垂足为M，
∴ 根据垂径定理可得：$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，
∵ OC、OA、OD都是$\odot O$的半径，$OC=5$，
∴ $OA=OD=5$，
在$Rt△ OMA$中，$∠ OMA=90°$，由勾股定理得：
$OA^2 = OM^2 + AM^2$，
代入数值：$5^2 = OM^2 + 4^2$，
解得$OM^2=25-16=9$，即$OM=3$（线段长度为正，舍去负根），
∴ $MD = OD - OM = 5 - 3 = 2$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求解相关线段长度，这类题型是圆相关计算的常考类型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B是切点，点C为$\odot O$上一点，若$∠ P=40°$，则$∠ ACB$的度数为 （
A.$70°$
B.$50°$
C.$20°$
D.$40°$
A
）A.$70°$
B.$50°$
C.$20°$
D.$40°$
答案
4. A
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得∠OAP和∠OBP均为直角；第二步，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，求出劣弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
∵四边形OAPB的内角和为360°，∠P=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°。
∵∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理可得：∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，解题关键是正确连接圆心与切点构造直角，结合圆周角定理建立已知角和未知角的关系，整体计算难度不大。
【难度系数】
0.75
解题可分三步思考：第一步，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得∠OAP和∠OBP均为直角；第二步，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，求出劣弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。
∵四边形OAPB的内角和为360°，∠P=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°。
∵∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理可得：∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，解题关键是正确连接圆心与切点构造直角，结合圆周角定理建立已知角和未知角的关系，整体计算难度不大。
【难度系数】
0.75
5. 宽为2.4 m的卡车要通过如图所示的隧道，卡车的外形高必须低于 （
A.4.1 m
B.4.0 m
C.3.9 m
D.3.8 m
A
）A.4.1 m
B.4.0 m
C.3.9 m
D.3.8 m
答案
5. A
解析
【分析】
要解决卡车过隧道的问题，首先需将实际问题转化为几何计算问题：隧道上半部分是直径为4m的半圆，下半部分是高2.5m的矩形。卡车宽2.4m，我们需要计算距离隧道中心水平距离1.2m处，隧道的总高度，卡车高度需低于这个总高度才能通过。解题步骤为：先确定半圆半径，再利用勾股定理计算对应位置处半圆的竖直高度，最后加上下半部分矩形的高度即可得到限高。
【解析】
1. 确定半圆半径：隧道总宽为4m，因此上半部分半圆的半径$ OC = \frac{4}{2} = 2m $。
2. 计算水平偏移距离：卡车宽2.4m，因此卡车边缘到隧道中心的水平距离$ OD = \frac{2.4}{2} = 1.2m $。
3. 在$ Rt△ OCD $中，根据勾股定理：
$ CD^2 + OD^2 = OC^2 $
代入数值计算：
$ CD = \sqrt{OC^2 - OD^2} = \sqrt{2^2 - 1.2^2} = \sqrt{4 - 1.44} = \sqrt{2.56} = 1.6m $
4. 计算隧道对应位置总高度：下半部分矩形高2.5m，因此总高度为$ 2.5 + 1.6 = 4.1m $，即卡车外形高必须低于4.1m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；实际问题建模
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是将卡车宽度转化为几何中的水平距离，利用勾股定理求解半圆内的竖直高度，考查了学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决卡车过隧道的问题，首先需将实际问题转化为几何计算问题：隧道上半部分是直径为4m的半圆，下半部分是高2.5m的矩形。卡车宽2.4m，我们需要计算距离隧道中心水平距离1.2m处，隧道的总高度，卡车高度需低于这个总高度才能通过。解题步骤为：先确定半圆半径，再利用勾股定理计算对应位置处半圆的竖直高度，最后加上下半部分矩形的高度即可得到限高。
【解析】
1. 确定半圆半径：隧道总宽为4m，因此上半部分半圆的半径$ OC = \frac{4}{2} = 2m $。
2. 计算水平偏移距离：卡车宽2.4m，因此卡车边缘到隧道中心的水平距离$ OD = \frac{2.4}{2} = 1.2m $。
3. 在$ Rt△ OCD $中，根据勾股定理：
$ CD^2 + OD^2 = OC^2 $
代入数值计算：
$ CD = \sqrt{OC^2 - OD^2} = \sqrt{2^2 - 1.2^2} = \sqrt{4 - 1.44} = \sqrt{2.56} = 1.6m $
4. 计算隧道对应位置总高度：下半部分矩形高2.5m，因此总高度为$ 2.5 + 1.6 = 4.1m $，即卡车外形高必须低于4.1m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；实际问题建模
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是将卡车宽度转化为几何中的水平距离，利用勾股定理求解半圆内的竖直高度，考查了学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为$25π \ \mathrm{m}^2$、圆柱高为$3\ \mathrm{m}$、圆锥高为$2\ \mathrm{m}$的蒙古包，则需要毛毡的面积是（
A.$(30 + 5\sqrt{29})π \ \mathrm{m}^2$
B.$40π \ \mathrm{m}^2$
C.$(30 + 5\sqrt{21})π \ \mathrm{m}^2$
D.$55π \ \mathrm{m}^2$
A
）A.$(30 + 5\sqrt{29})π \ \mathrm{m}^2$
B.$40π \ \mathrm{m}^2$
C.$(30 + 5\sqrt{21})π \ \mathrm{m}^2$
D.$55π \ \mathrm{m}^2$
答案
6. A
解析
【分析】
要计算搭建蒙古包需要的毛毡面积，首先明确毛毡不需要覆盖蒙古包的底面，因此总面积=圆锥侧面积+圆柱侧面积。解题步骤依次为：①根据底面圆面积求出底面半径；②结合圆锥的高，用勾股定理求出圆锥的母线长；③分别计算圆柱侧面积、圆锥侧面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
设底面圆的半径为$r$，由底面圆面积为$25π \ \mathrm{m}^2$，得：
$π r^2=25π$，解得$r=5\ \mathrm{m}$（半径取正值）。
圆锥的高为$2\ \mathrm{m}$，根据勾股定理，圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+h_{\mathrm{锥}}^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\ \mathrm{m}$。
圆柱侧面积：$S_{\mathrm{圆柱侧}}=2π r · h_{\mathrm{圆柱}}=2π×5×3=30π\ \mathrm{m}^2$。
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{圆锥侧}}=π r l=π×5×\sqrt{29}=5\sqrt{29}π\ \mathrm{m}^2$。
因此需要毛毡的总面积为$S=S_{\mathrm{圆柱侧}}+S_{\mathrm{圆锥侧}}=(30+5\sqrt{29})π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算
2. 圆柱侧面积计算
3. 勾股定理应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何体侧面积的实际应用，解题时要注意结合实际排除不需要计算的底面面积，侧重对基础公式运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要计算搭建蒙古包需要的毛毡面积，首先明确毛毡不需要覆盖蒙古包的底面，因此总面积=圆锥侧面积+圆柱侧面积。解题步骤依次为：①根据底面圆面积求出底面半径；②结合圆锥的高，用勾股定理求出圆锥的母线长；③分别计算圆柱侧面积、圆锥侧面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
设底面圆的半径为$r$，由底面圆面积为$25π \ \mathrm{m}^2$，得：
$π r^2=25π$，解得$r=5\ \mathrm{m}$（半径取正值）。
圆锥的高为$2\ \mathrm{m}$，根据勾股定理，圆锥的母线长$l=\sqrt{r^2+h_{\mathrm{锥}}^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\ \mathrm{m}$。
圆柱侧面积：$S_{\mathrm{圆柱侧}}=2π r · h_{\mathrm{圆柱}}=2π×5×3=30π\ \mathrm{m}^2$。
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{圆锥侧}}=π r l=π×5×\sqrt{29}=5\sqrt{29}π\ \mathrm{m}^2$。
因此需要毛毡的总面积为$S=S_{\mathrm{圆柱侧}}+S_{\mathrm{圆锥侧}}=(30+5\sqrt{29})π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算
2. 圆柱侧面积计算
3. 勾股定理应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何体侧面积的实际应用，解题时要注意结合实际排除不需要计算的底面面积，侧重对基础公式运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
