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18. 某港口目前共有8台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现48 h内完成卸货. 现有一艘货轮来到港口卸货，卸完所有货所需时间y h和卸货速度x t/h之间的函数关系如图所示.
（1）写出y与x之间的函数表达式：
（2）如果卸完所有货物用了120 h，求卸货速度；
（3）若只用2台吊机同时作业，则卸货速度是360 t/h，为了实现48 h内完成卸货，至少需要
（1）写出y与x之间的函数表达式：
$y=\dfrac{36000}{x}$
；（2）如果卸完所有货物用了120 h，求卸货速度；
（3）若只用2台吊机同时作业，则卸货速度是360 t/h，为了实现48 h内完成卸货，至少需要
$5$
台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）.答案
18. （1）$y=\dfrac{36000}{x}$
（2）$300\ \mathrm{t/h}$
（3）5
（2）$300\ \mathrm{t/h}$
（3）5
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 卸货总质量固定，因此卸完货时间y和卸货速度x成反比例函数关系，结合图像给出的点坐标即可求出函数表达式；2. 第二问将已知的卸货时间代入函数表达式，即可求出对应的卸货速度；3. 第三问先求出单台吊机的卸货速度，再根据卸货时间不超过48h列不等式求出最低卸货速度，结合单台速度计算需要的吊机数量，注意吊机数量为正整数，需向上取整。
【解析】
（1）由题意可知，卸货总质量为定值，因此y是x的反比例函数，设函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)}$。
将图像上的点$(250,144)$代入表达式得：$144=\dfrac{k}{250}$，解得$k=250×144=36000$，因此y与x的函数表达式为$y=\dfrac{36000}{x}$。
（2）将$y=120$代入$y=\dfrac{36000}{x}$得：$120=\dfrac{36000}{x}$，解得$x=\dfrac{36000}{120}=300$，即卸货速度为300 t/h。
（3）首先计算单台吊机的卸货速度：2台吊机卸货速度为360 t/h，因此单台速度为$360÷2=180\ \mathrm{t/h}$。
若要48h内完成卸货，即$y≤48$，代入函数表达式得：$\dfrac{36000}{x}≤48$，解得$x≥\dfrac{36000}{48}=750\ \mathrm{t/h}$。
需要的吊机数量为$750÷180\approx4.17$，由于吊机数量为正整数，因此至少需要5台吊机。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=\dfrac{36000}{x}}$；（2）$\boldsymbol{300\ \mathrm{t/h}}$；（3）$\boldsymbol{5}$
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数解析式的确定，不等式的实际应用
【点评】
本题结合港口卸货的实际场景考查反比例函数的相关知识，核心是抓住“卸货总质量不变”这一隐含条件求出函数解析式，再结合题意代入求值或列不等式求解，最后一问要注意实际问题中数量需取正整数，要根据实际情况向上取整，考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 卸货总质量固定，因此卸完货时间y和卸货速度x成反比例函数关系，结合图像给出的点坐标即可求出函数表达式；2. 第二问将已知的卸货时间代入函数表达式，即可求出对应的卸货速度；3. 第三问先求出单台吊机的卸货速度，再根据卸货时间不超过48h列不等式求出最低卸货速度，结合单台速度计算需要的吊机数量，注意吊机数量为正整数，需向上取整。
【解析】
（1）由题意可知，卸货总质量为定值，因此y是x的反比例函数，设函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)}$。
将图像上的点$(250,144)$代入表达式得：$144=\dfrac{k}{250}$，解得$k=250×144=36000$，因此y与x的函数表达式为$y=\dfrac{36000}{x}$。
（2）将$y=120$代入$y=\dfrac{36000}{x}$得：$120=\dfrac{36000}{x}$，解得$x=\dfrac{36000}{120}=300$，即卸货速度为300 t/h。
（3）首先计算单台吊机的卸货速度：2台吊机卸货速度为360 t/h，因此单台速度为$360÷2=180\ \mathrm{t/h}$。
若要48h内完成卸货，即$y≤48$，代入函数表达式得：$\dfrac{36000}{x}≤48$，解得$x≥\dfrac{36000}{48}=750\ \mathrm{t/h}$。
需要的吊机数量为$750÷180\approx4.17$，由于吊机数量为正整数，因此至少需要5台吊机。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=\dfrac{36000}{x}}$；（2）$\boldsymbol{300\ \mathrm{t/h}}$；（3）$\boldsymbol{5}$
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数解析式的确定，不等式的实际应用
【点评】
本题结合港口卸货的实际场景考查反比例函数的相关知识，核心是抓住“卸货总质量不变”这一隐含条件求出函数解析式，再结合题意代入求值或列不等式求解，最后一问要注意实际问题中数量需取正整数，要根据实际情况向上取整，考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
19. 请用研究一次函数、反比例函数的方法研究一类新函数 $y=\frac{k}{|x|}$（$k$ 为常数，且不等于0）的图象和性质.
（1）请画出函数 $y=\frac{6}{|x|}$ 的图象.
（2）该图象关于
（3）对于函数 $y=\frac{k}{|x|}(k＞0)$，当自变量 $x$ 的值增大时，函数值 $y$ 怎样变化？
（4）当 $y＞3$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围.
（1）请画出函数 $y=\frac{6}{|x|}$ 的图象.
（2）该图象关于
$y$轴
对称.（3）对于函数 $y=\frac{k}{|x|}(k＞0)$，当自变量 $x$ 的值增大时，函数值 $y$ 怎样变化？
（4）当 $y＞3$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围.
答案
19. （1）图略
（2）$y$轴
（3）当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小
（4）$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
（2）$y$轴
（3）当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小
（4）$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
解析
【分析】
本题类比一次函数、反比例函数的研究方法，探究含绝对值的新型反比例型函数的图象与性质，解题思路如下：
1. 画图象时先去绝对值，将函数拆分为$x＞0$和$x＜0$两段熟悉的反比例函数，通过列表、描点、连线作图，注意$x$不能取0；
2. 判断对称性可利用替换法，将$x$换为$-x$，若函数值不变则图象关于$y$轴对称；
3. 分析增减性必须分$x＞0$、$x＜0$两个独立区间讨论，不能跨区间笼统描述，结合反比例函数的单调性即可推导；
4. 求$y＞3$时$x$的范围，代入函数表达式解含绝对值的不等式，注意排除$x=0$的情况。
【解析】
（1）绘制$y=\frac{6}{|x|}$的图象步骤：
① 去绝对值得分段函数：当$x＞0$时，$y=\frac{6}{x}$；当$x＜0$时，$y=\frac{6}{-x}=-\frac{6}{x}$；
② 列表取点：$x＞0$时可取$(1,6),(2,3),(3,2)$等点，$x＜0$时可取$(-1,6),(-2,3),(-3,2)$等点；
③ 描点连线：在坐标系中描出上述点，分别顺次连接第一象限、第二象限的点，$x=0$处留空心，即得函数图象。
（2）将$x$替换为$-x$，得$y=\frac{6}{|-x|}=\frac{6}{|x|}$，函数值不变，因此图象关于$y$轴对称。
（3）对于$y=\frac{k}{|x|}(k＞0)$，分两种情况：
① 当$x＞0$时，函数化为$y=\frac{k}{x}$，由反比例函数性质，$k＞0$时在$x＞0$区间内，$y$随$x$的增大而减小；
② 当$x＜0$时，函数化为$y=-\frac{k}{x}$，$x$增大时$-x$减小，$\frac{k}{-x}$增大，即$y$随$x$的增大而增大。
（4）令$\frac{6}{|x|}＞3$，变形得$|x|＜2$，结合$x≠0$，解得$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$。
【答案】
（1）图略
（2）$y$轴
（3）当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大
（4）$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
【知识点】
反比例函数的性质，绝对值的性质，函数对称性判断
【点评】
本题侧重考查类比探究能力，需要将陌生的含绝对值函数转化为熟悉的分段反比例函数求解，注意研究函数增减性、对称性时要结合定义域分段讨论，避免笼统表述出现错误。
【难度系数】
0.7
本题类比一次函数、反比例函数的研究方法，探究含绝对值的新型反比例型函数的图象与性质，解题思路如下：
1. 画图象时先去绝对值，将函数拆分为$x＞0$和$x＜0$两段熟悉的反比例函数，通过列表、描点、连线作图，注意$x$不能取0；
2. 判断对称性可利用替换法，将$x$换为$-x$，若函数值不变则图象关于$y$轴对称；
3. 分析增减性必须分$x＞0$、$x＜0$两个独立区间讨论，不能跨区间笼统描述，结合反比例函数的单调性即可推导；
4. 求$y＞3$时$x$的范围，代入函数表达式解含绝对值的不等式，注意排除$x=0$的情况。
【解析】
（1）绘制$y=\frac{6}{|x|}$的图象步骤：
① 去绝对值得分段函数：当$x＞0$时，$y=\frac{6}{x}$；当$x＜0$时，$y=\frac{6}{-x}=-\frac{6}{x}$；
② 列表取点：$x＞0$时可取$(1,6),(2,3),(3,2)$等点，$x＜0$时可取$(-1,6),(-2,3),(-3,2)$等点；
③ 描点连线：在坐标系中描出上述点，分别顺次连接第一象限、第二象限的点，$x=0$处留空心，即得函数图象。
（2）将$x$替换为$-x$，得$y=\frac{6}{|-x|}=\frac{6}{|x|}$，函数值不变，因此图象关于$y$轴对称。
（3）对于$y=\frac{k}{|x|}(k＞0)$，分两种情况：
① 当$x＞0$时，函数化为$y=\frac{k}{x}$，由反比例函数性质，$k＞0$时在$x＞0$区间内，$y$随$x$的增大而减小；
② 当$x＜0$时，函数化为$y=-\frac{k}{x}$，$x$增大时$-x$减小，$\frac{k}{-x}$增大，即$y$随$x$的增大而增大。
（4）令$\frac{6}{|x|}＞3$，变形得$|x|＜2$，结合$x≠0$，解得$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$。
【答案】
（1）图略
（2）$y$轴
（3）当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大
（4）$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
【知识点】
反比例函数的性质，绝对值的性质，函数对称性判断
【点评】
本题侧重考查类比探究能力，需要将陌生的含绝对值函数转化为熟悉的分段反比例函数求解，注意研究函数增减性、对称性时要结合定义域分段讨论，避免笼统表述出现错误。
【难度系数】
0.7
20. 如图，直线AB，CD经过原点，且与反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象分别交于点A，B，C，D，点A，C的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，连接AC，CB，BD，DA.
(1) 判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
(2) 当m，n满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？请直接写出结论.
(1) 判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
(2) 当m，n满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是矩形？请直接写出结论.
答案
20. （1）平行四边形,利用反比例函数图象的中心对称性说明
（2）$mn=6$
（2）$mn=6$
解析
【分析】
（1）要判断四边形ABCD的形状，可先结合反比例函数的中心对称性分析：过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称，可得对角线互相平分，再依据平行四边形的判定定理即可得出结论。
（2）平行四边形要成为矩形，需满足对角线相等，由此可推出OA=OC，再结合A、C两点的坐标列出距离相等的关系式，化简后就能得到m、n的数量关系。
【解析】
（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵ 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点O，
直线AB、CD都经过原点，分别与反比例函数图象交于A、B和C、D，
∴ 点A和点B关于原点对称，点C和点D关于原点对称，
∴ $OA=OB$，$OC=OD$，即四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
（2）若平行四边形ABCD为矩形，则对角线相等，即$AC=BD$，
结合$OA=OB$、$OC=OD$可得$OA=OC$，
已知点A坐标为$(m,\frac{6}{m})$，点C坐标为$(n,\frac{6}{n})$，
由$OA=OC$得$OA^2=OC^2$，
即 $m^2 + (\frac{6}{m})^2 = n^2 + (\frac{6}{n})^2$，
整理得：$m^2-n^2=\frac{36(m^2-n^2)}{m^2n^2}$，
∵ $m＞n＞0$，
∴ $m^2-n^2≠0$，两边同时约去$m^2-n^2$，得$\frac{36}{m^2n^2}=1$，
结合$m＞0,n＞0$，可得$mn=6$。
【答案】
（1）平行四边形，理由见解析；（2）$mn=6$
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合基础题，既考查了反比例函数的对称性，也结合了特殊四边形的判定规则，需要学生掌握用坐标运算推导变量关系的方法。
【难度系数】
0.7
（1）要判断四边形ABCD的形状，可先结合反比例函数的中心对称性分析：过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称，可得对角线互相平分，再依据平行四边形的判定定理即可得出结论。
（2）平行四边形要成为矩形，需满足对角线相等，由此可推出OA=OC，再结合A、C两点的坐标列出距离相等的关系式，化简后就能得到m、n的数量关系。
【解析】
（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵ 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点O，
直线AB、CD都经过原点，分别与反比例函数图象交于A、B和C、D，
∴ 点A和点B关于原点对称，点C和点D关于原点对称，
∴ $OA=OB$，$OC=OD$，即四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
（2）若平行四边形ABCD为矩形，则对角线相等，即$AC=BD$，
结合$OA=OB$、$OC=OD$可得$OA=OC$，
已知点A坐标为$(m,\frac{6}{m})$，点C坐标为$(n,\frac{6}{n})$，
由$OA=OC$得$OA^2=OC^2$，
即 $m^2 + (\frac{6}{m})^2 = n^2 + (\frac{6}{n})^2$，
整理得：$m^2-n^2=\frac{36(m^2-n^2)}{m^2n^2}$，
∵ $m＞n＞0$，
∴ $m^2-n^2≠0$，两边同时约去$m^2-n^2$，得$\frac{36}{m^2n^2}=1$，
结合$m＞0,n＞0$，可得$mn=6$。
【答案】
（1）平行四边形，理由见解析；（2）$mn=6$
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合基础题，既考查了反比例函数的对称性，也结合了特殊四边形的判定规则，需要学生掌握用坐标运算推导变量关系的方法。
【难度系数】
0.7
