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7. 如图，有一块长为4 cm、宽为3 cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为$A→A_1→A_2.$其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿$A_2 C$与桌面成30°角，则点A翻滚到点$A_2$的位置经过的路径长为（
A.10 cm
B.$2.5π$ cm
C.$4.5π$ cm
D.$3.5π$ cm
D
）A.10 cm
B.$2.5π$ cm
C.$4.5π$ cm
D.$3.5π$ cm
答案
7. D
解析
【分析】
要解决本题，需明确点A翻滚的路径是两段不同的圆弧，分别求出两段弧长后求和即可。首先确定第一次翻滚的相关参数：第一次是矩形绕点C顺时针旋转90°，旋转半径为矩形对角线的长度，可通过勾股定理计算；再确定第二次翻滚的相关参数：因A₂C与桌面成30°角，可知第二次旋转角为90°-30°=60°，旋转半径为矩形的宽，最后用弧长公式分别计算两段弧长相加。
【解析】
已知矩形长为4cm、宽为3cm，由勾股定理可得矩形对角线长度为$\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
1. 第一次翻滚：矩形绕点C顺时针旋转90°，点A到$A_1$的路径是圆心角为90°、半径为5cm的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得这段弧长：
$l_1=\frac{90π×5}{180}=2.5π$ cm
2. 第二次翻滚：因$A_2C$与桌面成30°角，旋转角为$90°-30°=60°$，此时旋转半径为矩形的宽3cm，点$A_1$到$A_2$的路径是圆心角为60°、半径为3cm的圆弧，这段弧长：
$l_2=\frac{60π×3}{180}=π$ cm
总路径长为$l=l_1+l_2=2.5π+π=3.5π$ cm。
【答案】D
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是准确判断两次旋转的旋转角、旋转半径，再结合弧长公式计算，易错点是混淆两次旋转的半径和圆心角。
【难度系数】
0.65
要解决本题，需明确点A翻滚的路径是两段不同的圆弧，分别求出两段弧长后求和即可。首先确定第一次翻滚的相关参数：第一次是矩形绕点C顺时针旋转90°，旋转半径为矩形对角线的长度，可通过勾股定理计算；再确定第二次翻滚的相关参数：因A₂C与桌面成30°角，可知第二次旋转角为90°-30°=60°，旋转半径为矩形的宽，最后用弧长公式分别计算两段弧长相加。
【解析】
已知矩形长为4cm、宽为3cm，由勾股定理可得矩形对角线长度为$\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
1. 第一次翻滚：矩形绕点C顺时针旋转90°，点A到$A_1$的路径是圆心角为90°、半径为5cm的圆弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得这段弧长：
$l_1=\frac{90π×5}{180}=2.5π$ cm
2. 第二次翻滚：因$A_2C$与桌面成30°角，旋转角为$90°-30°=60°$，此时旋转半径为矩形的宽3cm，点$A_1$到$A_2$的路径是圆心角为60°、半径为3cm的圆弧，这段弧长：
$l_2=\frac{60π×3}{180}=π$ cm
总路径长为$l=l_1+l_2=2.5π+π=3.5π$ cm。
【答案】D
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是准确判断两次旋转的旋转角、旋转半径，再结合弧长公式计算，易错点是混淆两次旋转的半径和圆心角。
【难度系数】
0.65
二、填空题
8. 已知点O是$△ ABC$外心，若$∠ BOC=70°$，则$∠ A$的大小是
8. 已知点O是$△ ABC$外心，若$∠ BOC=70°$，则$∠ A$的大小是
35°或145°
。答案
8. 35°或145°
解析
【分析】
首先明确外心是三角形外接圆的圆心，因此△ABC的三个顶点都在以O为圆心的同一个圆上，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠A是弧BC对应的圆周角。由于三角形可能是锐角三角形（外心在三角形内部，点A在优弧BC上）或钝角三角形（外心在三角形外部，点A在劣弧BC上），需分两种情况结合圆周角相关定理计算∠A的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C三点均在⊙O上，分两种情况讨论：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°；
2. 当点A在劣弧BC上时，此时点A所对的弧为优弧BC，优弧BC对应的圆心角为360°-70°=290°，根据圆周角定理可得
∠BAC = $\frac{1}{2}$×(360°-70°) = 145°。
综上，∠A的大小为35°或145°。
【答案】
35°或145°
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易忽略点A在劣弧BC上的情况，导致漏解，需注意结合外心的位置判断三角形的形状，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
首先明确外心是三角形外接圆的圆心，因此△ABC的三个顶点都在以O为圆心的同一个圆上，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠A是弧BC对应的圆周角。由于三角形可能是锐角三角形（外心在三角形内部，点A在优弧BC上）或钝角三角形（外心在三角形外部，点A在劣弧BC上），需分两种情况结合圆周角相关定理计算∠A的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C三点均在⊙O上，分两种情况讨论：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°；
2. 当点A在劣弧BC上时，此时点A所对的弧为优弧BC，优弧BC对应的圆心角为360°-70°=290°，根据圆周角定理可得
∠BAC = $\frac{1}{2}$×(360°-70°) = 145°。
综上，∠A的大小为35°或145°。
【答案】
35°或145°
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易忽略点A在劣弧BC上的情况，导致漏解，需注意结合外心的位置判断三角形的形状，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
9. 已知⊙O的半径为5 cm，若点A到圆心O的距离为3 cm，则点A在⊙O
内
。（填“内”“外”或“上”）答案
9. 内
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＜r，则点在圆内；若d=r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外。本题已给出圆的半径和点A到圆心的距离，只需将两个数值作比较，对应判定规则即可得出结论。
【解析】
已知⊙O的半径$ r=5\ \mathrm{cm} $，点A到圆心O的距离$ d=3\ \mathrm{cm} $。
因为$ 3\ \mathrm{cm} ＜ 5\ \mathrm{cm} $，即$ d ＜ r $，
根据点与圆的位置关系判定规则，可知点A在⊙O内。
【答案】
内
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，只需牢记点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应的点的位置规则，直接代入数值比较即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，需先明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＜r，则点在圆内；若d=r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外。本题已给出圆的半径和点A到圆心的距离，只需将两个数值作比较，对应判定规则即可得出结论。
【解析】
已知⊙O的半径$ r=5\ \mathrm{cm} $，点A到圆心O的距离$ d=3\ \mathrm{cm} $。
因为$ 3\ \mathrm{cm} ＜ 5\ \mathrm{cm} $，即$ d ＜ r $，
根据点与圆的位置关系判定规则，可知点A在⊙O内。
【答案】
内
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，只需牢记点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应的点的位置规则，直接代入数值比较即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10. 如图，将量角器和含 $ 30° $ 角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使点 D，C，B 在一条直线上，且 $ DC=2BC $，过点 A 作量角器圆弧所在圆的切线，切点为 E，则 $ ∠ EAC = $
60
$ ° $。答案
10. 60
解析
【分析】
解题时首先作辅助线连接OE、OA，先利用量角器的特征得到DC=2OC，结合已知DC=2BC推出OC=BC；再根据三角板的直角特征得出AC垂直平分OB，进而得到∠OAC=∠BAC，结合含30°直角三角板的性质求出∠OAC的度数；然后根据切线的性质得到OE⊥AE，通过HL证明Rt△AEO和Rt△ACO全等，得到∠EAO=∠CAO，最后将两个角度相加即可得到∠EAC的度数。
【解析】
解：连接OE、OA。
∵ 量角器圆弧所在圆的圆心为O，
∴ $OE=OC$，$DC=2OC$，
又
∵ $DC=2BC$，
∴ $OC=BC$，
∵ 三角板为直角三角板，$∠ACB=90°$，即$AC⊥OB$，
∴ AC是线段OB的垂直平分线，
∴ $OA=AB$，
∴ $∠OAC=∠BAC$，
∵ 三角板含30°角，$∠ACB=90°$，
∴ $∠BAC=30°$，即$∠OAC=30°$，
∵ AE是圆O的切线，E为切点，
∴ $OE⊥AE$，即$∠AEO=90°=∠ACO$，
在$Rt△AEO$和$Rt△ACO$中：
$\{\begin{array}{l}OE=OC\\ OA=OA\end{array} $
∴ $Rt△AEO≌Rt△ACO（HL）$，
∴ $∠EAO=∠CAO=30°$，
∴ $∠EAC=∠EAO + ∠CAO=30°+30°=60°$。
【答案】
60
【知识点】
切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是正确作出辅助线，结合圆的切线性质、三角形全等的判定、垂直平分线的性质逐步推导角度关系，考查了学生综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先作辅助线连接OE、OA，先利用量角器的特征得到DC=2OC，结合已知DC=2BC推出OC=BC；再根据三角板的直角特征得出AC垂直平分OB，进而得到∠OAC=∠BAC，结合含30°直角三角板的性质求出∠OAC的度数；然后根据切线的性质得到OE⊥AE，通过HL证明Rt△AEO和Rt△ACO全等，得到∠EAO=∠CAO，最后将两个角度相加即可得到∠EAC的度数。
【解析】
解：连接OE、OA。
∵ 量角器圆弧所在圆的圆心为O，
∴ $OE=OC$，$DC=2OC$，
又
∵ $DC=2BC$，
∴ $OC=BC$，
∵ 三角板为直角三角板，$∠ACB=90°$，即$AC⊥OB$，
∴ AC是线段OB的垂直平分线，
∴ $OA=AB$，
∴ $∠OAC=∠BAC$，
∵ 三角板含30°角，$∠ACB=90°$，
∴ $∠BAC=30°$，即$∠OAC=30°$，
∵ AE是圆O的切线，E为切点，
∴ $OE⊥AE$，即$∠AEO=90°=∠ACO$，
在$Rt△AEO$和$Rt△ACO$中：
$\{\begin{array}{l}OE=OC\\ OA=OA\end{array} $
∴ $Rt△AEO≌Rt△ACO（HL）$，
∴ $∠EAO=∠CAO=30°$，
∴ $∠EAC=∠EAO + ∠CAO=30°+30°=60°$。
【答案】
60
【知识点】
切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是正确作出辅助线，结合圆的切线性质、三角形全等的判定、垂直平分线的性质逐步推导角度关系，考查了学生综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图，要拧开一个边长$a$为12 mm的六角形螺帽，扳手张开的开口$b$至少要
$12\sqrt{3}$
mm.答案
11. $12\sqrt{3}$
解析
【分析】首先确定该六角形螺帽为正六边形，扳手张开的最小开口b对应正六边形一组对边之间的距离。解题思路：正六边形的边长等于其外接圆半径，可将正六边形拆分为6个边长为a的等边三角形，对边距离等于2倍的等边三角形的高，利用勾股定理求出等边三角形的高，即可得到b的长度。
【解析】解：已知正六边形的边长$a=12\ \mathrm{mm}$，正六边形可分割为6个边长为$12\ \mathrm{mm}$的等边三角形。
取其中一个等边三角形，其边长为$12\ \mathrm{mm}$，底边的高即为正六边形的边心距$h$：
由勾股定理可得：
$h=\sqrt{12^2-(12÷2)^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{mm})$
正六边形对边的距离$b$等于2倍的边心距，因此：
$b=2h=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ (\mathrm{mm})$
【答案】$12\sqrt{3}$
【知识点】正六边形的性质；勾股定理；等边三角形的性质
【点评】本题结合生活场景考查正多边形的计算，解题的关键是将实际问题中的开口宽度转化为正六边形对边的距离，再结合正六边形和等边三角形的性质求解，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】解：已知正六边形的边长$a=12\ \mathrm{mm}$，正六边形可分割为6个边长为$12\ \mathrm{mm}$的等边三角形。
取其中一个等边三角形，其边长为$12\ \mathrm{mm}$，底边的高即为正六边形的边心距$h$：
由勾股定理可得：
$h=\sqrt{12^2-(12÷2)^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{mm})$
正六边形对边的距离$b$等于2倍的边心距，因此：
$b=2h=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ (\mathrm{mm})$
【答案】$12\sqrt{3}$
【知识点】正六边形的性质；勾股定理；等边三角形的性质
【点评】本题结合生活场景考查正多边形的计算，解题的关键是将实际问题中的开口宽度转化为正六边形对边的距离，再结合正六边形和等边三角形的性质求解，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】0.7
12. 如图，$\odot O$的直径$AB=8$，$AM$和$BN$是$\odot O$的两条切线，$DE$与$\odot O$相切于点$E$，并与$AM$，$BN$分别相交于点$D$，$C$，则$∠ DOC$的大小为
90
°；设$AD=x$，$BC=y$，则$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{16}{x}$
。答案
12. $90,y=\frac{16}{x}$
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：①求∠DOC的度数：首先回忆切线的性质和切线长定理，AM、BN、DC均为⊙O的切线，可得OD平分∠AOE、OC平分∠BOE，结合平角∠AOB=180°，即可求出∠DOC的大小；②求y关于x的函数表达式：过D作DF垂直BN于F，构造直角三角形，利用切线长定理将DC转化为x+y，再结合勾股定理列等式化简即可得到函数关系式。
【解析】
1. 求∠DOC的度数：
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又
∵OD=OD，
∴△ODA≌△ODE，
∴∠DOA=∠DOE，即OD平分∠AOE。
同理可得，OC平分∠BOE，即∠COE=∠COB。
∵∠AOB=∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠DOC=∠DOE+∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOE)=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
2. 求y关于x的函数表达式：
过点D作DF⊥BN于点F，
∵AM⊥AB，BN⊥AB，DF⊥BN，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=8，BF=AD=x，
∴FC=BC-BF=y-x。
由切线长定理得：DC=DE+EC=AD+BC=x+y，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
$DC^2=DF^2+FC^2$，即$(x+y)^2=8^2+(y-x)^2$，
展开化简：$x^2+2xy+y^2=64+y^2-2xy+x^2$，
整理得$4xy=64$，即$xy=16$，
∴$y=\frac{16}{x}$。
【答案】
$90$，$y=\frac{16}{x}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的核心是熟练运用切线长定理实现角和线段的等量转化，通过作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理建立变量之间的关系。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两步思考：①求∠DOC的度数：首先回忆切线的性质和切线长定理，AM、BN、DC均为⊙O的切线，可得OD平分∠AOE、OC平分∠BOE，结合平角∠AOB=180°，即可求出∠DOC的大小；②求y关于x的函数表达式：过D作DF垂直BN于F，构造直角三角形，利用切线长定理将DC转化为x+y，再结合勾股定理列等式化简即可得到函数关系式。
【解析】
1. 求∠DOC的度数：
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又
∵OD=OD，
∴△ODA≌△ODE，
∴∠DOA=∠DOE，即OD平分∠AOE。
同理可得，OC平分∠BOE，即∠COE=∠COB。
∵∠AOB=∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠DOC=∠DOE+∠COE=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOE)=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
2. 求y关于x的函数表达式：
过点D作DF⊥BN于点F，
∵AM⊥AB，BN⊥AB，DF⊥BN，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=8，BF=AD=x，
∴FC=BC-BF=y-x。
由切线长定理得：DC=DE+EC=AD+BC=x+y，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
$DC^2=DF^2+FC^2$，即$(x+y)^2=8^2+(y-x)^2$，
展开化简：$x^2+2xy+y^2=64+y^2-2xy+x^2$，
整理得$4xy=64$，即$xy=16$，
∴$y=\frac{16}{x}$。
【答案】
$90$，$y=\frac{16}{x}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的核心是熟练运用切线长定理实现角和线段的等量转化，通过作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理建立变量之间的关系。
【难度系数】
0.6
13. 如图，已知$\odot O$的直径AB为4，延长AB到点C，过点C作$\odot O$的切线CD，切点为D，且$∠ C=30°$，连接AD，BD，则$CD=$
$2\sqrt{3}$
，阴影部分的面积为$2π-2\sqrt{3}$
。答案
13. $2\sqrt{3},2π-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 遇到圆的切线问题，首先连接切点D与圆心O，根据切线性质可得OD⊥CD，构造出Rt△ODC，已知圆半径和∠C=30°，可利用直角三角形性质和勾股定理求出CD的长度。2. 阴影部分是两个不规则弓形，可采用割补法：两个弓形的面积之和等于半圆的面积减去△ABD的面积，分别计算这两个规则图形的面积作差即可得到阴影面积。
【解析】
1. 求CD的长度：
连接OD，
∵ CD是$\odot O$的切线，D为切点，
∴ $OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$。
∵ 直径$AB=4$，
∴ $\odot O$的半径$OD=OA=OB=2$。
在$Rt△ ODC$中，$∠ C=30°$，
∴ $OC=2OD=4$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
2. 求阴影部分的面积：
在$Rt△ ODC$中，$∠ COD=90°-∠ C=60°$，
过点D作$DE⊥ AB$于点E，在$Rt△ ODE$中，$DE=OD·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ $△ ABD$的面积为：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
半圆的面积为：$S_{半圆}=\frac{1}{2}×π×2^2=2π$，
∵ 阴影部分面积等于半圆面积减去$△ ABD$的面积，
∴ $S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ ABD}=2π-2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$；$2π-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；割补法求面积
【点评】
本题是圆的综合基础题，核心是通过连接半径构造直角三角形解决线段长度计算问题，对于不规则阴影面积，要熟练掌握割补法将其转化为规则图形面积的和差计算，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 遇到圆的切线问题，首先连接切点D与圆心O，根据切线性质可得OD⊥CD，构造出Rt△ODC，已知圆半径和∠C=30°，可利用直角三角形性质和勾股定理求出CD的长度。2. 阴影部分是两个不规则弓形，可采用割补法：两个弓形的面积之和等于半圆的面积减去△ABD的面积，分别计算这两个规则图形的面积作差即可得到阴影面积。
【解析】
1. 求CD的长度：
连接OD，
∵ CD是$\odot O$的切线，D为切点，
∴ $OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$。
∵ 直径$AB=4$，
∴ $\odot O$的半径$OD=OA=OB=2$。
在$Rt△ ODC$中，$∠ C=30°$，
∴ $OC=2OD=4$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
2. 求阴影部分的面积：
在$Rt△ ODC$中，$∠ COD=90°-∠ C=60°$，
过点D作$DE⊥ AB$于点E，在$Rt△ ODE$中，$DE=OD·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ $△ ABD$的面积为：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
半圆的面积为：$S_{半圆}=\frac{1}{2}×π×2^2=2π$，
∵ 阴影部分面积等于半圆面积减去$△ ABD$的面积，
∴ $S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ ABD}=2π-2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$；$2π-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；割补法求面积
【点评】
本题是圆的综合基础题，核心是通过连接半径构造直角三角形解决线段长度计算问题，对于不规则阴影面积，要熟练掌握割补法将其转化为规则图形面积的和差计算，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O为矩形ABCD的对角线的交点，以A为圆心，半径为1作$\odot A$，P为$\odot A$上的一个动点，连接PD，PO，则$△ PDO$的面积的最大值为
$\frac{29}{2}$
。答案
14. $\frac{29}{2}$
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：首先确定矩形各顶点及对角线交点O的坐标，求出直线OD的解析式与OD的长度。△PDO以OD为底时，面积大小由点P到直线OD的距离决定，要使面积最大，需点P到OD的距离最大。因为P在⊙A上，圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，据此即可计算出最大面积。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系，设A为坐标原点$(0,0)$，由矩形ABCD中$AB=6$，$BC=8$，可得各点坐标：$B(0,6)$，$C(8,6)$，$D(8,0)$。
2. O是矩形对角线交点，为AC中点，因此O的坐标为$( \frac{0+8}{2},\frac{0+6}{2} )=(4,3)$。
3. 计算OD的长度：由两点间距离公式，$OD=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
4. 求直线OD的解析式：设解析式为$y=kx+b$，代入$O(4,3)$、$D(8,0)$，得$\begin{cases}3=4k+b\\0=8k+b\end{cases}$，解得$k=-\frac{3}{4}$，$b=6$，整理得直线OD的一般式为$3x+4y-24=0$。
5. 计算圆心A到直线OD的距离：由点到直线距离公式，$d_A=\frac{|3×0+4×0-24|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{24}{5}$。
6. P在⊙A上，半径$r=1$，因此P到直线OD的最大距离为$d_A + r=\frac{24}{5}+1=\frac{29}{5}$。
7. △PDO的最大面积为$\frac{1}{2}× OD × 最大距离=\frac{1}{2}×5×\frac{29}{5}=\frac{29}{2}$。
【答案】
$\frac{29}{2}$
【知识点】
矩形的性质；点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题是几何最值综合题，通过坐标系将几何问题转化为代数计算降低了解题难度，解题的关键是明确三角形面积的影响因素，掌握圆上点到直线的距离最值的计算方法。
【难度系数】
0.6
我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：首先确定矩形各顶点及对角线交点O的坐标，求出直线OD的解析式与OD的长度。△PDO以OD为底时，面积大小由点P到直线OD的距离决定，要使面积最大，需点P到OD的距离最大。因为P在⊙A上，圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，据此即可计算出最大面积。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系，设A为坐标原点$(0,0)$，由矩形ABCD中$AB=6$，$BC=8$，可得各点坐标：$B(0,6)$，$C(8,6)$，$D(8,0)$。
2. O是矩形对角线交点，为AC中点，因此O的坐标为$( \frac{0+8}{2},\frac{0+6}{2} )=(4,3)$。
3. 计算OD的长度：由两点间距离公式，$OD=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
4. 求直线OD的解析式：设解析式为$y=kx+b$，代入$O(4,3)$、$D(8,0)$，得$\begin{cases}3=4k+b\\0=8k+b\end{cases}$，解得$k=-\frac{3}{4}$，$b=6$，整理得直线OD的一般式为$3x+4y-24=0$。
5. 计算圆心A到直线OD的距离：由点到直线距离公式，$d_A=\frac{|3×0+4×0-24|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{24}{5}$。
6. P在⊙A上，半径$r=1$，因此P到直线OD的最大距离为$d_A + r=\frac{24}{5}+1=\frac{29}{5}$。
7. △PDO的最大面积为$\frac{1}{2}× OD × 最大距离=\frac{1}{2}×5×\frac{29}{5}=\frac{29}{2}$。
【答案】
$\frac{29}{2}$
【知识点】
矩形的性质；点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题是几何最值综合题，通过坐标系将几何问题转化为代数计算降低了解题难度，解题的关键是明确三角形面积的影响因素，掌握圆上点到直线的距离最值的计算方法。
【难度系数】
0.6
