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15. 如图①，已知AB，AC分别是圆形纸片的直径、弦，以弦AC为折线将弓形纸片AmC折叠至如图②所示的弓形纸片AnC的位置，$\overset{\frown}{AnC}$与直径AB交于点D. 若$\overset{\frown}{BC}=35°$，则$\overset{\frown}{AD}$的度数为
$110°$
.答案
15. $110°$
解析
【分析】解题时先结合圆的基本性质和折叠性质思考：首先AB是直径，对应半圆的度数为180°；折叠前后对应弧所在的圆为等圆，同一个圆周角∠BAC所对的两段弧$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{DC}$度数相等，最后用半圆弧度减去两段等弧的度数就能求出$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：
∵AB为圆的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
由折叠的性质可知，折叠前后对应弧所在的圆为等圆，
又
∵∠BAC是公共圆周角，它所对的弧分别为$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{DC}$，
∴$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}=35°$。
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$180°-\overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{BC}=180°-35°-35°=110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
圆周角定理，折叠的性质，圆的基本性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质和折叠的性质，解题的关键是找到相等的两段弧$\overset{\frown}{DC}$和$\overset{\frown}{BC}$，熟练掌握圆周角与所对弧的对应关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：
∵AB为圆的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
由折叠的性质可知，折叠前后对应弧所在的圆为等圆，
又
∵∠BAC是公共圆周角，它所对的弧分别为$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{DC}$，
∴$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}=35°$。
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$180°-\overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{BC}=180°-35°-35°=110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
圆周角定理，折叠的性质，圆的基本性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质和折叠的性质，解题的关键是找到相等的两段弧$\overset{\frown}{DC}$和$\overset{\frown}{BC}$，熟练掌握圆周角与所对弧的对应关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
三、填空题
16. 如图，在△ABC中，∠C=45°，AB=2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径.
16. 如图，在△ABC中，∠C=45°，AB=2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径.
答案
16. 如图,连接OA,OB,
∵∠C=45°,
∴∠AOB=2∠C=90°,在Rt△AOB中,OA²+OB²=AB²,AB=2,OA=OB,
∴2OA²=4,OA²=2,
∴OA=√2 ,
∴⊙O的半径是√2
解析
【分析】
要求⊙O的半径，已知圆周角∠C的度数和对应弦AB的长度，首先联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。因此先作辅助线连接OA、OB，得到弧AB对应的圆心角∠AOB，可求出∠AOB=90°，此时△AOB是等腰直角三角形（OA、OB均为半径，长度相等），再结合AB的长度，利用勾股定理即可计算出半径OA的长度。
【解析】
如图，连接OA、OB。
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可得：
∠AOB=2∠C=2×45°=90°，
又
∵OA和OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
已知AB=2，代入得：2OA²=2²=4，
∴OA²=2，解得OA=√2（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
⊙O的半径是$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；同圆半径相等
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，解题的核心是通过连接圆心与弦的端点构造圆心角，将已知圆周角的条件转化为圆心角的度数，进而在特殊直角三角形中利用勾股定理求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的半径，已知圆周角∠C的度数和对应弦AB的长度，首先联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。因此先作辅助线连接OA、OB，得到弧AB对应的圆心角∠AOB，可求出∠AOB=90°，此时△AOB是等腰直角三角形（OA、OB均为半径，长度相等），再结合AB的长度，利用勾股定理即可计算出半径OA的长度。
【解析】
如图，连接OA、OB。
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可得：
∠AOB=2∠C=2×45°=90°，
又
∵OA和OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
已知AB=2，代入得：2OA²=2²=4，
∴OA²=2，解得OA=√2（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
⊙O的半径是$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；同圆半径相等
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，解题的核心是通过连接圆心与弦的端点构造圆心角，将已知圆周角的条件转化为圆心角的度数，进而在特殊直角三角形中利用勾股定理求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
17. 如图，线段AD过圆心O，交$\odot O$于点D，C，$∠ EOD=78°$，AE交$\odot O$于点B，且$AB=OC$，求$∠ A$的度数.
答案
17. 如图,连接OB,
∵AB=OC,OB=OC,
∴AB=OB,∠1=∠A,又OB=OE,∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A,
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,即3∠A=78°,
∴∠A=26°
解析
【分析】
要求∠A的度数，已知∠EOD的度数，需要建立两者的数量关系。首先AB等于圆的半径OC，而OB也是圆的半径，因此连接OB后可得到多组相等的线段，进而利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导∠EOD与∠A的倍数关系，即可求解。
【解析】
连接OB，
∵AB=OC，OB、OC都是$\odot O$的半径，即OB=OC，
∴AB=OB，根据等腰三角形等边对等角可得∠1=∠A，
又
∵OB、OE都是$\odot O$的半径，即OB=OE，
∴∠E=∠2，而∠2是△AOB的外角，因此∠2=∠1+∠A=2∠A，即∠E=2∠A，
又
∵∠EOD是△AOE的外角，
∴∠EOD=∠E+∠A=2∠A+∠A=3∠A，
已知∠EOD=78°，即3∠A=78°，
解得∠A=26°。
【答案】
17. 如图,连接OB,
∵AB=OC,OB=OC,
∴AB=OB,∠1=∠A,又OB=OE,∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A,
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,即3∠A=78°,
∴∠A=26°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题解题的关键是通过连接半径OB构造等腰三角形，将已知角和未知角通过等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质建立关联，属于圆的基础性质的综合应用，辅助线的构造是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
要求∠A的度数，已知∠EOD的度数，需要建立两者的数量关系。首先AB等于圆的半径OC，而OB也是圆的半径，因此连接OB后可得到多组相等的线段，进而利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导∠EOD与∠A的倍数关系，即可求解。
【解析】
连接OB，
∵AB=OC，OB、OC都是$\odot O$的半径，即OB=OC，
∴AB=OB，根据等腰三角形等边对等角可得∠1=∠A，
又
∵OB、OE都是$\odot O$的半径，即OB=OE，
∴∠E=∠2，而∠2是△AOB的外角，因此∠2=∠1+∠A=2∠A，即∠E=2∠A，
又
∵∠EOD是△AOE的外角，
∴∠EOD=∠E+∠A=2∠A+∠A=3∠A，
已知∠EOD=78°，即3∠A=78°，
解得∠A=26°。
【答案】
17. 如图,连接OB,
∵AB=OC,OB=OC,
∴AB=OB,∠1=∠A,又OB=OE,∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A,
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,即3∠A=78°,
∴∠A=26°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形外角性质
【点评】
本题解题的关键是通过连接半径OB构造等腰三角形，将已知角和未知角通过等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质建立关联，属于圆的基础性质的综合应用，辅助线的构造是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
