登录
一、选择题
1. 下列方程中，是关于$x$的一元二次方程的是 （
A.$3(x+1)^2=2(x+1)$
B.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-2=0$
C.$ax^2+bx+c=0$
D.$x^2+2x-x^2-1=0$
1. 下列方程中，是关于$x$的一元二次方程的是 （
A
）A.$3(x+1)^2=2(x+1)$
B.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-2=0$
C.$ax^2+bx+c=0$
D.$x^2+2x-x^2-1=0$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的核心判定条件：①必须是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③经过去括号、移项、合并同类项化简后，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们用这几个条件逐一验证每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程、只含一个未知数、化简后未知数最高次数为2且二次项系数不为0，我们逐一分析选项：
A选项：将方程展开整理得$3(x^2+2x+1)=2x+2$，移项合并同类项后为$3x^2+4x+1=0$，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求。
B选项：方程分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
C选项：未说明二次项系数$a\ne0$，若$a=0$，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除。
D选项：合并同类项后得$2x-1=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础题，解题关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0、需化简后判断最高次数、必须为整式方程这几个易错点，避免误选C、D类干扰选项。
【难度系数】
0.85
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的核心判定条件：①必须是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③经过去括号、移项、合并同类项化简后，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们用这几个条件逐一验证每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程、只含一个未知数、化简后未知数最高次数为2且二次项系数不为0，我们逐一分析选项：
A选项：将方程展开整理得$3(x^2+2x+1)=2x+2$，移项合并同类项后为$3x^2+4x+1=0$，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求。
B选项：方程分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
C选项：未说明二次项系数$a\ne0$，若$a=0$，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除。
D选项：合并同类项后得$2x-1=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的识别
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础题，解题关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0、需化简后判断最高次数、必须为整式方程这几个易错点，避免误选C、D类干扰选项。
【难度系数】
0.85
2. 下列结论正确的是 （
A.若$x^2=9$，则$x=3$
B.方程$x(2x-1)=2x-1$的解为$x=1$
C.若$x^2+2x+k=0$两根的倒数和等于4，则$k=-\dfrac{1}{2}$
D.若分式$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$的值为零，则$x_1=1$，$x_2=2$
C
）A.若$x^2=9$，则$x=3$
B.方程$x(2x-1)=2x-1$的解为$x=1$
C.若$x^2+2x+k=0$两根的倒数和等于4，则$k=-\dfrac{1}{2}$
D.若分式$\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$的值为零，则$x_1=1$，$x_2=2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题为判断类选择题，需逐一分析每个选项的正确性，结合对应知识点逐一验证排除错误选项即可得到答案：①对于含平方的等式，要注意开平方结果有正负两个；②解一元二次方程时不能随意约去含有未知数的因式，避免丢根；③应用韦达定理计算时，先明确两根和与两根积的公式，再结合条件列式求解，还要注意验证方程是否有实根；④分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不能忽略分母限制。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$x^2=9$，开平方得$x=\pm3$，并非仅$x=3$，故A错误；
选项B：对$x(2x-1)=2x-1$移项得$x(2x-1)-(2x-1)=0$，因式分解得$(2x-1)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{2}$，故B错误；
选项C：设方程$x^2+2x+k=0$的两根为$x_1,x_2$，根据韦达定理得：$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=k$。两根倒数和为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入已知条件得$\frac{-2}{k}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$。此时判别式$\Delta=2^2-4×1× k=4-4×(-\frac{1}{2})=6＞0$，方程有两个实数根，符合要求，故C正确；
选项D：分式值为0需满足分子为0且分母不为0。令分子$x^2-3x+2=0$，解得$x=1$或$x=2$，但分母$x-1≠0$即$x≠1$，故仅$x=2$符合要求，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求解，根与系数关系，分式值为0的条件
【点评】
本题综合考查了一元二次方程和分式的基础知识点，易错点在于解方程时随意约去含未知数的因式导致丢根、忽略分式分母不能为0的限制、应用韦达定理前未验证方程有实根，学习中要注意夯实基础概念，养成严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.7
本题为判断类选择题，需逐一分析每个选项的正确性，结合对应知识点逐一验证排除错误选项即可得到答案：①对于含平方的等式，要注意开平方结果有正负两个；②解一元二次方程时不能随意约去含有未知数的因式，避免丢根；③应用韦达定理计算时，先明确两根和与两根积的公式，再结合条件列式求解，还要注意验证方程是否有实根；④分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不能忽略分母限制。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$x^2=9$，开平方得$x=\pm3$，并非仅$x=3$，故A错误；
选项B：对$x(2x-1)=2x-1$移项得$x(2x-1)-(2x-1)=0$，因式分解得$(2x-1)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{2}$，故B错误；
选项C：设方程$x^2+2x+k=0$的两根为$x_1,x_2$，根据韦达定理得：$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=k$。两根倒数和为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入已知条件得$\frac{-2}{k}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$。此时判别式$\Delta=2^2-4×1× k=4-4×(-\frac{1}{2})=6＞0$，方程有两个实数根，符合要求，故C正确；
选项D：分式值为0需满足分子为0且分母不为0。令分子$x^2-3x+2=0$，解得$x=1$或$x=2$，但分母$x-1≠0$即$x≠1$，故仅$x=2$符合要求，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求解，根与系数关系，分式值为0的条件
【点评】
本题综合考查了一元二次方程和分式的基础知识点，易错点在于解方程时随意约去含未知数的因式导致丢根、忽略分式分母不能为0的限制、应用韦达定理前未验证方程有实根，学习中要注意夯实基础概念，养成严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.7
3. 方程$-x^2 -2x +2=0$经过配方后得 （
A.$(-x-1)^2=1$
B.$(x+1)^2=3$
C.$(x-1)^2=3$
D.$(-x+1)^2=-3$
B
）A.$(-x-1)^2=1$
B.$(x+1)^2=3$
C.$(x-1)^2=3$
D.$(-x+1)^2=-3$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方变形，解题时遵循配方法的常规步骤即可：首先将方程的二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，最后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，就能得到配方后的结果，过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
解：对原方程$-x^2 -2x +2=0$进行配方：
1. 先将二次项系数化为1，方程两边同时乘$-1$，得：$x^2 + 2x - 2 = 0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 + 2x = 2$
3. 配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为2，一半是1，平方为1，因此两边加1：$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$
4. 左侧整理为完全平方式：$(x+1)^2 = 3$
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，特别注意二次项系数为负时要先化为正，防止符号计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方变形，解题时遵循配方法的常规步骤即可：首先将方程的二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，最后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，就能得到配方后的结果，过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
解：对原方程$-x^2 -2x +2=0$进行配方：
1. 先将二次项系数化为1，方程两边同时乘$-1$，得：$x^2 + 2x - 2 = 0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 + 2x = 2$
3. 配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为2，一半是1，平方为1，因此两边加1：$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$
4. 左侧整理为完全平方式：$(x+1)^2 = 3$
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，特别注意二次项系数为负时要先化为正，防止符号计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知$2+\sqrt{3}$是方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，则另一个根为（
A.$2-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$1$
A
）A.$2-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$1$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决已知一元二次方程的一个根求另一个根的问题，有两种常用思路：第一种是将已知根代入方程求出参数c，再解方程得到另一个根，不过该方法需要进行根式运算，步骤较繁琐；第二种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1,b=-4$，因此两根之和为4，直接用两根之和减去已知根就能快速得到另一个根，计算更简便。
【解析】
设方程$x^2-4x+c=0$的两个根为$x_1、x_2$，令$x_1=2+\sqrt{3}$。
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
代入本题中$a=1,b=-4$的条件，可得$x_1+x_2=4$。
因此另一个根$x_2=4-x_1=4-(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题优先使用根与系数的关系求解可减少计算量，避免根式运算出错，是对一元二次方程基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
要解决已知一元二次方程的一个根求另一个根的问题，有两种常用思路：第一种是将已知根代入方程求出参数c，再解方程得到另一个根，不过该方法需要进行根式运算，步骤较繁琐；第二种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题中$a=1,b=-4$，因此两根之和为4，直接用两根之和减去已知根就能快速得到另一个根，计算更简便。
【解析】
设方程$x^2-4x+c=0$的两个根为$x_1、x_2$，令$x_1=2+\sqrt{3}$。
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
代入本题中$a=1,b=-4$的条件，可得$x_1+x_2=4$。
因此另一个根$x_2=4-x_1=4-(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题优先使用根与系数的关系求解可减少计算量，避免根式运算出错，是对一元二次方程基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
5. 已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 6x + 3 = 0$的两个实数根，则$\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}$的值为 （
A.4
B.$-4$
C.$\frac{1}{4}$
D.2
A
）A.4
B.$-4$
C.$\frac{1}{4}$
D.2
答案
5. A
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算出两个根的具体值。解题思路为：先对所求的分式代数式进行通分变形，将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，再根据韦达定理求出对应方程的两根和与两根积，最后代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 6x + 3 = 0$的两个实数根，根据韦达定理（根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-6$，$c=3$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
对所求式子化简变形：
$\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}=2×(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=2×\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=3$代入上式：
原式$=2×\frac{6}{3}=2×2=4$
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根和、两根积的表达形式，可大幅简化计算，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算出两个根的具体值。解题思路为：先对所求的分式代数式进行通分变形，将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，再根据韦达定理求出对应方程的两根和与两根积，最后代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 6x + 3 = 0$的两个实数根，根据韦达定理（根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=-6$，$c=3$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
对所求式子化简变形：
$\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2}=2×(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})=2×\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=3$代入上式：
原式$=2×\frac{6}{3}=2×2=4$
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根和、两根积的表达形式，可大幅简化计算，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8
6. 从正方形的铁皮上截去一个宽2 cm的长方形，余下铁皮的面积是48 cm²，则原来的正方形铁皮的边长是 （
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
B
）A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先明确题中的等量关系：原正方形的面积 - 截去的长方形的面积 = 余下铁皮的面积48cm²。我们可以先设原正方形的边长为x cm，分别表示出正方形和截去的长方形的面积，根据等量关系列一元二次方程，求解后结合边长为正数的实际意义舍去不合理的根，即可得到结果。
【解析】
设原来正方形铁皮的边长是$ x \, \mathrm{cm} $。
原正方形的面积为$ x^2 \, \mathrm{cm}^2 $，截去的长方形的长等于正方形边长、宽为2cm，因此截去的长方形面积为$ 2x \, \mathrm{cm}^2 $。
根据余下铁皮面积为$ 48 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程得：
$x^2 - 2x = 48$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 8)(x + 6) = 0$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $。
因为边长为正数，故舍去$ x = -6 $，即原正方形铁皮的边长为8cm。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的方程基础题，解题核心是准确找到面积的等量关系列方程，得到方程的解后要注意验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题中的等量关系：原正方形的面积 - 截去的长方形的面积 = 余下铁皮的面积48cm²。我们可以先设原正方形的边长为x cm，分别表示出正方形和截去的长方形的面积，根据等量关系列一元二次方程，求解后结合边长为正数的实际意义舍去不合理的根，即可得到结果。
【解析】
设原来正方形铁皮的边长是$ x \, \mathrm{cm} $。
原正方形的面积为$ x^2 \, \mathrm{cm}^2 $，截去的长方形的长等于正方形边长、宽为2cm，因此截去的长方形面积为$ 2x \, \mathrm{cm}^2 $。
根据余下铁皮面积为$ 48 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程得：
$x^2 - 2x = 48$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 2x - 48 = 0$
因式分解得：
$(x - 8)(x + 6) = 0$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = -6 $。
因为边长为正数，故舍去$ x = -6 $，即原正方形铁皮的边长为8cm。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的方程基础题，解题核心是准确找到面积的等量关系列方程，得到方程的解后要注意验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
7. 某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，根据题意，下列方程正确的是（
A.$15(1-x)^2=9$
B.$15(1-2x)^2=9$
C.$15(1-x)=9$
D.$15(1-2x)=9$
A
）A.$15(1-x)^2=9$
B.$15(1-2x)^2=9$
C.$15(1-x)=9$
D.$15(1-2x)=9$
答案
7. A
解析
【分析】
这道题考查平均降价率的列方程问题，解题思路是先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价15元的基础上降价x，先算出第一次降价后的价格；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价x，已知两次降价后价格为9元，据此列出对应方程即可选出正确选项。
【解析】
1. 计算第一次降价后的售价：原价为15元，平均每次降价的百分率为x，因此第一次降价后的价格为$15(1-x)$元；
2. 计算第二次降价后的售价：第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格为$15(1-x) × (1-x) = 15(1-x)^2$元；
3. 结合题意，两次降价后零售价为9元，可列方程：$15(1-x)^2=9$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
由实际问题抽象一元二次方程；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题关键是明确每次变化的计算基数是上一次变化后的数值，避免误将两次降价的总百分率当成2x选错选项。
【难度系数】
0.8
这道题考查平均降价率的列方程问题，解题思路是先明确每次降价的计算基数：第一次降价是在原价15元的基础上降价x，先算出第一次降价后的价格；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价x，已知两次降价后价格为9元，据此列出对应方程即可选出正确选项。
【解析】
1. 计算第一次降价后的售价：原价为15元，平均每次降价的百分率为x，因此第一次降价后的价格为$15(1-x)$元；
2. 计算第二次降价后的售价：第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格为$15(1-x) × (1-x) = 15(1-x)^2$元；
3. 结合题意，两次降价后零售价为9元，可列方程：$15(1-x)^2=9$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
由实际问题抽象一元二次方程；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题关键是明确每次变化的计算基数是上一次变化后的数值，避免误将两次降价的总百分率当成2x选错选项。
【难度系数】
0.8
