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10. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼. 通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在5%，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为
1 000
.答案
10. 1 000
解析
【分析】
这道题是用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：①首先明确大量重复试验下，频率的稳定值可作为概率的估计值，本题中捕捞到有记号鱼的频率稳定在5%，说明鱼塘中有记号的鱼占总鱼数的比例约为5%；②已知做标记的鱼共有50条，根据“有标记鱼的数量÷鱼塘总鱼数=有标记鱼的稳定频率”的等量关系，即可列式计算出鱼塘总鱼数。
【解析】
设该鱼塘中鱼的总条数为$x$。
根据多次重复试验中，频率的稳定值等于概率的估计值，可列方程：
$\frac{50}{x}=5\%$
解得：$x=\frac{50}{5\%}=1000$
【答案】
1000
【知识点】
用频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题是统计思想在实际生活中的典型应用，解题核心是理解大量重复试验中频率稳定值的含义，结合标记鱼的数量建立等量关系即可求解，和生活场景结合紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
这道题是用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：①首先明确大量重复试验下，频率的稳定值可作为概率的估计值，本题中捕捞到有记号鱼的频率稳定在5%，说明鱼塘中有记号的鱼占总鱼数的比例约为5%；②已知做标记的鱼共有50条，根据“有标记鱼的数量÷鱼塘总鱼数=有标记鱼的稳定频率”的等量关系，即可列式计算出鱼塘总鱼数。
【解析】
设该鱼塘中鱼的总条数为$x$。
根据多次重复试验中，频率的稳定值等于概率的估计值，可列方程：
$\frac{50}{x}=5\%$
解得：$x=\frac{50}{5\%}=1000$
【答案】
1000
【知识点】
用频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题是统计思想在实际生活中的典型应用，解题核心是理解大量重复试验中频率稳定值的含义，结合标记鱼的数量建立等量关系即可求解，和生活场景结合紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
11. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于$\frac{1}{2025}$，则密码的位数至少需要
4
位。答案
11. 4
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确不同位数的密码对应的总可能数：每个数位有0到9共10种取值，n位密码的总组合数就是n个10相乘的结果，一次拨对密码的概率为总组合数的倒数。我们只需要根据“一次拨对概率小于$\frac{1}{2025}$”的条件列出不等式，求解得到最小的正整数n即可。
【解析】
设密码的位数为$n$位。
因为每个数位的数都是0到9的自然数，所以每个数位有10种可能取值，$n$位密码的总等可能结果共有$10^n$种，因此一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
根据题意列不等式：
$\frac{1}{10^n}＜\frac{1}{2025}$
由于分母均为正数，不等式两边同时乘$10^n×2025$，不等号方向不变，得：
$10^n＞2025$
计算10的幂次：
当$n=3$时，$10^3=1000＜2025$，不符合要求；
当$n=4$时，$10^4=10000＞2025$，符合要求。
因此密码的位数至少需要4位。
【答案】
4
【知识点】
概率计算，乘方运算，不等式应用
【点评】
本题结合生活中的密码场景考查概率的实际应用，解题关键是先推导n位密码的总组合数，再结合概率要求建立不等式求解，属于概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确不同位数的密码对应的总可能数：每个数位有0到9共10种取值，n位密码的总组合数就是n个10相乘的结果，一次拨对密码的概率为总组合数的倒数。我们只需要根据“一次拨对概率小于$\frac{1}{2025}$”的条件列出不等式，求解得到最小的正整数n即可。
【解析】
设密码的位数为$n$位。
因为每个数位的数都是0到9的自然数，所以每个数位有10种可能取值，$n$位密码的总等可能结果共有$10^n$种，因此一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
根据题意列不等式：
$\frac{1}{10^n}＜\frac{1}{2025}$
由于分母均为正数，不等式两边同时乘$10^n×2025$，不等号方向不变，得：
$10^n＞2025$
计算10的幂次：
当$n=3$时，$10^3=1000＜2025$，不符合要求；
当$n=4$时，$10^4=10000＞2025$，符合要求。
因此密码的位数至少需要4位。
【答案】
4
【知识点】
概率计算，乘方运算，不等式应用
【点评】
本题结合生活中的密码场景考查概率的实际应用，解题关键是先推导n位密码的总组合数，再结合概率要求建立不等式求解，属于概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
12. 某福利彩票中奖规则规定：若所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖. 购一张彩票中一等奖的概率是
$\frac{1}{10^4}$
.答案
12. $\frac{1}{10^4}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路分为三步：首先明确彩票4位数的每一位都可以取0~9共10个数字，且每一位的选择互不影响；其次计算所有可能的开奖结果总数量，以及中一等奖的符合条件的结果数量；最后代入概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可求解。
【解析】
解：彩票的4位数中，每一位数字均可从0~9这10个数字中任选：
第1位数字有10种选择，第2位数字有10种选择，第3位数字有10种选择，第4位数字有10种选择，
根据分步计数的乘法原理，所有等可能的4位数组合共有 $10×10×10×10=10^4$ 种，
而中一等奖的情况仅1种（即所选号码与开奖号码完全一致），
代入概率公式可得，购一张彩票中一等奖的概率 $P=\frac{1}{10^4}$。
【答案】
$\frac{1}{10^4}$
【知识点】
概率公式；分步计数；古典概型
【点评】
本题属于概率基础应用题，易错点是误认为4位数首位不能为0，导致总情况数计算错误，解题核心是明确彩票号码每一位的可选数字范围，准确计算总事件数后代入公式即可。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路分为三步：首先明确彩票4位数的每一位都可以取0~9共10个数字，且每一位的选择互不影响；其次计算所有可能的开奖结果总数量，以及中一等奖的符合条件的结果数量；最后代入概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”即可求解。
【解析】
解：彩票的4位数中，每一位数字均可从0~9这10个数字中任选：
第1位数字有10种选择，第2位数字有10种选择，第3位数字有10种选择，第4位数字有10种选择，
根据分步计数的乘法原理，所有等可能的4位数组合共有 $10×10×10×10=10^4$ 种，
而中一等奖的情况仅1种（即所选号码与开奖号码完全一致），
代入概率公式可得，购一张彩票中一等奖的概率 $P=\frac{1}{10^4}$。
【答案】
$\frac{1}{10^4}$
【知识点】
概率公式；分步计数；古典概型
【点评】
本题属于概率基础应用题，易错点是误认为4位数首位不能为0，导致总情况数计算错误，解题核心是明确彩票号码每一位的可选数字范围，准确计算总事件数后代入公式即可。
【难度系数】
0.7
13. 一个不透明的袋子中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球，这些球除颜色外无其他差别. 甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜. 要使游戏公平，则x为
2
.答案
13. 2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确游戏公平的核心条件是甲、乙两人获胜的概率相等。解题思路如下：1. 先根据总球数和已知的白球、绿球数量，用含x的式子表示出黑球的数量；2. 分别计算甲获胜（摸出绿球）的概率和乙获胜（摸出黑球）的概率；3. 根据概率相等列方程求解，最后验证x的取值是否符合实际意义（球的个数为正整数）。
【解析】
首先计算黑球的数量：
袋中总共有10个球，白球x个，绿球2x个，因此黑球的数量为 $10 - x - 2x = 10 - 3x$。
游戏公平意味着甲获胜的概率等于乙获胜的概率：
甲摸出绿球获胜的概率 $P(\mathrm{甲胜}) = \frac{\mathrm{绿球数量}}{\mathrm{总球数}} = \frac{2x}{10}$
乙摸出黑球获胜的概率 $P(\mathrm{乙胜}) = \frac{\mathrm{黑球数量}}{\mathrm{总球数}} = \frac{10 - 3x}{10}$
根据概率相等列方程：
$\frac{2x}{10} = \frac{10 - 3x}{10}$
两边同时乘10得：$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
验证：当$x=2$时，白球2个，绿球4个，黑球$10-3×2=4$个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
概率的计算，游戏公平的判定，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合游戏公平性场景考查概率的应用，解题的关键是理解游戏公平的本质是对应事件发生的概率相等，结合题意列方程求解即可，同时要注意所得的解要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确游戏公平的核心条件是甲、乙两人获胜的概率相等。解题思路如下：1. 先根据总球数和已知的白球、绿球数量，用含x的式子表示出黑球的数量；2. 分别计算甲获胜（摸出绿球）的概率和乙获胜（摸出黑球）的概率；3. 根据概率相等列方程求解，最后验证x的取值是否符合实际意义（球的个数为正整数）。
【解析】
首先计算黑球的数量：
袋中总共有10个球，白球x个，绿球2x个，因此黑球的数量为 $10 - x - 2x = 10 - 3x$。
游戏公平意味着甲获胜的概率等于乙获胜的概率：
甲摸出绿球获胜的概率 $P(\mathrm{甲胜}) = \frac{\mathrm{绿球数量}}{\mathrm{总球数}} = \frac{2x}{10}$
乙摸出黑球获胜的概率 $P(\mathrm{乙胜}) = \frac{\mathrm{黑球数量}}{\mathrm{总球数}} = \frac{10 - 3x}{10}$
根据概率相等列方程：
$\frac{2x}{10} = \frac{10 - 3x}{10}$
两边同时乘10得：$2x = 10 - 3x$
移项合并同类项得：$5x = 10$
解得：$x = 2$
验证：当$x=2$时，白球2个，绿球4个，黑球$10-3×2=4$个，均为正整数，符合实际意义。
【答案】
2
【知识点】
概率的计算，游戏公平的判定，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合游戏公平性场景考查概率的应用，解题的关键是理解游戏公平的本质是对应事件发生的概率相等，结合题意列方程求解即可，同时要注意所得的解要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.7
14. 某校准备从甲、乙两名同学中随机选取一人任“阳光大课间”的领操员，体育老师设计的选取规则是：如图①，取四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5），将扑克牌洗匀后，按图②方式背面朝上放置在桌面上.甲、乙两人各抽取一张扑克牌，若两张牌面数字之和为奇数，甲当选；否则乙当选.
（1）请用树状图或列表法求出所有可能的结果.
（2）这个游戏规则公平吗？说明理由.
（1）请用树状图或列表法求出所有可能的结果.
（2）这个游戏规则公平吗？说明理由.
答案
14.（1）树状图略 （2）此游戏规则不公平. 理由如下:由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况,所以 $P(小亮获胜)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$;$P(小明获胜)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$,因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$,所以这个游戏规则不公平
解析
【分析】
（1）要列举两人各抽取一张牌的所有可能结果，需明确是不放回抽取，4张牌中两张数字为5的牌属于不同个体，可通过列表法或树状图法，按第一次抽取、第二次抽取的顺序逐一列举，总共共有4×3=12种等可能结果。
（2）判断游戏规则是否公平，需分别计算甲、乙当选的概率，若概率相等则公平，否则不公平。数字和为奇数的条件是两张牌数字一奇一偶，统计该情况的结果数后，结合概率公式计算两人当选的概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）将四张牌分别记为：方块2（数字2）、黑桃4（数字4）、黑桃5（数字5）、梅花5（数字5），用列表法列举所有结果如下：
| 第一人抽取\第二人抽取 | 方块2 | 黑桃4 | 黑桃5 | 梅花5 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 方块2 | - | （方块2，黑桃4） | （方块2，黑桃5） | （方块2，梅花5） |
| 黑桃4 | （黑桃4，方块2） | - | （黑桃4，黑桃5） | （黑桃4，梅花5） |
| 黑桃5 | （黑桃5，方块2） | （黑桃5，黑桃4） | - | （黑桃5，梅花5） |
| 梅花5 | （梅花5，方块2） | （梅花5，黑桃4） | （梅花5，黑桃5） | - |
由表可知，共有12种等可能的结果。（也可通过树状图列举，结果一致即可）
（2）此游戏规则不公平，理由如下：
在12种等可能结果中，两张牌面数字之和为奇数的情况共8种。
∴ $P(甲当选)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
$P(乙当选)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∵ $\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，两人当选的概率不相等，
∴ 这个游戏规则不公平。
【答案】
（1）共有12种等可能的结果（树状图或列表结果正确即可）；
（2）这个游戏规则不公平。
【知识点】
列表法与树状图法，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用题，核心考查等可能事件概率的计算，解题时要注意不放回抽取的特征，准确列举所有等可能结果，再通过概率比较判断公平性。
【难度系数】
0.7
（1）要列举两人各抽取一张牌的所有可能结果，需明确是不放回抽取，4张牌中两张数字为5的牌属于不同个体，可通过列表法或树状图法，按第一次抽取、第二次抽取的顺序逐一列举，总共共有4×3=12种等可能结果。
（2）判断游戏规则是否公平，需分别计算甲、乙当选的概率，若概率相等则公平，否则不公平。数字和为奇数的条件是两张牌数字一奇一偶，统计该情况的结果数后，结合概率公式计算两人当选的概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）将四张牌分别记为：方块2（数字2）、黑桃4（数字4）、黑桃5（数字5）、梅花5（数字5），用列表法列举所有结果如下：
| 第一人抽取\第二人抽取 | 方块2 | 黑桃4 | 黑桃5 | 梅花5 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 方块2 | - | （方块2，黑桃4） | （方块2，黑桃5） | （方块2，梅花5） |
| 黑桃4 | （黑桃4，方块2） | - | （黑桃4，黑桃5） | （黑桃4，梅花5） |
| 黑桃5 | （黑桃5，方块2） | （黑桃5，黑桃4） | - | （黑桃5，梅花5） |
| 梅花5 | （梅花5，方块2） | （梅花5，黑桃4） | （梅花5，黑桃5） | - |
由表可知，共有12种等可能的结果。（也可通过树状图列举，结果一致即可）
（2）此游戏规则不公平，理由如下：
在12种等可能结果中，两张牌面数字之和为奇数的情况共8种。
∴ $P(甲当选)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
$P(乙当选)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∵ $\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，两人当选的概率不相等，
∴ 这个游戏规则不公平。
【答案】
（1）共有12种等可能的结果（树状图或列表结果正确即可）；
（2）这个游戏规则不公平。
【知识点】
列表法与树状图法，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用题，核心考查等可能事件概率的计算，解题时要注意不放回抽取的特征，准确列举所有等可能结果，再通过概率比较判断公平性。
【难度系数】
0.7
15. 如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，…$\mathrm{D}_3$，$\mathrm{D}_4$分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等. 从入口$\mathrm{A}_1$处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球在下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内. 求圆球落入③号槽内的概率.
答案
15. 树状图略. 圆球落入槽内共有8种等可能的结果,其中满足条件的情况有3种.所以 $P(圆球落入③号槽内)=\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确圆球每次下落时向左、向右两个方向下落的可能性相等，因此所有下落路径都是等可能的。我们可以通过逐步列举每次下落的可能方向，找出所有的等可能结果，再统计出最终落入③号槽的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算即可。
【解析】
圆球从入口$\mathrm{A}_1$处下落，每次遇到钉子时，都有向左、向右2种等可能的选择，从$\mathrm{A}_1$到落入下方槽内，一共需要经过3次方向选择：
1. 第一次下落：可到$\mathrm{B}_1$或$\mathrm{B}_2$，共2种可能；
2. 第二次下落：从$\mathrm{B}_1$可到$\mathrm{C}_1$、$\mathrm{C}_2$，从$\mathrm{B}_2$可到$\mathrm{C}_2$、$\mathrm{C}_3$，共$2×2=4$种可能；
3. 第三次下落：从$\mathrm{C}_1$可到$\mathrm{D}_1$、$\mathrm{D}_2$，从$\mathrm{C}_2$可到$\mathrm{D}_2$、$\mathrm{D}_3$，从$\mathrm{C}_3$可到$\mathrm{D}_3$、$\mathrm{D}_4$，共$4×2=8$种等可能的下落路径。
其中最终落入③号槽（即最后落到$\mathrm{D}_3$位置）的路径有3种，分别是：①$\mathrm{A}_1\to\mathrm{B}_1\to\mathrm{C}_2\to\mathrm{D}_3$；②$\mathrm{A}_1\to\mathrm{B}_2\to\mathrm{C}_2\to\mathrm{D}_3$；③$\mathrm{A}_1\to\mathrm{B}_2\to\mathrm{C}_3\to\mathrm{D}_3$。
根据概率公式，可得$P(圆球落入③号槽内)=\frac{符合条件的路径数}{总路径数}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题结合实际下落场景考查概率的计算，解题核心是理清所有等可能的下落路径，避免出现漏数或多算路径的情况，再代入概率公式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确圆球每次下落时向左、向右两个方向下落的可能性相等，因此所有下落路径都是等可能的。我们可以通过逐步列举每次下落的可能方向，找出所有的等可能结果，再统计出最终落入③号槽的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算即可。
【解析】
圆球从入口$\mathrm{A}_1$处下落，每次遇到钉子时，都有向左、向右2种等可能的选择，从$\mathrm{A}_1$到落入下方槽内，一共需要经过3次方向选择：
1. 第一次下落：可到$\mathrm{B}_1$或$\mathrm{B}_2$，共2种可能；
2. 第二次下落：从$\mathrm{B}_1$可到$\mathrm{C}_1$、$\mathrm{C}_2$，从$\mathrm{B}_2$可到$\mathrm{C}_2$、$\mathrm{C}_3$，共$2×2=4$种可能；
3. 第三次下落：从$\mathrm{C}_1$可到$\mathrm{D}_1$、$\mathrm{D}_2$，从$\mathrm{C}_2$可到$\mathrm{D}_2$、$\mathrm{D}_3$，从$\mathrm{C}_3$可到$\mathrm{D}_3$、$\mathrm{D}_4$，共$4×2=8$种等可能的下落路径。
其中最终落入③号槽（即最后落到$\mathrm{D}_3$位置）的路径有3种，分别是：①$\mathrm{A}_1\to\mathrm{B}_1\to\mathrm{C}_2\to\mathrm{D}_3$；②$\mathrm{A}_1\to\mathrm{B}_2\to\mathrm{C}_2\to\mathrm{D}_3$；③$\mathrm{A}_1\to\mathrm{B}_2\to\mathrm{C}_3\to\mathrm{D}_3$。
根据概率公式，可得$P(圆球落入③号槽内)=\frac{符合条件的路径数}{总路径数}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题结合实际下落场景考查概率的计算，解题核心是理清所有等可能的下落路径，避免出现漏数或多算路径的情况，再代入概率公式求解即可。
【难度系数】
0.7
