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8. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感. 设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（
A.7个
B.49个
C.343个
D.1 331个
D
）A.7个
B.49个
C.343个
D.1 331个
答案
8. D
解析
【分析】本题为传播类应用题，解题思路如下：第一步设每轮传染中平均1个人传染x人，先梳理传染规律：初始1个患者，第一轮传染后总患者数为(1+x)人；第二轮传染时，(1+x)个患者每人传染x人，因此两轮后总患者数为$(1+x)^2$人，结合题目给出的两轮后共121人的条件列方程求出x，再根据规律得到三轮后总患者数为$(1+x)^3$，代入x计算即可得结果。
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染x个人。
由两轮传染后共121人患流感，可列方程：
$(1+x)^2=121$
开平方得：$1+x=\pm11$
由于传染人数为正数，因此舍去$1+x=-11$，得$1+x=11$，解得$x=10$。
经过三轮传染后，患流感总人数为：
$(1+x)^3=11^3=1331$
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用，传播问题
【点评】本题是典型的实际应用题，解题关键是理清每轮传染后总患病人数的增长规律，找准等量关系列方程求解，难度较低，掌握基础的方程应用即可解答。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设每轮传染中平均一个人传染x个人。
由两轮传染后共121人患流感，可列方程：
$(1+x)^2=121$
开平方得：$1+x=\pm11$
由于传染人数为正数，因此舍去$1+x=-11$，得$1+x=11$，解得$x=10$。
经过三轮传染后，患流感总人数为：
$(1+x)^3=11^3=1331$
因此本题选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用，传播问题
【点评】本题是典型的实际应用题，解题关键是理清每轮传染后总患病人数的增长规律，找准等量关系列方程求解，难度较低，掌握基础的方程应用即可解答。
【难度系数】0.7
二、填空题
9. 若关于 $ x $ 的方程 $(m - 3)x^{|m - 1|} + 5x - 3 = 0$ 是一元二次方程，则 $ m $ 的值为
9. 若关于 $ x $ 的方程 $(m - 3)x^{|m - 1|} + 5x - 3 = 0$ 是一元二次方程，则 $ m $ 的值为
-1
。答案
9. -1
解析
【分析】
要确定m的值，需依据一元二次方程的定义分析：一元二次方程有两个核心限制条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列关系式，联立求解后排除不符合要求的解即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(m - 3)x^{|m - 1|} + 5x - 3 = 0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即$|m - 1| = 2$
解绝对值方程：
当$m-1=2$时，$m=3$；当$m-1=-2$时，$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
综上，舍去不符合条件的$m=3$，可得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值方程求解
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型应用题型，易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含限制条件，仅通过最高次数为2求解得到错误解，做题时要注意全面考虑定义的所有要求。
【难度系数】
0.65
要确定m的值，需依据一元二次方程的定义分析：一元二次方程有两个核心限制条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列关系式，联立求解后排除不符合要求的解即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(m - 3)x^{|m - 1|} + 5x - 3 = 0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即$|m - 1| = 2$
解绝对值方程：
当$m-1=2$时，$m=3$；当$m-1=-2$时，$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
综上，舍去不符合条件的$m=3$，可得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值方程求解
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型应用题型，易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含限制条件，仅通过最高次数为2求解得到错误解，做题时要注意全面考虑定义的所有要求。
【难度系数】
0.65
0. 关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - a = 0$的一个根是2，则另一个根是
-4
答案
10. -4
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根，求另一个根有两种常见解题思路：①先将已知根代入原方程，求出未知参数a的值，得到完整的一元二次方程后解方程，即可得到另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，直接列式计算另一个根，无需计算参数a，计算更简便。
【解析】
方法1（代入求参法）：
将$x=2$代入方程$x^2 + 2x - a = 0$，得：
$2^2 + 2×2 - a = 0$
计算得$4+4 -a=0$，解得$a=8$。
则原方程为$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x + 4)(x - 2) = 0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$，故另一个根为-4。
方法2（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$。
本题中$A=1$，$B=2$，已知一个根为2，因此：
$x_1 + 2 = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_1 = -2 - 2 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法均适用，灵活运用根与系数的关系可以跳过求参步骤，简化运算，提高解题速度。
【难度系数】
0.85
已知一元二次方程的一个根，求另一个根有两种常见解题思路：①先将已知根代入原方程，求出未知参数a的值，得到完整的一元二次方程后解方程，即可得到另一个根；②利用一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，直接列式计算另一个根，无需计算参数a，计算更简便。
【解析】
方法1（代入求参法）：
将$x=2$代入方程$x^2 + 2x - a = 0$，得：
$2^2 + 2×2 - a = 0$
计算得$4+4 -a=0$，解得$a=8$。
则原方程为$x^2 + 2x - 8 = 0$，
因式分解得$(x + 4)(x - 2) = 0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$，故另一个根为-4。
方法2（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$。
本题中$A=1$，$B=2$，已知一个根为2，因此：
$x_1 + 2 = -\frac{2}{1} = -2$
解得$x_1 = -2 - 2 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法均适用，灵活运用根与系数的关系可以跳过求参步骤，简化运算，提高解题速度。
【难度系数】
0.85
11. 已知$2x^2 + 3x +1$的值是10，则代数式$-4x^2 -6x +1$的值为
-17
。答案
11. -17
解析
【分析】
解题时先观察已知代数式和所求代数式的结构特征，发现所求代数式的二次项、一次项系数分别是已知代数式对应项系数的-2倍，因此不需要求出x的具体值，采用整体代入法求解即可。首先从已知条件出发求出$2x^2+3x$的值，再将所求代数式变形为含$2x^2+3x$的形式，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：$2x^2 + 3x +1 = 10$
移项计算可得：$2x^2 + 3x = 10 - 1 = 9$
对所求代数式进行恒等变形：
$-4x^2 -6x +1 = -2(2x^2 + 3x) + 1$
将$2x^2 + 3x =9$代入上式：
原式$= -2×9 +1 = -18 +1 = -17$
【答案】
$-17$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式变形
【点评】
本题是代数式求值类的常考基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是找到已知式与待求式之间的数量关联，通过整体代入简化计算，避免了解一元二次方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知代数式和所求代数式的结构特征，发现所求代数式的二次项、一次项系数分别是已知代数式对应项系数的-2倍，因此不需要求出x的具体值，采用整体代入法求解即可。首先从已知条件出发求出$2x^2+3x$的值，再将所求代数式变形为含$2x^2+3x$的形式，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：$2x^2 + 3x +1 = 10$
移项计算可得：$2x^2 + 3x = 10 - 1 = 9$
对所求代数式进行恒等变形：
$-4x^2 -6x +1 = -2(2x^2 + 3x) + 1$
将$2x^2 + 3x =9$代入上式：
原式$= -2×9 +1 = -18 +1 = -17$
【答案】
$-17$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式变形
【点评】
本题是代数式求值类的常考基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是找到已知式与待求式之间的数量关联，通过整体代入简化计算，避免了解一元二次方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
12. 若关于x的一元二次方程$x^2 + 3x + m = 0$没有实数根，则m的取值范围是
$m＞\dfrac{9}{4}$
。答案
12. $m＞\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们首先想到一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：一元二次方程没有实数根等价于判别式小于0。我们先从给定方程中提取对应的系数a、b、c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 + 3x + m = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta = 3^2 - 4×1× m = 9 - 4m$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$9 - 4m ＜ 0$
解这个不等式：
移项得：$-4m ＜ -9$
不等式两边同时除以-4，不等号方向改变，得：$m ＞ \dfrac{9}{4}$
【答案】
$m＞\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是熟记判别式的计算公式以及不同根的情况对应的判别式符号，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们首先想到一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：一元二次方程没有实数根等价于判别式小于0。我们先从给定方程中提取对应的系数a、b、c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 + 3x + m = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta = 3^2 - 4×1× m = 9 - 4m$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$9 - 4m ＜ 0$
解这个不等式：
移项得：$-4m ＜ -9$
不等式两边同时除以-4，不等号方向改变，得：$m ＞ \dfrac{9}{4}$
【答案】
$m＞\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是熟记判别式的计算公式以及不同根的情况对应的判别式符号，解不等式时注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
13. 已知$a$，$b(a≠b)$满足$a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} =$
-6
。答案
13. -6
解析
【分析】
首先观察已知条件，a和b满足同一个二次方程且a≠b，可判断a、b是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。所求代数式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$可通过通分、完全平方公式变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，代入变形后的式子即可计算出结果。
【解析】
∵ $a≠b$，且$a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，
∴ $a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$a+b=2$，$ab=-1$，
对所求式子化简：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2 + b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$，
将$a+b=2$，$ab=-1$代入上式：
原式$=\frac{2^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{4 + 2}{-1}=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，解题关键是先根据已知条件确定a、b是对应方程的两个不等实根，再将所求代数式合理变形后结合根与系数的关系代入计算，需注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，a和b满足同一个二次方程且a≠b，可判断a、b是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。所求代数式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$可通过通分、完全平方公式变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，代入变形后的式子即可计算出结果。
【解析】
∵ $a≠b$，且$a^2 - 2a - 1 = 0$，$b^2 - 2b - 1 = 0$，
∴ $a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$a+b=2$，$ab=-1$，
对所求式子化简：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2 + b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$，
将$a+b=2$，$ab=-1$代入上式：
原式$=\frac{2^2 - 2×(-1)}{-1}=\frac{4 + 2}{-1}=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，解题关键是先根据已知条件确定a、b是对应方程的两个不等实根，再将所求代数式合理变形后结合根与系数的关系代入计算，需注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
14.已知代数式$x(x+5)-6$与代数式$9x-9$的值互为相反数，则$x$的值为
-15或1
。答案
14. -15或1
解析
【分析】
解题时首先利用相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此列出关于x的方程；再通过整式运算将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后用因式分解法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
∵ 代数式$x(x+5)-6$与$9x-9$互为相反数
∴ $x(x+5)-6 + (9x - 9) = 0$
展开并整理方程：
$x^2 + 5x - 6 + 9x - 9 = 0$
$x^2 + 14x - 15 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 15)(x - 1) = 0$
则$x + 15 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_1 = -15$，$x_2 = 1$
【答案】
-15或1
【知识点】
相反数的性质；一元二次方程的解法；整式的化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确根据相反数的性质列出方程，只要熟练掌握整式化简和一元二次方程的求解方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此列出关于x的方程；再通过整式运算将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后用因式分解法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
∵ 代数式$x(x+5)-6$与$9x-9$互为相反数
∴ $x(x+5)-6 + (9x - 9) = 0$
展开并整理方程：
$x^2 + 5x - 6 + 9x - 9 = 0$
$x^2 + 14x - 15 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 15)(x - 1) = 0$
则$x + 15 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_1 = -15$，$x_2 = 1$
【答案】
-15或1
【知识点】
相反数的性质；一元二次方程的解法；整式的化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确根据相反数的性质列出方程，只要熟练掌握整式化简和一元二次方程的求解方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
15. 已知$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5$是一个完全平方式，常数$m$的值为
2
.答案
15. 2
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。本题中二次三项式的二次项为$x^2$，因此可将原式对应为$(x\pm k)^2$的展开形式，通过对比对应项的系数列出关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。也可利用“若二次三项式$ax^2+bx+c$是完全平方式，则其判别式$\Delta=b^2-4ac=0$”的性质列方程求解，这里选择系数对应法更直观。
【解析】
已知$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5$是完全平方式，将其与完全平方公式$(x-k)^2=x^2-2kx+k^2$对比可得：
1. 一次项系数对应：$-2(m+1)=-2k$，化简得$k=m+1$；
2. 常数项对应：$k^2=m^2+5$。
将$k=m+1$代入$k^2=m^2+5$得：
$(m+1)^2=m^2+5$
展开左边：$m^2+2m+1=m^2+5$
两边消去$m^2$，移项得：$2m=5-1=4$
解得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 整式恒等变形
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是能根据完全平方式的形式匹配对应项的系数建立方程求解，解题时需注意不要记错完全平方公式中间项的符号。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。本题中二次三项式的二次项为$x^2$，因此可将原式对应为$(x\pm k)^2$的展开形式，通过对比对应项的系数列出关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。也可利用“若二次三项式$ax^2+bx+c$是完全平方式，则其判别式$\Delta=b^2-4ac=0$”的性质列方程求解，这里选择系数对应法更直观。
【解析】
已知$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5$是完全平方式，将其与完全平方公式$(x-k)^2=x^2-2kx+k^2$对比可得：
1. 一次项系数对应：$-2(m+1)=-2k$，化简得$k=m+1$；
2. 常数项对应：$k^2=m^2+5$。
将$k=m+1$代入$k^2=m^2+5$得：
$(m+1)^2=m^2+5$
展开左边：$m^2+2m+1=m^2+5$
两边消去$m^2$，移项得：$2m=5-1=4$
解得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 整式恒等变形
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是能根据完全平方式的形式匹配对应项的系数建立方程求解，解题时需注意不要记错完全平方公式中间项的符号。
【难度系数】
0.8
16. 若方程$x^2 -6x +8=0$的两根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
10
.答案
16. 10
解析
【分析】
解决本题需要分三步思考：第一步先求解一元二次方程得到两个根；第二步因为题干没有明确说明方程的两个根对应等腰三角形的底还是腰，所以要分类讨论两种边长组合；第三步必须用三角形三边关系验证每种组合是否能构成三角形，排除不符合的情况后，计算有效情况的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程
对$x^2 -6x +8=0$因式分解，得：
$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
2. 分类讨论并验证三边关系
① 若底边长为2，腰长为4，此时三角形三边长为2、4、4：
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形两边之和大于第三边的要求，
周长为$2+4+4=10$。
② 若底边长为4，腰长为2，此时三角形三边长为2、2、4：
验证三边关系：$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的周长为10。
【答案】
10
【知识点】
解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质结合的基础综合题，易错点是分类讨论后忘记验证三角形三边关系，错把第二种无效情况的周长计入结果，解题时要注意几何边长的实际合理性。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分三步思考：第一步先求解一元二次方程得到两个根；第二步因为题干没有明确说明方程的两个根对应等腰三角形的底还是腰，所以要分类讨论两种边长组合；第三步必须用三角形三边关系验证每种组合是否能构成三角形，排除不符合的情况后，计算有效情况的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程
对$x^2 -6x +8=0$因式分解，得：
$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
2. 分类讨论并验证三边关系
① 若底边长为2，腰长为4，此时三角形三边长为2、4、4：
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形两边之和大于第三边的要求，
周长为$2+4+4=10$。
② 若底边长为4，腰长为2，此时三角形三边长为2、2、4：
验证三边关系：$2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的周长为10。
【答案】
10
【知识点】
解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何性质结合的基础综合题，易错点是分类讨论后忘记验证三角形三边关系，错把第二种无效情况的周长计入结果，解题时要注意几何边长的实际合理性。
【难度系数】
0.7
17. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到16 900台. 若设产量平均每年的增长率为x，根据题意，可得方程
$14400(1+x)^2=16900$
.答案
17. $14400(1+x)^2=16900$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆平均增长率类问题的核心等量关系：增长后的产量 = 初始产量 × (1 + 年平均增长率)ⁿ，其中n是增长的年数。本题中初始产量是14400台，增长时间是2年，增长后的产量是16900台，把对应数值代入这个等量关系就能列出方程。
【解析】
已知初始年产量为14400台，平均每年增长率为x：
1. 第1年结束后的产量为：$14400(1+x)$ 台
2. 第2年在第1年产量的基础上继续增长x，因此第2年结束后的产量为：$14400(1+x) × (1+x) = 14400(1+x)^2$ 台
3. 结合题目给出的两年后产量为16900台的条件，可列方程：$14400(1+x)^2 = 16900$
【答案】
$14400(1+x)^2=16900$
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类应用题的基础常考题，核心是掌握增长后量的计算公式，找准初始量、最终量和增长次数三个关键量即可正确列式，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆平均增长率类问题的核心等量关系：增长后的产量 = 初始产量 × (1 + 年平均增长率)ⁿ，其中n是增长的年数。本题中初始产量是14400台，增长时间是2年，增长后的产量是16900台，把对应数值代入这个等量关系就能列出方程。
【解析】
已知初始年产量为14400台，平均每年增长率为x：
1. 第1年结束后的产量为：$14400(1+x)$ 台
2. 第2年在第1年产量的基础上继续增长x，因此第2年结束后的产量为：$14400(1+x) × (1+x) = 14400(1+x)^2$ 台
3. 结合题目给出的两年后产量为16900台的条件，可列方程：$14400(1+x)^2 = 16900$
【答案】
$14400(1+x)^2=16900$
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类应用题的基础常考题，核心是掌握增长后量的计算公式，找准初始量、最终量和增长次数三个关键量即可正确列式，难度较低。
【难度系数】
0.9
三、解答题
18. 解方程：
(1) $(x-5)^2=16$；
(2) $x^2-4x+1=0$；
(3) $x^2+2x+3=0$；
(4) $25(2x-5)^2-9(x+4)^2=0$。
18. 解方程：
(1) $(x-5)^2=16$；
(2) $x^2-4x+1=0$；
(3) $x^2+2x+3=0$；
(4) $25(2x-5)^2-9(x+4)^2=0$。
答案
18. (1) $x_1=9,x_2=1$ (2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$ (3) 无实数根 (4) $x_1=1,x_2=\dfrac{37}{7}$
解析
【分析】
这四道题均为一元二次方程求解，可根据方程特征选择最简解法：
(1) 方程为完全平方式等于正实数的形式，优先选用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程求解；
(2) 二次项系数为1，一次项系数为偶数，可选用配方法或公式法求解；
(3) 先计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断是否存在实数根；
(4) 方程左侧为两个平方项的差，符合平方差公式结构，优先选用因式分解法，转化为两个一次方程求解。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2=16$两边直接开平方，得：
$x-5=\pm4$
即$x-5=4$或$x-5=-4$
分别解得$x=9$或$x=1$。
(2) 对$x^2-4x+1=0$用配方法求解：
移项得$x^2-4x=-1$
两边同时加4（一次项系数一半的平方）得$x^2-4x+4=3$，即$(x-2)^2=3$
开平方得$x-2=\pm\sqrt{3}$
解得$x=2+\sqrt{3}$或$x=2-\sqrt{3}$。
(3) 对$x^2+2x+3=0$，其中$a=1,b=2,c=3$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$
因此该方程无实数根。
(4) 对$25(2x-5)^2-9(x+4)^2=0$用平方差公式因式分解：
原式可变形为$[5(2x-5)]^2-[3(x+4)]^2=0$
因式分解得$[5(2x-5)+3(x+4)][5(2x-5)-3(x+4)]=0$
化简两个因式得：$(13x-13)(7x-37)=0$
即$13x-13=0$或$7x-37=0$
分别解得$x=1$或$x=\frac{37}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=9,x_2=1$
(2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
(3) 无实数根
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{37}{7}$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，因式分解的应用
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的方法，提升解题效率，同时要注意判别式小于0时方程不存在实数根的特殊情况。
【难度系数】
0.7
这四道题均为一元二次方程求解，可根据方程特征选择最简解法：
(1) 方程为完全平方式等于正实数的形式，优先选用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程求解；
(2) 二次项系数为1，一次项系数为偶数，可选用配方法或公式法求解；
(3) 先计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断是否存在实数根；
(4) 方程左侧为两个平方项的差，符合平方差公式结构，优先选用因式分解法，转化为两个一次方程求解。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2=16$两边直接开平方，得：
$x-5=\pm4$
即$x-5=4$或$x-5=-4$
分别解得$x=9$或$x=1$。
(2) 对$x^2-4x+1=0$用配方法求解：
移项得$x^2-4x=-1$
两边同时加4（一次项系数一半的平方）得$x^2-4x+4=3$，即$(x-2)^2=3$
开平方得$x-2=\pm\sqrt{3}$
解得$x=2+\sqrt{3}$或$x=2-\sqrt{3}$。
(3) 对$x^2+2x+3=0$，其中$a=1,b=2,c=3$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$
因此该方程无实数根。
(4) 对$25(2x-5)^2-9(x+4)^2=0$用平方差公式因式分解：
原式可变形为$[5(2x-5)]^2-[3(x+4)]^2=0$
因式分解得$[5(2x-5)+3(x+4)][5(2x-5)-3(x+4)]=0$
化简两个因式得：$(13x-13)(7x-37)=0$
即$13x-13=0$或$7x-37=0$
分别解得$x=1$或$x=\frac{37}{7}$。
【答案】
(1) $x_1=9,x_2=1$
(2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
(3) 无实数根
(4) $x_1=1,x_2=\dfrac{37}{7}$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，因式分解的应用
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的方法，提升解题效率，同时要注意判别式小于0时方程不存在实数根的特殊情况。
【难度系数】
0.7
