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19. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +m +1=0$有两个不相等的实数根.
（1）求$m$的取值范围；
（2）若该方程的两个实根$x_1$，$x_2$满足$x_1 +x_2=2x_1x_2 -1$，求$m$的值.
（1）求$m$的取值范围；
（2）若该方程的两个实根$x_1$，$x_2$满足$x_1 +x_2=2x_1x_2 -1$，求$m$的值.
答案
19. (1) $m＜3$ (2) $m=\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实根。我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）题目给出两根的等量关系，可利用根与系数的关系（韦达定理）先求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再代入已知等式求解$m$，最后检验所得$m$是否满足第一问的取值范围，排除不符合条件的解。
【解析】
（1）
∵ 一元二次方程$x^2 -4x +m +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，
其中$a=1$，$b=-4$，$c=m+1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(m+1) = 12-4m＞0$，
解不等式：$12-4m＞0$，
移项得$4m＜12$，解得$m＜3$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=m+1$，
将其代入$x_1 +x_2=2x_1x_2 -1$得：
$4=2(m+1)-1$，
化简得$4=2m+1$，
移项得$2m=3$，解得$m=\frac{3}{2}$，
检验：$\frac{3}{2}＜3$，符合$m$的取值范围，故$m=\frac{3}{2}$有效。
【答案】
（1）$m＜3$；（2）$m=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考题，核心考察根的判别式和韦达定理的应用，解题时要注意求出参数后需验证是否满足根存在的前提条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.8
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实根。我们先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）题目给出两根的等量关系，可利用根与系数的关系（韦达定理）先求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再代入已知等式求解$m$，最后检验所得$m$是否满足第一问的取值范围，排除不符合条件的解。
【解析】
（1）
∵ 一元二次方程$x^2 -4x +m +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，
其中$a=1$，$b=-4$，$c=m+1$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(m+1) = 12-4m＞0$，
解不等式：$12-4m＞0$，
移项得$4m＜12$，解得$m＜3$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=m+1$，
将其代入$x_1 +x_2=2x_1x_2 -1$得：
$4=2(m+1)-1$，
化简得$4=2m+1$，
移项得$2m=3$，解得$m=\frac{3}{2}$，
检验：$\frac{3}{2}＜3$，符合$m$的取值范围，故$m=\frac{3}{2}$有效。
【答案】
（1）$m＜3$；（2）$m=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考题，核心考察根的判别式和韦达定理的应用，解题时要注意求出参数后需验证是否满足根存在的前提条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.8
20. 某水果批发商场经销一种车厘子，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元.
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求降价率.
（2）假期结束，商场准备适当涨价. 已知现在该种车厘子每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销量将减少10 kg，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求降价率.
（2）假期结束，商场准备适当涨价. 已知现在该种车厘子每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销量将减少10 kg，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
答案
20. (1) $10\%$ (2) 涨价5元/kg
解析
【分析】
（1）第一问属于平均降低率的一元二次方程应用问题，解题思路为：先设降价率为x，依据“原价×(1-降价率)²=两次调价后售价”的等量关系列方程，求解后结合降价率的实际取值范围（0＜x＜1）舍去不符合题意的根即可。
（2）第二问属于销售利润类的一元二次方程应用问题，解题思路为：先设每千克涨价y元，分别表示出涨价后每千克的利润、涨价后的日销售量，再依据“每千克利润×日销售量=每日总盈利”的等量关系列方程，求解后结合“使顾客得到实惠”的要求，选择涨幅更小的根即可。
【解析】
（1）设该次调价的降价率为$ x $，根据题意列方程：
$ 40(1-x)^2 = 32.4 $
两边同时除以40得：$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方得：$ 1-x = \pm 0.9 $
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = 1.9 $（降价率不能大于1，不符合实际意义，舍去）
即降价率为10%。
（2）设每千克应涨价$ y $元，根据题意：
涨价后每千克盈利为$ (10+y) $元；
每涨价0.5元日销量减少10kg，则涨价y元时日销量减少$ \frac{y}{0.5} × 10 = 20y $kg，即日销售量为$ (500-20y) $kg；
要保证每天盈利6000元，列方程得：
$ (10+y)(500-20y) = 6000 $
展开整理得：$ y^2 - 15y + 50 = 0 $
因式分解得：$ (y-5)(y-10) = 0 $
解得：$ y_1 = 5 $，$ y_2 = 10 $
因要使顾客得到实惠，需选择涨幅更小的数值，故取$ y=5 $，即每千克应涨价5元。
【答案】
(1) $ 10\% $ (2) 5元/kg
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程的常规实际应用题，解题核心是准确提取等量关系列方程，同时需要结合实际场景对方程的根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
（1）第一问属于平均降低率的一元二次方程应用问题，解题思路为：先设降价率为x，依据“原价×(1-降价率)²=两次调价后售价”的等量关系列方程，求解后结合降价率的实际取值范围（0＜x＜1）舍去不符合题意的根即可。
（2）第二问属于销售利润类的一元二次方程应用问题，解题思路为：先设每千克涨价y元，分别表示出涨价后每千克的利润、涨价后的日销售量，再依据“每千克利润×日销售量=每日总盈利”的等量关系列方程，求解后结合“使顾客得到实惠”的要求，选择涨幅更小的根即可。
【解析】
（1）设该次调价的降价率为$ x $，根据题意列方程：
$ 40(1-x)^2 = 32.4 $
两边同时除以40得：$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方得：$ 1-x = \pm 0.9 $
解得：$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = 1.9 $（降价率不能大于1，不符合实际意义，舍去）
即降价率为10%。
（2）设每千克应涨价$ y $元，根据题意：
涨价后每千克盈利为$ (10+y) $元；
每涨价0.5元日销量减少10kg，则涨价y元时日销量减少$ \frac{y}{0.5} × 10 = 20y $kg，即日销售量为$ (500-20y) $kg；
要保证每天盈利6000元，列方程得：
$ (10+y)(500-20y) = 6000 $
展开整理得：$ y^2 - 15y + 50 = 0 $
因式分解得：$ (y-5)(y-10) = 0 $
解得：$ y_1 = 5 $，$ y_2 = 10 $
因要使顾客得到实惠，需选择涨幅更小的数值，故取$ y=5 $，即每千克应涨价5元。
【答案】
(1) $ 10\% $ (2) 5元/kg
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程的常规实际应用题，解题核心是准确提取等量关系列方程，同时需要结合实际场景对方程的根进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
21. 一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达(1540—1603年)发现，又被称为“韦达定理”，韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数的关系. 请你回答问题：
(1) 已知一元二次方程 $2x^2 + 4x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $p$，$q$，求 $p^2 + q^2$ 的值.
(2) 已知实数 $m$，$n$ 满足 $2m^2 + 4m - 1 = 0$，$2n^2 + 4n - 1 = 0$，且 $m ≠ n$，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值.
(3) 猜想并探究：若一元二次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a ≠ 0)$ 有三个实数根 $x_1$，$x_2$，$x_3$，试写出 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 与方程系数 $a$，$b$，$c$，$d$ 的关系.
(1) 已知一元二次方程 $2x^2 + 4x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $p$，$q$，求 $p^2 + q^2$ 的值.
(2) 已知实数 $m$，$n$ 满足 $2m^2 + 4m - 1 = 0$，$2n^2 + 4n - 1 = 0$，且 $m ≠ n$，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值.
(3) 猜想并探究：若一元二次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0(a ≠ 0)$ 有三个实数根 $x_1$，$x_2$，$x_3$，试写出 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 与方程系数 $a$，$b$，$c$，$d$ 的关系.
答案
21. (1) 5 (2) 4 (3) $x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}$，$x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$
解析
【分析】
(1) 求解$p^2+q^2$不需要直接解出方程的根，先利用韦达定理求出两根之和$p+q$与两根之积$pq$，再将$p^2+q^2$变形为$(p+q)^2-2pq$，代入数值计算即可。
(2) 观察$m$、$n$满足的方程，可知$m$、$n$是一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两个不等实根，先用韦达定理求出$m+n$和$mn$，再将待求式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分变形为$\frac{m+n}{mn}$，代入求值即可。
(3) 类比一元二次方程韦达定理的推导方法，将三次方程因式分解为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$的形式，展开后和原三次方程各项系数对应相等，即可推导得到三次方程的根与系数的关系。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两根为$p$、$q$，由韦达定理得：
$p+q=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$，$pq=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$
则$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=(-2)^2-2×(-\frac{1}{2})=4+1=5$
(2) $\because$实数$m$、$n$满足$2m^2+4m-1=0$，$2n^2+4n-1=0$，且$m≠ n$
$\therefore m$、$n$是一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两个不相等的实数根
由韦达定理得：$m+n=-2$，$mn=-\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4$
(3) $\because$一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个实数根为$x_1$、$x_2$、$x_3$
$\therefore$方程可改写为：$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
展开左侧得：
$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-a x_1x_2x_3$
将其与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比，对应项系数相等，可得：
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$，$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}}$，$\boldsymbol{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}}$，$\boldsymbol{x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}}$
【知识点】
1. 韦达定理 2. 代数式恒等变形 3. 多项式因式分解
【点评】
本题围绕根与系数的关系展开，考查韦达定理的基础应用、代数式变形技巧以及类比推导能力，前两问为常规考点，第三问要求学生掌握从已知到未知的迁移推导方法，整体综合性适中。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$p^2+q^2$不需要直接解出方程的根，先利用韦达定理求出两根之和$p+q$与两根之积$pq$，再将$p^2+q^2$变形为$(p+q)^2-2pq$，代入数值计算即可。
(2) 观察$m$、$n$满足的方程，可知$m$、$n$是一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两个不等实根，先用韦达定理求出$m+n$和$mn$，再将待求式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分变形为$\frac{m+n}{mn}$，代入求值即可。
(3) 类比一元二次方程韦达定理的推导方法，将三次方程因式分解为$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$的形式，展开后和原三次方程各项系数对应相等，即可推导得到三次方程的根与系数的关系。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两根为$p$、$q$，由韦达定理得：
$p+q=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{2}=-2$，$pq=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$
则$p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=(-2)^2-2×(-\frac{1}{2})=4+1=5$
(2) $\because$实数$m$、$n$满足$2m^2+4m-1=0$，$2n^2+4n-1=0$，且$m≠ n$
$\therefore m$、$n$是一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两个不相等的实数根
由韦达定理得：$m+n=-2$，$mn=-\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{-2}{-\frac{1}{2}}=4$
(3) $\because$一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个实数根为$x_1$、$x_2$、$x_3$
$\therefore$方程可改写为：$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
展开左侧得：
$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-a x_1x_2x_3$
将其与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比，对应项系数相等，可得：
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$，$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}}$，$\boldsymbol{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}}$，$\boldsymbol{x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}}$
【知识点】
1. 韦达定理 2. 代数式恒等变形 3. 多项式因式分解
【点评】
本题围绕根与系数的关系展开，考查韦达定理的基础应用、代数式变形技巧以及类比推导能力，前两问为常规考点，第三问要求学生掌握从已知到未知的迁移推导方法，整体综合性适中。
【难度系数】
0.7
