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要知道一个鱼缸里有多少条鱼，只要数一数就可以了。要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办？
答案
解析
【分析】
由于鱼塘中鱼的数量多，无法直接逐一计数，因此可采用抽样估计的思想，借助标记重捕法解决问题：核心逻辑是当标记的鱼和鱼塘原有的鱼充分混合后，标记鱼在鱼塘内均匀分布，任意抽取的样本中标记鱼的占比，近似等于所有标记鱼占鱼塘总鱼数的比例，通过这个比例关系就能推算出鱼塘的总鱼数。
【解析】
可通过标记重捕法估算，具体步骤如下：
1. 从鱼塘中随机捕捞$n$条鱼，给鱼做上不会脱落、不影响鱼正常活动的标记后，全部放回鱼塘；
2. 等待一段时间，让标记的鱼和鱼塘内原有的鱼充分混合均匀；
3. 再次从鱼塘中随机捕捞$m$条鱼，统计本次捕捞的鱼中带有标记的鱼的数量，记为$k$；
4. 设鱼塘中总共有$x$条鱼，根据标记鱼均匀分布的特点，可列比例式：$\frac{n}{x}=\frac{k}{m}$，解得$x=\frac{mn}{k}$，该值就是鱼塘总鱼数的估计值。
若要提升估计的准确性，可多次重复上述实验，取多次计算结果的平均值作为最终估计值。
【答案】
采用标记重捕法估算：先捕捞$n$条鱼做标记后放回鱼塘，待鱼群混合均匀后再次捕捞$m$条鱼，统计其中带标记的鱼有$k$条，设鱼塘总鱼数为$x$，由比例关系$\frac{n}{x}=\frac{k}{m}$可得估计值$x\approx\frac{mn}{k}$，可多次实验取平均值提升估算准确度。
【知识点】
用样本估计总体，概率的实际应用，标记重捕法
【点评】
这是概率知识解决实际问题的典型案例，将难以直接统计的总体数量问题转化为简单的样本比例计算问题，实用性强，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
由于鱼塘中鱼的数量多，无法直接逐一计数，因此可采用抽样估计的思想，借助标记重捕法解决问题：核心逻辑是当标记的鱼和鱼塘原有的鱼充分混合后，标记鱼在鱼塘内均匀分布，任意抽取的样本中标记鱼的占比，近似等于所有标记鱼占鱼塘总鱼数的比例，通过这个比例关系就能推算出鱼塘的总鱼数。
【解析】
可通过标记重捕法估算，具体步骤如下：
1. 从鱼塘中随机捕捞$n$条鱼，给鱼做上不会脱落、不影响鱼正常活动的标记后，全部放回鱼塘；
2. 等待一段时间，让标记的鱼和鱼塘内原有的鱼充分混合均匀；
3. 再次从鱼塘中随机捕捞$m$条鱼，统计本次捕捞的鱼中带有标记的鱼的数量，记为$k$；
4. 设鱼塘中总共有$x$条鱼，根据标记鱼均匀分布的特点，可列比例式：$\frac{n}{x}=\frac{k}{m}$，解得$x=\frac{mn}{k}$，该值就是鱼塘总鱼数的估计值。
若要提升估计的准确性，可多次重复上述实验，取多次计算结果的平均值作为最终估计值。
【答案】
采用标记重捕法估算：先捕捞$n$条鱼做标记后放回鱼塘，待鱼群混合均匀后再次捕捞$m$条鱼，统计其中带标记的鱼有$k$条，设鱼塘总鱼数为$x$，由比例关系$\frac{n}{x}=\frac{k}{m}$可得估计值$x\approx\frac{mn}{k}$，可多次实验取平均值提升估算准确度。
【知识点】
用样本估计总体，概率的实际应用，标记重捕法
【点评】
这是概率知识解决实际问题的典型案例，将难以直接统计的总体数量问题转化为简单的样本比例计算问题，实用性强，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
例 某水果公司以2元/kg的成本价购进了柑橘10 000 kg，如果公司希望出售这些柑橘获利5 000元，那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时，每千克的定价大约为多少元比较合适？
注:下表是销售人员从所有柑橘中随机抽取若干柑橘进行的“柑橘损坏率”的统计数据.
| 柑橘总质量 n/kg | 损坏柑橘质量 m/kg | 柑橘损坏的频率$\frac{m}{n}$ |
| --- | --- | --- |
| 50 | 5.50 | 0.110 |
| 100 | 10.50 | 0.105 |
| 150 | 15.15 | 0.101 |
| 200 | 19.42 | 0.097 |
| 250 | 2
5 | 0.097 |
| 300 | 30.93 | 0.103 |
| 350 | 35.32 | 0.101 |
| 400 | 39.24 | 0.098 |
| 450 | 44.57 | 0.099 |
| 500 | 51.54 | 0.103 |
柑橘在运输中会有些损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中。
注:下表是销售人员从所有柑橘中随机抽取若干柑橘进行的“柑橘损坏率”的统计数据.
| 柑橘总质量 n/kg | 损坏柑橘质量 m/kg | 柑橘损坏的频率$\frac{m}{n}$ |
| --- | --- | --- |
| 50 | 5.50 | 0.110 |
| 100 | 10.50 | 0.105 |
| 150 | 15.15 | 0.101 |
| 200 | 19.42 | 0.097 |
| 250 | 2
5 | 0.097 || 300 | 30.93 | 0.103 |
| 350 | 35.32 | 0.101 |
| 400 | 39.24 | 0.098 |
| 450 | 44.57 | 0.099 |
| 500 | 51.54 | 0.103 |
柑橘在运输中会有些损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中。
答案
从表格中可以看出,柑橘损坏的频率在0.1左右摆动,那么柑橘损坏的概率估计值为0.1,也就是柑橘完好的概率估计值为0.9. 所以根据柑橘完好的概率估计值,我们可以估计,在10 000 kg柑橘中完好的质量大约为10 000×0.9=9 000(kg),完好柑橘的实际成本大约为$\frac{2×10 000}{9 000}=\frac{2}{0.9}≈2.22$(元/kg). 设柑橘的定价为x元/kg,则应有(x-2.22)×9 000=5 000. 解得x≈2.78. 因此出售柑橘时,定价大约为每千克2.78元就可获利5 000元
解析
【分析】
要确定合适的售价，首先需要估算出完好柑橘的总质量，再将全部成本折算到完好柑橘上，最后结合期望利润列方程求解。第一步，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，我们通过表格中损坏频率的波动情况，估计柑橘损坏的概率，进而得到柑橘完好的概率；第二步，利用完好概率估算10000kg柑橘中完好柑橘的总质量；第三步，计算所有柑橘的总成本，分摊到完好柑橘上得到每千克完好柑橘的实际成本；第四步，根据“总利润=每千克利润×完好柑橘质量”列方程求出售价。
【解析】
1. 估计柑橘损坏概率：观察表格数据，随着抽取柑橘总质量增加，损坏的频率在0.1附近摆动，因此估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为$1-0.1=0.9$。
2. 计算完好柑橘总质量：10000kg柑橘中，完好的质量约为$10000×0.9=9000\,\mathrm{kg}$。
3. 计算完好柑橘的单位成本：购进10000kg柑橘的总成本为$2×10000=20000$元，折算到完好柑橘上，每千克的实际成本约为$\frac{20000}{9000}\approx2.22\,\mathrm{元/kg}$。
4. 列方程求定价：设每千克柑橘定价为$x$元，根据总利润为5000元可得：
$(x-2.22)×9000=5000$
解得：$x\approx2.78$
【答案】
出售柑橘时每千克定价大约为2.78元比较合适。
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用、利润问题计算
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查了统计与代数知识的综合应用，核心是理解频率与概率的关系，学会将隐性成本（损坏柑橘的成本）分摊到可售商品中，再结合利润公式求解，体现了数学在实际经营决策中的实用价值。
【难度系数】
0.65
要确定合适的售价，首先需要估算出完好柑橘的总质量，再将全部成本折算到完好柑橘上，最后结合期望利润列方程求解。第一步，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，我们通过表格中损坏频率的波动情况，估计柑橘损坏的概率，进而得到柑橘完好的概率；第二步，利用完好概率估算10000kg柑橘中完好柑橘的总质量；第三步，计算所有柑橘的总成本，分摊到完好柑橘上得到每千克完好柑橘的实际成本；第四步，根据“总利润=每千克利润×完好柑橘质量”列方程求出售价。
【解析】
1. 估计柑橘损坏概率：观察表格数据，随着抽取柑橘总质量增加，损坏的频率在0.1附近摆动，因此估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为$1-0.1=0.9$。
2. 计算完好柑橘总质量：10000kg柑橘中，完好的质量约为$10000×0.9=9000\,\mathrm{kg}$。
3. 计算完好柑橘的单位成本：购进10000kg柑橘的总成本为$2×10000=20000$元，折算到完好柑橘上，每千克的实际成本约为$\frac{20000}{9000}\approx2.22\,\mathrm{元/kg}$。
4. 列方程求定价：设每千克柑橘定价为$x$元，根据总利润为5000元可得：
$(x-2.22)×9000=5000$
解得：$x\approx2.78$
【答案】
出售柑橘时每千克定价大约为2.78元比较合适。
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用、利润问题计算
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查了统计与代数知识的综合应用，核心是理解频率与概率的关系，学会将隐性成本（损坏柑橘的成本）分摊到可售商品中，再结合利润公式求解，体现了数学在实际经营决策中的实用价值。
【难度系数】
0.65
1. 盒中有黄色乒乓球8个和白色乒乓球若干个.通过大量试验,得到摸出白球的概率为0.6,估计盒中白色乒乓球有
12
个.答案
1. 12
解析
【分析】
首先，大量重复试验中，事件发生的频率可以近似等于该事件发生的概率，因此本题中摸出白球的概率为0.6是确定的。接下来我们可以通过设未知数，结合概率的计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，找到等量关系列方程求解白球的数量。
【解析】
设盒中白色乒乓球有$ x $个，则盒中乒乓球的总数量为$ (8+x) $个。
根据概率公式，摸出白球的概率为白球数量除以总球数，可列方程：
$\frac{x}{8+x}=0.6$
解方程：
两边同乘$ 8+x $得：$ x=0.6(8+x) $
展开得：$ x=4.8+0.6x $
移项得：$ x-0.6x=4.8 $
合并同类项得：$ 0.4x=4.8 $
解得：$ x=12 $
检验：当$ x=12 $时，$ 8+x=20≠0 $，所以$ x=12 $是原方程的解，符合题意。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题属于概率应用的基础题，解题关键是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.8
首先，大量重复试验中，事件发生的频率可以近似等于该事件发生的概率，因此本题中摸出白球的概率为0.6是确定的。接下来我们可以通过设未知数，结合概率的计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，找到等量关系列方程求解白球的数量。
【解析】
设盒中白色乒乓球有$ x $个，则盒中乒乓球的总数量为$ (8+x) $个。
根据概率公式，摸出白球的概率为白球数量除以总球数，可列方程：
$\frac{x}{8+x}=0.6$
解方程：
两边同乘$ 8+x $得：$ x=0.6(8+x) $
展开得：$ x=4.8+0.6x $
移项得：$ x-0.6x=4.8 $
合并同类项得：$ 0.4x=4.8 $
解得：$ x=12 $
检验：当$ x=12 $时，$ 8+x=20≠0 $，所以$ x=12 $是原方程的解，符合题意。
【答案】
12
【知识点】
频率估计概率；概率公式
【点评】
本题属于概率应用的基础题，解题关键是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.8
2. 某城镇有10万人，随机调查2500人，发现每天买某期刊的有200人，在这个城镇随机问1个人，此人这一天买该期刊的概率是
$\frac{2}{25}$
，这种期刊在该城镇每天的发行量大约是800
份。答案
2. $\frac{2}{25}$,800
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：第一步，当样本容量足够大时，样本的频率可以近似估计总体的概率，所以先计算调查的2500人中购买期刊的频率，即可得到随机一人购买该期刊的概率；第二步，用城镇总人数乘所求的概率，就能估算出该期刊每天的大致发行量。
【解析】
1. 求随机1人购买该期刊的概率：
根据用频率估计概率的原理，大样本下的频率可近似为概率。调查的2500人中，有200人购买该期刊，因此购买频率为$\frac{200}{2500}=\frac{2}{25}$，即随机问1人，这一天买该期刊的概率约为$\frac{2}{25}$。
2. 估算期刊每天的发行量：
城镇总人数为10000人，假设每人最多购买1份期刊，则发行量约等于购买期刊的总人数，即$10000×\frac{2}{25}=800$份。
【答案】
$\frac{2}{25}$；800
【知识点】
用频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
这道题是概率在生活中的基础应用题，核心是理解大样本下频率可近似代替概率的原理，再结合总数计算对应需求的数量，解题时注意分数化简和计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
这道题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：第一步，当样本容量足够大时，样本的频率可以近似估计总体的概率，所以先计算调查的2500人中购买期刊的频率，即可得到随机一人购买该期刊的概率；第二步，用城镇总人数乘所求的概率，就能估算出该期刊每天的大致发行量。
【解析】
1. 求随机1人购买该期刊的概率：
根据用频率估计概率的原理，大样本下的频率可近似为概率。调查的2500人中，有200人购买该期刊，因此购买频率为$\frac{200}{2500}=\frac{2}{25}$，即随机问1人，这一天买该期刊的概率约为$\frac{2}{25}$。
2. 估算期刊每天的发行量：
城镇总人数为10000人，假设每人最多购买1份期刊，则发行量约等于购买期刊的总人数，即$10000×\frac{2}{25}=800$份。
【答案】
$\frac{2}{25}$；800
【知识点】
用频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
这道题是概率在生活中的基础应用题，核心是理解大样本下频率可近似代替概率的原理，再结合总数计算对应需求的数量，解题时注意分数化简和计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会
稳定于概率值附近
答案
3. 稳定于概率值附近
解析
【分析】
解题时需结合频率的性质及频率和概率的关系思考：首先要明确，少量重复试验中事件发生的频率是随机的，存在明显波动；但当试验次数不断增多时，频率的波动幅度会逐渐减小，最终会围绕事件本身固定的概率值小幅变动，呈现出稳定性，这是用频率估计概率的核心依据，由此即可推导得出结论。
【解析】
根据频率的稳定性规律可知：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐减小波动幅度，最终稳定在该事件发生的概率值附近，且试验次数越多，频率和概率的偏差通常越小。
【答案】
稳定于概率值附近
【知识点】
1. 频率的稳定性 2. 频率与概率的关系
【点评】
本题考查概率统计的基础概念，是频率估计概率相关知识点的基础考点，熟悉频率的变化规律即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时需结合频率的性质及频率和概率的关系思考：首先要明确，少量重复试验中事件发生的频率是随机的，存在明显波动；但当试验次数不断增多时，频率的波动幅度会逐渐减小，最终会围绕事件本身固定的概率值小幅变动，呈现出稳定性，这是用频率估计概率的核心依据，由此即可推导得出结论。
【解析】
根据频率的稳定性规律可知：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐减小波动幅度，最终稳定在该事件发生的概率值附近，且试验次数越多，频率和概率的偏差通常越小。
【答案】
稳定于概率值附近
【知识点】
1. 频率的稳定性 2. 频率与概率的关系
【点评】
本题考查概率统计的基础概念，是频率估计概率相关知识点的基础考点，熟悉频率的变化规律即可正确作答。
【难度系数】
0.9
4. 一个袋中有若干个白球，为估计白球个数，小何向袋中放入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出1个球，记下颜色，再把它放入袋中。不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，估计袋中白球有(
A.18个
B.28个
C.36个
D.42个
B
)。A.18个
B.28个
C.36个
D.42个
答案
4. B
解析
【分析】
这是一道利用频率估计概率解决实际估算的问题。解题思路如下：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此摸到黑球的频率近似等于黑球在总球数中占的概率；其次，设白球个数为未知数，总球数为白球数加放入的黑球数，根据“黑球概率=黑球个数÷总球数”的等量关系列方程，最后求解取近似整数值即可。
【解析】
设袋中大约有白球$ x $个，则袋中球的总个数为$ (x+8) $个。
根据大量重复试验中频率近似等于概率，可得：
$\frac{8}{x+8} \approx \frac{88}{400}$
交叉相乘得：$88(x+8) = 8×400$
计算得：$88x + 704 = 3200$
移项化简得：$88x = 2496$
解得：$x \approx 28$
因此估计袋中白球有28个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算、分式方程应用
【点评】
本题结合实际估算场景考查概率的应用，解题关键是掌握频率与概率的关系，找到正确的等量关系列方程求解，这类题是概率知识在生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
这是一道利用频率估计概率解决实际估算的问题。解题思路如下：首先，大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此摸到黑球的频率近似等于黑球在总球数中占的概率；其次，设白球个数为未知数，总球数为白球数加放入的黑球数，根据“黑球概率=黑球个数÷总球数”的等量关系列方程，最后求解取近似整数值即可。
【解析】
设袋中大约有白球$ x $个，则袋中球的总个数为$ (x+8) $个。
根据大量重复试验中频率近似等于概率，可得：
$\frac{8}{x+8} \approx \frac{88}{400}$
交叉相乘得：$88(x+8) = 8×400$
计算得：$88x + 704 = 3200$
移项化简得：$88x = 2496$
解得：$x \approx 28$
因此估计袋中白球有28个。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算、分式方程应用
【点评】
本题结合实际估算场景考查概率的应用，解题关键是掌握频率与概率的关系，找到正确的等量关系列方程求解，这类题是概率知识在生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
