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5. 一个袋中装有红、黄、绿三种颜色的球若干个，这些球除颜色外均相同.现从中任意摸出1个球，得到红球的概率为$\frac{1}{3}$，得到黄球的概率为$\frac{1}{2}$.已知绿球有3个，袋中原有红球、黄球各多少个？
答案
5. 红球有6个，黄球有9个
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，因为从袋中摸出1个球只可能是红、黄、绿三种颜色，所以三种球的摸到概率之和为1，据此可先算出摸到绿球的概率；第二步，根据概率公式“某事件概率=对应数量÷总数量”，已知绿球个数和摸到绿球的概率，就能求出袋中球的总数量；第三步，用总数量分别乘摸到红球、黄球的概率，即可得到两种球的具体个数。
【解析】
解：先计算摸到绿球的概率：
$\because$ 摸出红球、黄球、绿球的概率之和为1
$\therefore P(\mathrm{摸出绿球})=1-P(\mathrm{摸出红球})-P(\mathrm{摸出黄球})=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
设袋中球的总个数为$x$，根据概率公式列方程：
$\frac{3}{x}=\frac{1}{6}$
解得$x=18$
则红球个数：$18×\frac{1}{3}=6$（个）
黄球个数：$18×\frac{1}{2}=9$（个）
【答案】
红球有6个，黄球有9个
【知识点】
概率的基本性质；概率公式
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题关键是熟练掌握概率的基本性质和概率计算公式，通过绿球的数量和对应概率作为突破口求出总球数，进而完成求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思考：第一步，因为从袋中摸出1个球只可能是红、黄、绿三种颜色，所以三种球的摸到概率之和为1，据此可先算出摸到绿球的概率；第二步，根据概率公式“某事件概率=对应数量÷总数量”，已知绿球个数和摸到绿球的概率，就能求出袋中球的总数量；第三步，用总数量分别乘摸到红球、黄球的概率，即可得到两种球的具体个数。
【解析】
解：先计算摸到绿球的概率：
$\because$ 摸出红球、黄球、绿球的概率之和为1
$\therefore P(\mathrm{摸出绿球})=1-P(\mathrm{摸出红球})-P(\mathrm{摸出黄球})=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
设袋中球的总个数为$x$，根据概率公式列方程：
$\frac{3}{x}=\frac{1}{6}$
解得$x=18$
则红球个数：$18×\frac{1}{3}=6$（个）
黄球个数：$18×\frac{1}{2}=9$（个）
【答案】
红球有6个，黄球有9个
【知识点】
概率的基本性质；概率公式
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题关键是熟练掌握概率的基本性质和概率计算公式，通过绿球的数量和对应概率作为突破口求出总球数，进而完成求解。
【难度系数】
0.8
6. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
（1）计算表中对应的“射中9环以上的频率”（精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时射中9环以上的概率（精确到0.1）；
（3）在一次训练中这名运动员射击了150次，估计他射中9环以上的次数。
（1）计算表中对应的“射中9环以上的频率”（精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时射中9环以上的概率（精确到0.1）；
（3）在一次训练中这名运动员射击了150次，估计他射中9环以上的次数。
答案
6. (1) 0.75, 0.83, 0.78, 0.79, 0.80, 0.80
(2) 0.8
(3) 120次
(2) 0.8
(3) 120次
解析
【分析】
（1）计算射中9环以上的频率需依据频率的定义：频率=频数÷总试验次数，用每组射中9环以上的次数除以对应射击总次数，结果按要求精确到0.01即可。
（2）根据频率稳定性原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会在某个固定常数附近波动，该常数就是事件发生的概率，观察计算得到的频率，找到稳定的数值即为估计的概率。
（3）求估计射中9环以上的次数，用射击总次数乘以上一步估计得到的概率即可得到结果。
【解析】
（1）分别计算每组对应频率：
①射击20次时：$15÷20=0.75$
②射击40次时：$33÷40=0.825\approx0.83$
③射击100次时：$78÷100=0.78$
④射击200次时：$158÷200=0.79$
⑤射击400次时：$321÷400=0.8025\approx0.80$
⑥射击1000次时：$801÷1000=0.801\approx0.80$
（2）观察上述计算结果，随着射击次数不断增加，射中9环以上的频率逐渐稳定在0.8附近，因此估计这名运动员射击一次时射中9环以上的概率为0.8。
（3）根据概率的实际应用，总射击次数×概率=估计符合条件的次数，代入数据得：$150×0.8=120$（次）。
【答案】
(1) 0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80
(2) 0.8
(3) 120次
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题重点考查频率与概率的关联，解题关键是掌握频率的计算方法，理解大量重复试验下频率稳定值即为概率的原理，属于基础类题型，熟练掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
（1）计算射中9环以上的频率需依据频率的定义：频率=频数÷总试验次数，用每组射中9环以上的次数除以对应射击总次数，结果按要求精确到0.01即可。
（2）根据频率稳定性原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会在某个固定常数附近波动，该常数就是事件发生的概率，观察计算得到的频率，找到稳定的数值即为估计的概率。
（3）求估计射中9环以上的次数，用射击总次数乘以上一步估计得到的概率即可得到结果。
【解析】
（1）分别计算每组对应频率：
①射击20次时：$15÷20=0.75$
②射击40次时：$33÷40=0.825\approx0.83$
③射击100次时：$78÷100=0.78$
④射击200次时：$158÷200=0.79$
⑤射击400次时：$321÷400=0.8025\approx0.80$
⑥射击1000次时：$801÷1000=0.801\approx0.80$
（2）观察上述计算结果，随着射击次数不断增加，射中9环以上的频率逐渐稳定在0.8附近，因此估计这名运动员射击一次时射中9环以上的概率为0.8。
（3）根据概率的实际应用，总射击次数×概率=估计符合条件的次数，代入数据得：$150×0.8=120$（次）。
【答案】
(1) 0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80
(2) 0.8
(3) 120次
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的应用
【点评】
本题重点考查频率与概率的关联，解题关键是掌握频率的计算方法，理解大量重复试验下频率稳定值即为概率的原理，属于基础类题型，熟练掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7. 有一袋绿豆和一袋红豆,请设计一个方案估计袋中绿豆、红豆的数量.
答案
7. 提示：可数出50颗红豆、50颗绿豆，分别混合到装有绿豆、红豆的袋中，利用多次试验的频率估计概率的方法设计方案
解析
【分析】
这道题是概率在实际估算问题中的应用，解题的核心依据是“当大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，即可用频率近似代替概率”，结合样本估计总体的思路设计方案。思考时注意：若直接逐颗计数整袋豆子工作量大，我们可以向待估算的豆子袋中加入已知数量的另一种颜色的豆子，充分混匀后多次随机抽样，统计加入的豆子出现的频率，再利用概率对应的比例关系即可推算出原袋中豆子的数量。
【解析】
具体方案步骤如下：
估计绿豆数量的操作：
1. 数出50颗红豆，全部放入装有绿豆的袋子中，充分搅拌袋内豆子，保证每颗豆子被随机抽取的概率相等；
2. 从袋中随机取出一部分豆子，统计取出的豆子中红豆的数量和总豆子数，计算红豆的频率，重复该抽样操作10~20次，计算多次试验得到的红豆频率的平均值，作为袋中红豆所占概率的估计值；
3. 设原袋中绿豆的数量为$ x $颗，根据概率公式可得关系：$\frac{50}{x+50}\approx\mathrm{红豆的平均频率}$，解出$ x $的数值，即为原袋中绿豆数量的估计值。
估计红豆数量的操作：
与上述步骤同理，数出50颗绿豆放入装有红豆的袋子中，摇匀后多次抽样统计绿豆的频率，设原袋中红豆数量为$ y $，根据$\frac{50}{y+50}\approx\mathrm{绿豆的平均频率}$解出$ y $，即为原袋中红豆数量的估计值。
【答案】
可数出50颗红豆、50颗绿豆，分别混合到装有绿豆、红豆的袋中，利用多次试验的频率估计概率的方法设计方案
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 样本估计总体
【点评】
本题结合生活场景出题，考查概率知识的实际应用能力，需要大家熟练掌握频率与概率的关联，能灵活运用概率方法解决实际估算问题。
【难度系数】
0.7
这道题是概率在实际估算问题中的应用，解题的核心依据是“当大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，即可用频率近似代替概率”，结合样本估计总体的思路设计方案。思考时注意：若直接逐颗计数整袋豆子工作量大，我们可以向待估算的豆子袋中加入已知数量的另一种颜色的豆子，充分混匀后多次随机抽样，统计加入的豆子出现的频率，再利用概率对应的比例关系即可推算出原袋中豆子的数量。
【解析】
具体方案步骤如下：
估计绿豆数量的操作：
1. 数出50颗红豆，全部放入装有绿豆的袋子中，充分搅拌袋内豆子，保证每颗豆子被随机抽取的概率相等；
2. 从袋中随机取出一部分豆子，统计取出的豆子中红豆的数量和总豆子数，计算红豆的频率，重复该抽样操作10~20次，计算多次试验得到的红豆频率的平均值，作为袋中红豆所占概率的估计值；
3. 设原袋中绿豆的数量为$ x $颗，根据概率公式可得关系：$\frac{50}{x+50}\approx\mathrm{红豆的平均频率}$，解出$ x $的数值，即为原袋中绿豆数量的估计值。
估计红豆数量的操作：
与上述步骤同理，数出50颗绿豆放入装有红豆的袋子中，摇匀后多次抽样统计绿豆的频率，设原袋中红豆数量为$ y $，根据$\frac{50}{y+50}\approx\mathrm{绿豆的平均频率}$解出$ y $，即为原袋中红豆数量的估计值。
【答案】
可数出50颗红豆、50颗绿豆，分别混合到装有绿豆、红豆的袋中，利用多次试验的频率估计概率的方法设计方案
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 样本估计总体
【点评】
本题结合生活场景出题，考查概率知识的实际应用能力，需要大家熟练掌握频率与概率的关联，能灵活运用概率方法解决实际估算问题。
【难度系数】
0.7
