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例1 一个不透明的袋中有5个白球、k个红球，经过反复多次试验，从中任取1个恰为红球的频率约为66.7%，k最可能的值为（
A.10
B.16
C.18
D.20
A
）.A.10
B.16
C.18
D.20
答案
解 $\frac{k}{k+5}\approx66.7\%,k\approx10$,选择 A.
解析
【分析】
这道题是利用频率估计概率的典型题型，解题思路如下：第一步，明确反复多次试验后，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此任取1个是红球的概率约等于66.7%；第二步，回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中任取红球的概率就是红球个数除以袋中球的总个数；第三步，代入已知量列方程，求解k的值即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵反复多次试验后，任取1个恰为红球的频率约为66.7%，
∴任取1个是红球的概率$P\approx66.7\%\approx\frac{2}{3}$。
袋中球的总个数为$(k+5)$个，红球有$k$个，根据概率公式可得：
$\frac{k}{k+5} \approx \frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3k \approx 2(k+5)$
展开得：$3k \approx 2k + 10$
移项解得：$k \approx 10$
因此k最可能的值为10。
【答案】A
【知识点】
频率估计概率；简单事件概率计算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，当试验次数足够多时，频率可近似代替概率，再结合概率公式列等式计算即可，计算时把66.7%近似为$\frac{2}{3}$能简化运算。
【难度系数】
0.7
这道题是利用频率估计概率的典型题型，解题思路如下：第一步，明确反复多次试验后，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此任取1个是红球的概率约等于66.7%；第二步，回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷总情况数，本题中任取红球的概率就是红球个数除以袋中球的总个数；第三步，代入已知量列方程，求解k的值即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵反复多次试验后，任取1个恰为红球的频率约为66.7%，
∴任取1个是红球的概率$P\approx66.7\%\approx\frac{2}{3}$。
袋中球的总个数为$(k+5)$个，红球有$k$个，根据概率公式可得：
$\frac{k}{k+5} \approx \frac{2}{3}$
交叉相乘得：$3k \approx 2(k+5)$
展开得：$3k \approx 2k + 10$
移项解得：$k \approx 10$
因此k最可能的值为10。
【答案】A
【知识点】
频率估计概率；简单事件概率计算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解频率与概率的关系，当试验次数足够多时，频率可近似代替概率，再结合概率公式列等式计算即可，计算时把66.7%近似为$\frac{2}{3}$能简化运算。
【难度系数】
0.7
例2 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数.
（1）请写出所有可能得到的三位数.
（2）甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲获胜；否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？试说明理由.
（1）请写出所有可能得到的三位数.
（2）甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲获胜；否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗？试说明理由.
答案
（1）所有得到的三位数有 24 个,分别为:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432 （2）这个游戏不公平.理由如下:组成的三位数中是“伞数”的有:132,142,143,231,241,243,341,342,共有 8 个,所以,甲胜的概率为$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$,而乙胜的概率为$\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$,这个游戏不公平
解析
【分析】
（1）要写出所有无重复数字的三位数，可按百位数字分类枚举：百位分别取1、2、3、4，再对剩余3个数字排列组成十位和个位，按顺序列举可避免重复或遗漏。
（2）判断游戏是否公平，需先根据“伞数”的定义筛选出所有符合条件的伞数，再分别计算甲、乙获胜的概率，若两人获胜概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）按百位数字分类列举：
当百位为1时，组成的三位数有：123，124，132，134，142，143；
当百位为2时，组成的三位数有：213，214，231，234，241，243；
当百位为3时，组成的三位数有：312，314，321，324，341，342；
当百位为4时，组成的三位数有：412，413，421，423，431，432；
共24个三位数。
（2）根据“伞数”的定义（十位数字比个位、百位数字都大），从上述24个三位数中筛选出伞数：132，142，143，231，241，243，341，342，共8个。
总共有24种等可能的结果，甲获胜的情况有8种，乙获胜的情况有24-8=16种，
所以甲获胜的概率$P(甲)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，
乙获胜的概率$P(乙)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，所以这个游戏不公平。
【答案】
（1）所有可能得到的三位数有24个，分别为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432；
（2）这个游戏不公平，理由：甲胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙胜的概率为$\frac{2}{3}$，二者概率不相等，因此游戏不公平。
【知识点】
枚举法、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合新定义考查了排列枚举和概率的实际应用，解题核心是按规律枚举所有情况，做到不重不漏，再通过比较双方获胜的概率判断游戏公平性，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
（1）要写出所有无重复数字的三位数，可按百位数字分类枚举：百位分别取1、2、3、4，再对剩余3个数字排列组成十位和个位，按顺序列举可避免重复或遗漏。
（2）判断游戏是否公平，需先根据“伞数”的定义筛选出所有符合条件的伞数，再分别计算甲、乙获胜的概率，若两人获胜概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）按百位数字分类列举：
当百位为1时，组成的三位数有：123，124，132，134，142，143；
当百位为2时，组成的三位数有：213，214，231，234，241，243；
当百位为3时，组成的三位数有：312，314，321，324，341，342；
当百位为4时，组成的三位数有：412，413，421，423，431，432；
共24个三位数。
（2）根据“伞数”的定义（十位数字比个位、百位数字都大），从上述24个三位数中筛选出伞数：132，142，143，231，241，243，341，342，共8个。
总共有24种等可能的结果，甲获胜的情况有8种，乙获胜的情况有24-8=16种，
所以甲获胜的概率$P(甲)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，
乙获胜的概率$P(乙)=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，所以这个游戏不公平。
【答案】
（1）所有可能得到的三位数有24个，分别为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432；
（2）这个游戏不公平，理由：甲胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙胜的概率为$\frac{2}{3}$，二者概率不相等，因此游戏不公平。
【知识点】
枚举法、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合新定义考查了排列枚举和概率的实际应用，解题核心是按规律枚举所有情况，做到不重不漏，再通过比较双方获胜的概率判断游戏公平性，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 从一个有22名男生和20名女生的班级中任意选出1人，则$P$(选出的是男生)=
$\frac{11}{21}$
，$P$(选出的是女生)=$\frac{10}{21}$
；答案
(1) $P$(选出的是男生)=$\frac{11}{21}$，$P$(选出的是女生)=$\frac{10}{21}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先计算班级总人数，也就是选1人的所有可能情况总数；再根据等可能事件的概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，分别用男生人数、女生人数除以总人数，最后将结果约分为最简分数即可。也可在算出男生概率后，利用“选出男生和选出女生是对立事件，二者概率和为1”计算女生的概率。
【解析】
解：先计算班级总人数：
总人数 = 男生人数 + 女生人数 = $22 + 20 = 42$（人）
从班级中任选1人，每名同学被选中的可能性相等：
1. 计算选出男生的概率：
$P$(选出的是男生) = 男生人数÷总人数 = $\frac{22}{42} = \frac{11}{21}$
2. 计算选出女生的概率：
方法一：直接用女生人数计算
$P$(选出的是女生) = 女生人数÷总人数 = $\frac{20}{42} = \frac{10}{21}$
方法二：利用对立事件概率关系计算
$P$(选出的是女生) = $1 - P$(选出的是男生) = $1-\frac{11}{21}=\frac{10}{21}$
【答案】
$\frac{11}{21}$；$\frac{10}{21}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分数约分
3. 对立事件概率性质
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对等可能事件概率计算公式的掌握，计算时注意先求出总情况数，最终结果需化为最简分数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先计算班级总人数，也就是选1人的所有可能情况总数；再根据等可能事件的概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，分别用男生人数、女生人数除以总人数，最后将结果约分为最简分数即可。也可在算出男生概率后，利用“选出男生和选出女生是对立事件，二者概率和为1”计算女生的概率。
【解析】
解：先计算班级总人数：
总人数 = 男生人数 + 女生人数 = $22 + 20 = 42$（人）
从班级中任选1人，每名同学被选中的可能性相等：
1. 计算选出男生的概率：
$P$(选出的是男生) = 男生人数÷总人数 = $\frac{22}{42} = \frac{11}{21}$
2. 计算选出女生的概率：
方法一：直接用女生人数计算
$P$(选出的是女生) = 女生人数÷总人数 = $\frac{20}{42} = \frac{10}{21}$
方法二：利用对立事件概率关系计算
$P$(选出的是女生) = $1 - P$(选出的是男生) = $1-\frac{11}{21}=\frac{10}{21}$
【答案】
$\frac{11}{21}$；$\frac{10}{21}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分数约分
3. 对立事件概率性质
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对等可能事件概率计算公式的掌握，计算时注意先求出总情况数，最终结果需化为最简分数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
(2) 在一个不透明的摇奖箱内装有 10 个形状、大小、质地等完全相同的小球，其中只有 3 个小球标有中奖标志，随机抽取 1 个小球，中奖的概率是
$\frac{3}{10}$
；答案
中奖的概率是$\frac{3}{10}$
解析
【分析】
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题时首先判断事件类型：所有小球抽取的可能性相等，属于古典概型；接下来分别确定抽取1个小球的所有等可能结果总数，以及抽到中奖小球的符合条件的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 摇奖箱内10个小球的形状、大小、质地完全相同，
∴ 随机抽取1个小球时，每个小球被抽到的可能性相等，所有等可能的结果共有10种，
其中抽到标有中奖标志的小球的结果有3种，
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得中奖的概率$P=\frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题，考查对简单随机事件概率计算方法的掌握，解题关键是准确找出总情况数和符合中奖要求的情况数，容易得分。
【难度系数】
0.9
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题时首先判断事件类型：所有小球抽取的可能性相等，属于古典概型；接下来分别确定抽取1个小球的所有等可能结果总数，以及抽到中奖小球的符合条件的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 摇奖箱内10个小球的形状、大小、质地完全相同，
∴ 随机抽取1个小球时，每个小球被抽到的可能性相等，所有等可能的结果共有10种，
其中抽到标有中奖标志的小球的结果有3种，
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得中奖的概率$P=\frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题，考查对简单随机事件概率计算方法的掌握，解题关键是准确找出总情况数和符合中奖要求的情况数，容易得分。
【难度系数】
0.9
（3）某十字路口的交通信号灯的红灯每分钟亮30 s，绿灯亮25 s，黄灯亮5 s，当你抬头看信号灯时，恰好是黄灯的概率是
$\frac{1}{12}$
。答案
恰好是黄灯的概率是$\frac{1}{12}$
解析
【分析】
这是一道生活场景下的概率计算题，属于等可能事件范畴。解题思路如下：首先明确交通信号灯的亮灯是按固定周期循环的，我们先求出一个完整亮灯周期的总时长；再确定“抬头看到黄灯”这一事件对应的时长；由于任意时刻抬头看信号灯的可能性相等，根据概率的计算方法，用黄灯亮的时长除以总周期时长，就能得到恰好看到黄灯的概率。
【解析】
解：首先计算交通信号灯一个完整亮灯周期的总时长：
$30 + 25 + 5 = 60\ \mathrm{s}$
已知黄灯亮的时长为$5\ \mathrm{s}$，且任意时刻抬头看信号灯是等可能事件，因此恰好看到黄灯的概率为：
$P(\mathrm{看到黄灯}) = \frac{\mathrm{黄灯亮的时长}}{\mathrm{总亮灯周期时长}} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 概率的实际应用
【点评】
本题结合生活常见的交通信号灯场景考查概率的基础计算，解题的关键是找准总时间和符合条件的事件对应的时间，代入概率公式计算即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
这是一道生活场景下的概率计算题，属于等可能事件范畴。解题思路如下：首先明确交通信号灯的亮灯是按固定周期循环的，我们先求出一个完整亮灯周期的总时长；再确定“抬头看到黄灯”这一事件对应的时长；由于任意时刻抬头看信号灯的可能性相等，根据概率的计算方法，用黄灯亮的时长除以总周期时长，就能得到恰好看到黄灯的概率。
【解析】
解：首先计算交通信号灯一个完整亮灯周期的总时长：
$30 + 25 + 5 = 60\ \mathrm{s}$
已知黄灯亮的时长为$5\ \mathrm{s}$，且任意时刻抬头看信号灯是等可能事件，因此恰好看到黄灯的概率为：
$P(\mathrm{看到黄灯}) = \frac{\mathrm{黄灯亮的时长}}{\mathrm{总亮灯周期时长}} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 概率的实际应用
【点评】
本题结合生活常见的交通信号灯场景考查概率的基础计算，解题的关键是找准总时间和符合条件的事件对应的时间，代入概率公式计算即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
（1）有1个质地均匀的正方体，6个面上分别标有1~6这6个数，抛掷这个正方体1次，出现朝上一面的数字是奇数的概率是（$\quad$）。
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
（2）抛掷（1）中的正方体2次，出现朝上一面的数字都是奇数的概率是（$\quad$）。
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
（2）抛掷（1）中的正方体2次，出现朝上一面的数字都是奇数的概率是（$\quad$）。
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
答案
(1) C (2) D
解析
【分析】
第（1）题：抛掷质地均匀的正方体时，每个面朝上的可能性相等，属于等可能事件概率计算问题。解题时先找出1~6中所有奇数的个数，再利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
第（2）题：抛掷两次正方体的结果相互独立，既可以先算出单次出现奇数的概率，再用乘法计算两次均为奇数的概率，也可以通过列举法（列表或画树状图）找出两次抛掷的总结果数和两次都是奇数的结果数，再代入概率公式计算。
【解析】
（1）抛掷正方体1次，朝上一面的数字共有1、2、3、4、5、6共6种等可能的结果，其中数字为奇数的结果有1、3、5，共3种。
根据概率公式可得，出现朝上一面的数字是奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，故本题选C。
（2）抛掷该正方体2次，每次的结果互不影响：
方法1：每次出现朝上数字为奇数的概率均为$\frac{1}{2}$，因此两次都是奇数的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
方法2：两次抛掷共有$6×6=36$种等可能的结果，其中两次朝上数字都是奇数的结果有$3×3=9$种，代入概率公式得概率为$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$，故本题选D。
【答案】
（1）C；（2）D
【知识点】
概率公式应用、分步事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查等可能事件的概率计算逻辑，解题的关键是准确统计总结果数和符合条件的结果数，分步概率问题也可通过乘法原理快速得出结果，掌握基础公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
第（1）题：抛掷质地均匀的正方体时，每个面朝上的可能性相等，属于等可能事件概率计算问题。解题时先找出1~6中所有奇数的个数，再利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
第（2）题：抛掷两次正方体的结果相互独立，既可以先算出单次出现奇数的概率，再用乘法计算两次均为奇数的概率，也可以通过列举法（列表或画树状图）找出两次抛掷的总结果数和两次都是奇数的结果数，再代入概率公式计算。
【解析】
（1）抛掷正方体1次，朝上一面的数字共有1、2、3、4、5、6共6种等可能的结果，其中数字为奇数的结果有1、3、5，共3种。
根据概率公式可得，出现朝上一面的数字是奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，故本题选C。
（2）抛掷该正方体2次，每次的结果互不影响：
方法1：每次出现朝上数字为奇数的概率均为$\frac{1}{2}$，因此两次都是奇数的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
方法2：两次抛掷共有$6×6=36$种等可能的结果，其中两次朝上数字都是奇数的结果有$3×3=9$种，代入概率公式得概率为$\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$，故本题选D。
【答案】
（1）C；（2）D
【知识点】
概率公式应用、分步事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查等可能事件的概率计算逻辑，解题的关键是准确统计总结果数和符合条件的结果数，分步概率问题也可通过乘法原理快速得出结果，掌握基础公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
