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5. 小兰和小颖用如图所示的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转）.这个游戏对双方公平吗？为什么？
答案
5. 这个游戏对双方公平.$\because$ P(和小于 4)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(和不小于 4)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,$\therefore$ 这个游戏对双方公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较小兰和小颖获胜的概率是否相等。首先明确两个转盘各自的等可能结果，再枚举转动两个转盘一次的所有组合，统计出数字和小于4、不小于4的情况数，根据概率公式计算二者获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
转动A盘有1、2共2种等可能结果，转动B盘有1、2、3共3种等可能结果，转动两个转盘各一次，总共有$2×3=6$种等可能结果，分别计算两数之和：
1. A为1、B为1，和为$1+1=2$，小于4；
2. A为1、B为2，和为$1+2=3$，小于4；
3. A为1、B为3，和为$1+3=4$，不小于4；
4. A为2、B为1，和为$2+1=3$，小于4；
5. A为2、B为2，和为$2+2=4$，不小于4；
6. A为2、B为3，和为$2+3=5$，不小于4。
其中和小于4的情况有3种，和不小于4的情况也有3种。
根据概率公式得：
$P(\mathrm{和小于4})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{和不小于4})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
二者获胜概率相等，因此游戏公平。
【答案】
这个游戏对双方公平.$\because$ P(和小于 4)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(和不小于 4)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,$\therefore$ 这个游戏对双方公平
【知识点】
概率计算，游戏公平性判定，列举法求概率
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题关键是准确列举所有等可能的事件结果，通过比较双方获胜的概率判断游戏公平性，是概率板块的常见考题。
【难度系数】
0.7
要判断游戏是否公平，核心是比较小兰和小颖获胜的概率是否相等。首先明确两个转盘各自的等可能结果，再枚举转动两个转盘一次的所有组合，统计出数字和小于4、不小于4的情况数，根据概率公式计算二者获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
转动A盘有1、2共2种等可能结果，转动B盘有1、2、3共3种等可能结果，转动两个转盘各一次，总共有$2×3=6$种等可能结果，分别计算两数之和：
1. A为1、B为1，和为$1+1=2$，小于4；
2. A为1、B为2，和为$1+2=3$，小于4；
3. A为1、B为3，和为$1+3=4$，不小于4；
4. A为2、B为1，和为$2+1=3$，小于4；
5. A为2、B为2，和为$2+2=4$，不小于4；
6. A为2、B为3，和为$2+3=5$，不小于4。
其中和小于4的情况有3种，和不小于4的情况也有3种。
根据概率公式得：
$P(\mathrm{和小于4})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{和不小于4})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
二者获胜概率相等，因此游戏公平。
【答案】
这个游戏对双方公平.$\because$ P(和小于 4)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(和不小于 4)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,$\therefore$ 这个游戏对双方公平
【知识点】
概率计算，游戏公平性判定，列举法求概率
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题关键是准确列举所有等可能的事件结果，通过比较双方获胜的概率判断游戏公平性，是概率板块的常见考题。
【难度系数】
0.7
6. 甲、乙两人做摸球游戏，规则是：一个不透明的袋中装有2个黄球、1个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同.搅匀后，从袋中任意摸出2个球，若摸出的2个球中没有黄球，则甲获胜；若摸出的2个球中有1个红球、1个黄球，则乙获胜；其他情况甲、乙不分胜负.这个游戏对双方公平吗？为什么？
答案
6. 这个游戏对双方不公平.理由:$\because$ P(甲获胜)=$\frac{1}{6}$,P(乙获胜)=$\frac{1}{3}$,$\therefore$ P(甲获胜)$＜$P(乙获胜).$\therefore$ 这个游戏对双方不公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，需先计算甲、乙两人分别获胜的概率，若两人获胜概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先用列举法找出从袋中任意摸出2个球的所有等可能结果，再分别找出甲获胜、乙获胜对应的结果数，根据概率公式计算两者的概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
先对袋中球做标记：2个黄球分别记为黄₁、黄₂，红球记为红，白球记为白。
从4个球中任意摸出2个球，所有等可能的结果共有6种，分别是：（黄₁，黄₂）、（黄₁，红）、（黄₁，白）、（黄₂，红）、（黄₂，白）、（红，白）。
1. 计算甲获胜的概率：甲获胜要求摸出的2个球没有黄球，符合要求的结果只有（红，白）1种，因此$\mathrm{P(甲获胜)}=\frac{\mathrm{甲获胜的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{6}$。
2. 计算乙获胜的概率：乙获胜要求摸出的2个球是1个红球、1个黄球，符合要求的结果有（黄₁，红）、（黄₂，红）共2种，因此$\mathrm{P(乙获胜)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{1}{6}＜\frac{1}{3}$，即甲获胜的概率小于乙获胜的概率，所以该游戏对双方不公平。
【答案】
这个游戏对双方不公平.理由:$\because$ P(甲获胜)=$\frac{1}{6}$,P(乙获胜)=$\frac{1}{3}$,$\therefore$ P(甲获胜)$＜$P(乙获胜).$\therefore$ 这个游戏对双方不公平
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用的基础题型，核心是通过比较双方获胜概率判断游戏公平性，解题的关键是不重不漏地列举出所有摸球的等可能结果，再结合概率公式计算概率后比较即可。
【难度系数】
0.7
要判断游戏是否公平，需先计算甲、乙两人分别获胜的概率，若两人获胜概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先用列举法找出从袋中任意摸出2个球的所有等可能结果，再分别找出甲获胜、乙获胜对应的结果数，根据概率公式计算两者的概率，最后比较概率大小即可得出结论。
【解析】
先对袋中球做标记：2个黄球分别记为黄₁、黄₂，红球记为红，白球记为白。
从4个球中任意摸出2个球，所有等可能的结果共有6种，分别是：（黄₁，黄₂）、（黄₁，红）、（黄₁，白）、（黄₂，红）、（黄₂，白）、（红，白）。
1. 计算甲获胜的概率：甲获胜要求摸出的2个球没有黄球，符合要求的结果只有（红，白）1种，因此$\mathrm{P(甲获胜)}=\frac{\mathrm{甲获胜的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{6}$。
2. 计算乙获胜的概率：乙获胜要求摸出的2个球是1个红球、1个黄球，符合要求的结果有（黄₁，红）、（黄₂，红）共2种，因此$\mathrm{P(乙获胜)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{1}{6}＜\frac{1}{3}$，即甲获胜的概率小于乙获胜的概率，所以该游戏对双方不公平。
【答案】
这个游戏对双方不公平.理由:$\because$ P(甲获胜)=$\frac{1}{6}$,P(乙获胜)=$\frac{1}{3}$,$\therefore$ P(甲获胜)$＜$P(乙获胜).$\therefore$ 这个游戏对双方不公平
【知识点】
列举法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用的基础题型，核心是通过比较双方获胜概率判断游戏公平性，解题的关键是不重不漏地列举出所有摸球的等可能结果，再结合概率公式计算概率后比较即可。
【难度系数】
0.7
7. 甲、乙两人做掷骰子游戏，规则是：将一枚骰子连掷两次，若两次骰子点数之和为2,3,4,5，10,11或12，则甲赢；若两次骰子点数之和为6,7,8或9，则乙赢.这个游戏对双方公平吗？若不公平，如何修改规则能使这个游戏对双方公平？
答案
7. 这个游戏对双方不公平,改为和为奇数,则甲赢;改为和为偶数,则乙赢
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。解题思路如下：第一步，先计算将一枚骰子连掷两次的所有等可能结果总数；第二步，分别统计对应甲赢、乙赢的点数和的情况数；第三步，根据概率公式计算两人获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。修改规则的核心是保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
解：将一枚骰子连掷两次，所有等可能的结果共有$6 × 6 = 36$种。
1. 计算甲获胜的概率：
统计对应甲赢的点数和的情况：和为2有1种、和为3有2种、和为4有3种、和为5有4种、和为10有3种、和为11有2种、和为12有1种，总情况数为$1+2+3+4+3+2+1=16$种。
因此$P(甲赢)=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$。
2. 计算乙获胜的概率：
统计对应乙赢的点数和的情况：和为6有5种、和为7有6种、和为8有5种、和为9有4种，总情况数为$5+6+5+4=20$种。
因此$P(乙赢)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$。
3. 比较概率：$\frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$，因此游戏对双方不公平。
修改规则时保证双方获胜概率相等即可，例如修改为和为奇数甲赢、和为偶数乙赢，此时双方获胜概率均为$\frac{1}{2}$，游戏公平。
【答案】
这个游戏对双方不公平,改为和为奇数,则甲赢;改为和为偶数,则乙赢（修改规则合理即可）
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判定
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查概率的实际应用，需要学生掌握枚举法计数求概率的方法，理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断游戏是否公平，核心是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。解题思路如下：第一步，先计算将一枚骰子连掷两次的所有等可能结果总数；第二步，分别统计对应甲赢、乙赢的点数和的情况数；第三步，根据概率公式计算两人获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。修改规则的核心是保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
解：将一枚骰子连掷两次，所有等可能的结果共有$6 × 6 = 36$种。
1. 计算甲获胜的概率：
统计对应甲赢的点数和的情况：和为2有1种、和为3有2种、和为4有3种、和为5有4种、和为10有3种、和为11有2种、和为12有1种，总情况数为$1+2+3+4+3+2+1=16$种。
因此$P(甲赢)=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$。
2. 计算乙获胜的概率：
统计对应乙赢的点数和的情况：和为6有5种、和为7有6种、和为8有5种、和为9有4种，总情况数为$5+6+5+4=20$种。
因此$P(乙赢)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$。
3. 比较概率：$\frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$，因此游戏对双方不公平。
修改规则时保证双方获胜概率相等即可，例如修改为和为奇数甲赢、和为偶数乙赢，此时双方获胜概率均为$\frac{1}{2}$，游戏公平。
【答案】
这个游戏对双方不公平,改为和为奇数,则甲赢;改为和为偶数,则乙赢（修改规则合理即可）
【知识点】
等可能事件概率计算，游戏公平性判定
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查概率的实际应用，需要学生掌握枚举法计数求概率的方法，理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
