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（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图①所示，则k
＞
0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小
；答案
(1) ＞,减小
解析
【分析】
解决本题需要先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：k的符号决定了双曲线的分布象限，也决定了函数的增减性。首先观察图①的图象，它的两个分支分别在第一、第三象限，结合反比例函数的性质即可判断k的符号，再根据k的符号得出同一支上y随x的变化规律。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质为：
1. 当$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大。
观察图①可知，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限，符合$k＞0$的特征，因此$k＞0$，且在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
＞；减小
【知识点】
反比例函数图象与系数的关系；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，掌握k的符号与图象所在象限、函数增减性的对应关系即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：k的符号决定了双曲线的分布象限，也决定了函数的增减性。首先观察图①的图象，它的两个分支分别在第一、第三象限，结合反比例函数的性质即可判断k的符号，再根据k的符号得出同一支上y随x的变化规律。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质为：
1. 当$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大。
观察图①可知，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限，符合$k＞0$的特征，因此$k＞0$，且在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
＞；减小
【知识点】
反比例函数图象与系数的关系；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，掌握k的符号与图象所在象限、函数增减性的对应关系即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
（2）反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图②所示，则k（第4题）
＜
0，在图象的每一支上，y随x的增大而增大
；（第4题）答案
(2) ＜,增大
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质推导：首先观察图象所在的象限，根据“k的符号决定图象所在象限”的规律判断k的正负；再根据k的正负，对应得到函数在每一支上的增减性即可。
【解析】
观察图②的反比例函数图象，可知它的两个分支分别位于第二象限和第四象限：
1. 根据反比例函数性质：当$k＜0$时，图象的两个分支分布在第二、四象限，因此可得$k＜0$；
2. 当$k＜0$时，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
＜；增大
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，只要牢记k的符号与图象所在象限、函数增减性的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质推导：首先观察图象所在的象限，根据“k的符号决定图象所在象限”的规律判断k的正负；再根据k的正负，对应得到函数在每一支上的增减性即可。
【解析】
观察图②的反比例函数图象，可知它的两个分支分别位于第二象限和第四象限：
1. 根据反比例函数性质：当$k＜0$时，图象的两个分支分布在第二、四象限，因此可得$k＜0$；
2. 当$k＜0$时，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
＜；增大
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，只要牢记k的符号与图象所在象限、函数增减性的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
（3）若点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则$k=$
3
，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小
。答案
(3) 3,减小
解析
【分析】
解题分两步推进：第一步，依据“函数图象上的点的坐标必然满足函数解析式”的规律，将已知点的横、纵坐标代入反比例函数表达式，就能求出k的值；第二步，根据得到的k的正负，结合反比例函数增减性的对应规则，判断y随x的变化情况。
【解析】
1. 计算k的值：
∵点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=1$，$y=3$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
2. 判断函数增减性：
∵求得$k=3＞0$，
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，其图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
3；减小
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，主要检验对反比例函数基本性质的掌握程度，只要熟练掌握点与函数解析式的对应关系、k值和函数增减性的对应规律，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
解题分两步推进：第一步，依据“函数图象上的点的坐标必然满足函数解析式”的规律，将已知点的横、纵坐标代入反比例函数表达式，就能求出k的值；第二步，根据得到的k的正负，结合反比例函数增减性的对应规则，判断y随x的变化情况。
【解析】
1. 计算k的值：
∵点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=1$，$y=3$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
2. 判断函数增减性：
∵求得$k=3＞0$，
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，其图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
3；减小
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，主要检验对反比例函数基本性质的掌握程度，只要熟练掌握点与函数解析式的对应关系、k值和函数增减性的对应规律，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
5. 写出一个反比例函数，使得该反比例函数的图象位于第一、三象限，这个函数可以是
若点P在这个函数的图象上，则点P的坐标可以是
$y=\frac{1}{x}$
；若点P在这个函数的图象上，则点P的坐标可以是
$(1,1)$
（分别写出一个即可）。答案
$y=\frac{1}{x},(1,1)$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的相关性质：①反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），当$ k＞0 $时，函数图象位于第一、三象限，因此我们只需取一个大于0的$ k $值，即可写出符合要求的反比例函数；②反比例函数图象上的所有点的横、纵坐标的乘积都等于$ k $，因此只要找到一组横、纵坐标乘积等于所选$ k $的数对，即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 写符合条件的反比例函数：
反比例函数的表达式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $），若图象位于第一、三象限，则$ k＞0 $，取$ k=1 $，可得函数$ y=\frac{1}{x} $（答案不唯一，只要$ k＞0 $即可）。
2. 写符合条件的点P坐标：
若点在$ y=\frac{1}{x} $的图象上，则点的横纵坐标满足$ xy=1 $，取$ x=1 $，代入得$ y=1 $，因此点P的坐标可以是$ (1,1) $（答案不唯一，只要横纵坐标乘积为1即可）。
【答案】
$ y=\frac{1}{x} $；$ (1,1) $（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础开放类题型，核心考查反比例函数的基础性质，难度较低，只要牢记$ k $的符号和图象所在象限的对应关系，以及函数图象上点的坐标与解析式的关系，即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆反比例函数的相关性质：①反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），当$ k＞0 $时，函数图象位于第一、三象限，因此我们只需取一个大于0的$ k $值，即可写出符合要求的反比例函数；②反比例函数图象上的所有点的横、纵坐标的乘积都等于$ k $，因此只要找到一组横、纵坐标乘积等于所选$ k $的数对，即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 写符合条件的反比例函数：
反比例函数的表达式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $），若图象位于第一、三象限，则$ k＞0 $，取$ k=1 $，可得函数$ y=\frac{1}{x} $（答案不唯一，只要$ k＞0 $即可）。
2. 写符合条件的点P坐标：
若点在$ y=\frac{1}{x} $的图象上，则点的横纵坐标满足$ xy=1 $，取$ x=1 $，代入得$ y=1 $，因此点P的坐标可以是$ (1,1) $（答案不唯一，只要横纵坐标乘积为1即可）。
【答案】
$ y=\frac{1}{x} $；$ (1,1) $（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础开放类题型，核心考查反比例函数的基础性质，难度较低，只要牢记$ k $的符号和图象所在象限的对应关系，以及函数图象上点的坐标与解析式的关系，即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6. 已知矩形的面积为 9,试用图象表示出这个矩形两邻边之间的关系.
答案
图象略
解析
【分析】
解题时首先结合矩形面积公式推导两邻边的函数关系，再结合实际意义确定自变量取值范围，最后对应反比例函数的图象特征即可。思考步骤：1. 设矩形两条邻边长分别为x、y；2. 根据面积=邻边乘积，代入面积为9得到xy=9，整理为函数形式；3. 结合边长为正的要求，确定x＞0、y＞0；4. 对应反比例函数图象，明确仅取第一象限的分支。
【解析】
设矩形的一组邻边长分别为$ x $和$ y $，由边长的实际意义可知$ x＞0 $，$ y＞0 $。
根据矩形面积公式可得：$ xy = 9 $，
整理得两邻边的函数关系式为：$ y = \frac{9}{x} \ (x＞0) $。
该函数为反比例函数，图象绘制方法如下：
1. 建立平面直角坐标系，横轴表示邻边长$ x $，纵轴表示另一邻边长$ y $，仅保留第一象限区域；
2. 选取特殊点如$(1,9)$、$(3,3)$、$(9,1)$等，在坐标系中标出对应点；
3. 用平滑曲线连接各点，曲线向两端延伸但不与坐标轴相交，即为所求图象。
【答案】
图象略
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象；实际问题自变量取值范围
【点评】
本题结合几何性质考查反比例函数的实际应用，易错点是忽略边长为正的实际要求，误画出完整的两支双曲线，实际仅需保留第一象限的图象即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形面积公式推导两邻边的函数关系，再结合实际意义确定自变量取值范围，最后对应反比例函数的图象特征即可。思考步骤：1. 设矩形两条邻边长分别为x、y；2. 根据面积=邻边乘积，代入面积为9得到xy=9，整理为函数形式；3. 结合边长为正的要求，确定x＞0、y＞0；4. 对应反比例函数图象，明确仅取第一象限的分支。
【解析】
设矩形的一组邻边长分别为$ x $和$ y $，由边长的实际意义可知$ x＞0 $，$ y＞0 $。
根据矩形面积公式可得：$ xy = 9 $，
整理得两邻边的函数关系式为：$ y = \frac{9}{x} \ (x＞0) $。
该函数为反比例函数，图象绘制方法如下：
1. 建立平面直角坐标系，横轴表示邻边长$ x $，纵轴表示另一邻边长$ y $，仅保留第一象限区域；
2. 选取特殊点如$(1,9)$、$(3,3)$、$(9,1)$等，在坐标系中标出对应点；
3. 用平滑曲线连接各点，曲线向两端延伸但不与坐标轴相交，即为所求图象。
【答案】
图象略
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象；实际问题自变量取值范围
【点评】
本题结合几何性质考查反比例函数的实际应用，易错点是忽略边长为正的实际要求，误画出完整的两支双曲线，实际仅需保留第一象限的图象即可。
【难度系数】
0.7
7. 已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象如图所示. 利用怎样的图形变换能得到反比例函数 $y=-\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象? 请画出这个图象. 
(第7题)
(第7题)答案
关于y轴对称(或x轴),图象略
解析
【分析】
解题时首先对比两个反比例函数的解析式差异，结合函数图象上点的坐标特征分析对应点的坐标关系，从而确定图形变换方式：已知目标函数$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$与原函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的解析式仅符号不同，可分别从横坐标不变、纵坐标变为相反数，或纵坐标不变、横坐标变为相反数两个角度推导坐标的对称关系，对应得到两种轴对称变换方式，再根据变换方式即可画出目标函数的图象。
【解析】
我们可以通过两种轴对称变换得到$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$的图象：
1. 关于x轴对称变换：若点$(x,y)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，则点$(x,-y)$满足$y=-\frac{k}{x}$，即两个图象上的对应点关于x轴对称，因此将原反比例函数的图象沿x轴翻折，即可得到$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$的图象，图象分布在第二、四象限，形状与原图象一致。
2. 关于y轴对称变换：若点$(x,y)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，则点$(-x,y)$满足$y=-\frac{k}{x}$，即两个图象上的对应点关于y轴对称，因此将原反比例函数的图象沿y轴翻折，也可得到$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$的图象。
画图时在第二、四象限绘制与原一、三象限形状相同的双曲线即可，图象略。
【答案】
关于y轴对称(或关于x轴对称)，图象略
【知识点】
反比例函数图象性质，轴对称变换，函数图象与解析式的对应关系
【点评】
本题考查反比例函数图象的对称性，需要结合坐标变化理解函数图象的变换规律，能够帮助学生加深对反比例函数图象特征的理解，掌握此类题的关键是找到两个函数图象上对应点的坐标关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先对比两个反比例函数的解析式差异，结合函数图象上点的坐标特征分析对应点的坐标关系，从而确定图形变换方式：已知目标函数$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$与原函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的解析式仅符号不同，可分别从横坐标不变、纵坐标变为相反数，或纵坐标不变、横坐标变为相反数两个角度推导坐标的对称关系，对应得到两种轴对称变换方式，再根据变换方式即可画出目标函数的图象。
【解析】
我们可以通过两种轴对称变换得到$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$的图象：
1. 关于x轴对称变换：若点$(x,y)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，则点$(x,-y)$满足$y=-\frac{k}{x}$，即两个图象上的对应点关于x轴对称，因此将原反比例函数的图象沿x轴翻折，即可得到$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$的图象，图象分布在第二、四象限，形状与原图象一致。
2. 关于y轴对称变换：若点$(x,y)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，则点$(-x,y)$满足$y=-\frac{k}{x}$，即两个图象上的对应点关于y轴对称，因此将原反比例函数的图象沿y轴翻折，也可得到$y=-\frac{k}{x}(k＞0)$的图象。
画图时在第二、四象限绘制与原一、三象限形状相同的双曲线即可，图象略。
【答案】
关于y轴对称(或关于x轴对称)，图象略
【知识点】
反比例函数图象性质，轴对称变换，函数图象与解析式的对应关系
【点评】
本题考查反比例函数图象的对称性，需要结合坐标变化理解函数图象的变换规律，能够帮助学生加深对反比例函数图象特征的理解，掌握此类题的关键是找到两个函数图象上对应点的坐标关系。
【难度系数】
0.8
8. 已知函数表达式 $y=\dfrac{4}{x^2}$.
（1）写出该函数的性质；
（2）画出该函数的大致图象.
（1）写出该函数的性质；
（2）画出该函数的大致图象.
答案
(1) $x≠0,y＞0$;图象在第一、二象限内;在第一象限内,y随x的增大而减小;在第二象限内,y随x的增大而增大;图象关于y轴对称 (2)图象略
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两部分梳理思路：
对于第(1)问分析函数性质：①先确定自变量取值范围：分母不能为0，因此x≠0；再确定函数值范围：x²恒为正，因此y=4/x²恒大于0，可直接判断图象所在象限。②判断对称性：将x替换为-x，函数值不变，说明图象关于y轴对称。③判断增减性：分x＞0（第一象限）、x＜0（第二象限）两种情况讨论，x＞0时x越大x²越大，对应y值越小；x＜0时x越大x²越小，对应y值越大。
对于第(2)问画图象：利用图象关于y轴对称的性质，先描出第一象限的几个点，再对称描出第二象限的对应点，用平滑曲线连接即可，注意图象不能和坐标轴相交。
【解析】
(1) 逐一推导函数性质：
① 取值范围：分母$x^2≠0$，因此$x≠0$；又$x^2＞0$，因此$y=\frac{4}{x^2}＞0$，图象位于第一、二象限；
② 对称性：将x替换为-x，得$y=\frac{4}{(-x)^2}=\frac{4}{x^2}$，函数值不变，因此图象关于y轴对称；
③ 增减性：当$x＞0$时，x增大则$x^2$增大，$\frac{4}{x^2}$减小，即y随x的增大而减小；当$x＜0$时，x增大则$x^2$减小，$\frac{4}{x^2}$增大，即y随x的增大而增大。
(2) 画图步骤：
① 列表取第一象限的点，如$(\frac{1}{2},16)$、$(1,4)$、$(2,1)$；
② 根据对称性描出第二象限对应点$(-\frac{1}{2},16)$、$(-1,4)$、$(-2,1)$；
③ 用平滑曲线顺次连接各点，图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交。
【答案】
(1) $x≠0,y＞0$;图象在第一、二象限内;在第一象限内,y随x的增大而减小;在第二象限内,y随x的增大而增大;图象关于y轴对称 (2)图象略
【知识点】
函数性质分析、函数图象绘制、对称性判断
【点评】
本题重点考查函数性质的分析逻辑，解题时要注意分象限讨论函数增减性，不能笼统概括全定义域的增减规律，利用对称性可以大幅简化图象绘制的过程。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分两部分梳理思路：
对于第(1)问分析函数性质：①先确定自变量取值范围：分母不能为0，因此x≠0；再确定函数值范围：x²恒为正，因此y=4/x²恒大于0，可直接判断图象所在象限。②判断对称性：将x替换为-x，函数值不变，说明图象关于y轴对称。③判断增减性：分x＞0（第一象限）、x＜0（第二象限）两种情况讨论，x＞0时x越大x²越大，对应y值越小；x＜0时x越大x²越小，对应y值越大。
对于第(2)问画图象：利用图象关于y轴对称的性质，先描出第一象限的几个点，再对称描出第二象限的对应点，用平滑曲线连接即可，注意图象不能和坐标轴相交。
【解析】
(1) 逐一推导函数性质：
① 取值范围：分母$x^2≠0$，因此$x≠0$；又$x^2＞0$，因此$y=\frac{4}{x^2}＞0$，图象位于第一、二象限；
② 对称性：将x替换为-x，得$y=\frac{4}{(-x)^2}=\frac{4}{x^2}$，函数值不变，因此图象关于y轴对称；
③ 增减性：当$x＞0$时，x增大则$x^2$增大，$\frac{4}{x^2}$减小，即y随x的增大而减小；当$x＜0$时，x增大则$x^2$减小，$\frac{4}{x^2}$增大，即y随x的增大而增大。
(2) 画图步骤：
① 列表取第一象限的点，如$(\frac{1}{2},16)$、$(1,4)$、$(2,1)$；
② 根据对称性描出第二象限对应点$(-\frac{1}{2},16)$、$(-1,4)$、$(-2,1)$；
③ 用平滑曲线顺次连接各点，图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交。
【答案】
(1) $x≠0,y＞0$;图象在第一、二象限内;在第一象限内,y随x的增大而减小;在第二象限内,y随x的增大而增大;图象关于y轴对称 (2)图象略
【知识点】
函数性质分析、函数图象绘制、对称性判断
【点评】
本题重点考查函数性质的分析逻辑，解题时要注意分象限讨论函数增减性，不能笼统概括全定义域的增减规律，利用对称性可以大幅简化图象绘制的过程。
【难度系数】
0.7
