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如何研究反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，k≠0)的图象特征和性质？取不同的k值，画出反比例函数的图象。观察图象，你能发现反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象特征和性质吗？
答案
取不同的k值画出反比例函数的图象如
，观察图象可总结反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象特征和性质如下：
函数图象由两支曲线组成，称为双曲线；
函数图象的两支曲线关于原点成中心对称；
当k＞0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
解析
【分析】
研究反比例函数的图象与性质采用数形结合的方法，思路如下：首先选取不同符号、不同取值的非零k值，通过描点法（列表、描点、连线）画出对应反比例函数的图象；再从图象的形状、对称性、所在象限、变化趋势四个维度观察图象；最后分k＞0和k＜0两类分别总结规律，归纳出反比例函数的通用性质，注意区分不同k值下性质的异同点。
【解析】
1. 绘制图象：分别取k为1、2、4等正数值，和k为-1、-2、-4等负数值，用描点法绘制对应反比例函数的图象，得到题干所示的两组图象。
2. 观察归纳性质：
（1）整体特征：反比例函数的图象是两支不连续的曲线，称为双曲线，两支曲线关于原点成中心对称，绕原点旋转180°后可与自身重合。
（2）分情况讨论：
①当k＞0时：图象的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，随x取值增大，对应y的取值逐渐减小，即y随x的增大而减小。
②当k＜0时：图象的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，随x取值增大，对应y的取值逐渐增大，即y随x的增大而增大。
注意：增减性的描述必须限定“在每一个象限内”，跨象限时该增减规律不成立。
【答案】
取不同的k值画出反比例函数的图象如，观察图象可总结反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象特征和性质如下：
函数图象由两支曲线组成，称为双曲线；
函数图象的两支曲线关于原点成中心对称；
当k＞0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；数形结合思想
【点评】
本题是反比例函数性质的基础探究题，通过动手画图、观察归纳的过程，能帮助大家更直观地理解反比例函数的特征，要注意增减性的前提是“在每一个象限内”，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
研究反比例函数的图象与性质采用数形结合的方法，思路如下：首先选取不同符号、不同取值的非零k值，通过描点法（列表、描点、连线）画出对应反比例函数的图象；再从图象的形状、对称性、所在象限、变化趋势四个维度观察图象；最后分k＞0和k＜0两类分别总结规律，归纳出反比例函数的通用性质，注意区分不同k值下性质的异同点。
【解析】
1. 绘制图象：分别取k为1、2、4等正数值，和k为-1、-2、-4等负数值，用描点法绘制对应反比例函数的图象，得到题干所示的两组图象。
2. 观察归纳性质：
（1）整体特征：反比例函数的图象是两支不连续的曲线，称为双曲线，两支曲线关于原点成中心对称，绕原点旋转180°后可与自身重合。
（2）分情况讨论：
①当k＞0时：图象的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，随x取值增大，对应y的取值逐渐减小，即y随x的增大而减小。
②当k＜0时：图象的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，随x取值增大，对应y的取值逐渐增大，即y随x的增大而增大。
注意：增减性的描述必须限定“在每一个象限内”，跨象限时该增减规律不成立。
【答案】
取不同的k值画出反比例函数的图象如
，观察图象可总结反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象特征和性质如下：函数图象由两支曲线组成，称为双曲线；
函数图象的两支曲线关于原点成中心对称；
当k＞0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；数形结合思想
【点评】
本题是反比例函数性质的基础探究题，通过动手画图、观察归纳的过程，能帮助大家更直观地理解反比例函数的特征，要注意增减性的前提是“在每一个象限内”，避免忽略限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
例 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-2,6)$。
（1）求$k$的值，并画出这个函数的图象。
（2）这个函数的图象在哪几个象限？在每个象限内，$y$随着$x$的增大怎样变化？
（3）设点$C(-3,y_1),D(-2,y_2)$都在这个函数的图象上，比较$y_1$与$y_2$的大小。
（1）求$k$的值，并画出这个函数的图象。
（2）这个函数的图象在哪几个象限？在每个象限内，$y$随着$x$的增大怎样变化？
（3）设点$C(-3,y_1),D(-2,y_2)$都在这个函数的图象上，比较$y_1$与$y_2$的大小。
答案
（1）$k=-12$，图象略
（2）图象在第二、四象限内；在每一个象限内，y随x的增大而增大
（3）$y_1＜y_2$
（2）图象在第二、四象限内；在每一个象限内，y随x的增大而增大
（3）$y_1＜y_2$
解析
【分析】
（1）要求反比例函数的k值，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点A的横、纵坐标代入解析式即可计算k；画函数图象遵循描点法作图的步骤：列表、描点、连线，注意反比例函数图象是两条不与坐标轴相交的双曲线，分两支绘制。
（2）反比例函数的图象所在象限、增减性都由k的符号决定，根据第（1）问算出的k值正负，结合反比例函数性质即可直接作答，注意增减性的适用前提是“在每个象限内”。
（3）比较函数值大小有两种思路：一是先判断两点是否在同一象限，再结合该象限内的增减性，根据横坐标的大小关系推导y值的大小；二是直接将两点横坐标代入解析式，算出对应y值后比较大小，两种方法都可求解。
【解析】
（1）将点$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$6=\frac{k}{-2}$
解得$k=6×(-2)=-12$，即反比例函数解析式为$y=\frac{-12}{x}$。
描点画图象步骤：①列表取点（如x取-6、-4、-3、-2、2、3、4、6，对应算出y值）；②在平面直角坐标系中描出对应点；③用平滑曲线分别连接两个象限内的点，得到两支双曲线，图象不与坐标轴相交（图象略）。
（2）由（1）知$k=-12＜0$，根据反比例函数的性质：
当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大。
（3）方法一：$\because$ 点$C(-3,y_1)$、$D(-2,y_2)$的横坐标均为负数，$\therefore$ 两点都在第二象限的函数图象上。
$\because$ 第二象限内y随x的增大而增大，且$-3＜-2$，$\therefore y_1＜y_2$。
方法二：将x=-3代入$y=\frac{-12}{x}$，得$y_1=\frac{-12}{-3}=4$；将x=-2代入得$y_2=\frac{-12}{-2}=6$。
$\because 4＜6$，$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
（1）$k=-12$，图象略
（2）图象在第二、四象限内；在每一个象限内，y随x的增大而增大
（3）$y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数解析式求法；反比例函数的图象与性质；反比例函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，围绕k值的求解、图象性质的应用展开，难度不大，解题时需要注意反比例函数的增减性只在同一象限内成立，避免跨象限比较时出错。
【难度系数】
0.8
（1）要求反比例函数的k值，依据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点A的横、纵坐标代入解析式即可计算k；画函数图象遵循描点法作图的步骤：列表、描点、连线，注意反比例函数图象是两条不与坐标轴相交的双曲线，分两支绘制。
（2）反比例函数的图象所在象限、增减性都由k的符号决定，根据第（1）问算出的k值正负，结合反比例函数性质即可直接作答，注意增减性的适用前提是“在每个象限内”。
（3）比较函数值大小有两种思路：一是先判断两点是否在同一象限，再结合该象限内的增减性，根据横坐标的大小关系推导y值的大小；二是直接将两点横坐标代入解析式，算出对应y值后比较大小，两种方法都可求解。
【解析】
（1）将点$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$6=\frac{k}{-2}$
解得$k=6×(-2)=-12$，即反比例函数解析式为$y=\frac{-12}{x}$。
描点画图象步骤：①列表取点（如x取-6、-4、-3、-2、2、3、4、6，对应算出y值）；②在平面直角坐标系中描出对应点；③用平滑曲线分别连接两个象限内的点，得到两支双曲线，图象不与坐标轴相交（图象略）。
（2）由（1）知$k=-12＜0$，根据反比例函数的性质：
当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大。
（3）方法一：$\because$ 点$C(-3,y_1)$、$D(-2,y_2)$的横坐标均为负数，$\therefore$ 两点都在第二象限的函数图象上。
$\because$ 第二象限内y随x的增大而增大，且$-3＜-2$，$\therefore y_1＜y_2$。
方法二：将x=-3代入$y=\frac{-12}{x}$，得$y_1=\frac{-12}{-3}=4$；将x=-2代入得$y_2=\frac{-12}{-2}=6$。
$\because 4＜6$，$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
（1）$k=-12$，图象略
（2）图象在第二、四象限内；在每一个象限内，y随x的增大而增大
（3）$y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数解析式求法；反比例函数的图象与性质；反比例函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，围绕k值的求解、图象性质的应用展开，难度不大，解题时需要注意反比例函数的增减性只在同一象限内成立，避免跨象限比较时出错。
【难度系数】
0.8
1. 填空题：
（1）已知点$(-6,y_1),(-4,y_2)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，则$y_1$与$y_2$的大小关系为
（2）已知点$(4,y_3),(6,y_4)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，则$y_3$与$y_4$的大小关系为
（3）已知点$(-4,y_5),(6,y_6)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，则$y_5$与$y_6$的大小关系为
（1）已知点$(-6,y_1),(-4,y_2)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，则$y_1$与$y_2$的大小关系为
y1＜y2
；（2）已知点$(4,y_3),(6,y_4)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，则$y_3$与$y_4$的大小关系为
y3＜y4
；（3）已知点$(-4,y_5),(6,y_6)$在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上，则$y_5$与$y_6$的大小关系为
y5＞y6
。答案
1.（1）$y_1＜y_2$ （2）$y_3＜y_4$ （3）$y_5＞y_6$
解析
【分析】
首先明确反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。解题时先判断点所在的象限：若两点在同一象限，直接用增减性比较$y$值大小；若两点在不同象限，第二象限的$y$值恒为正，第四象限的$y$值恒为负，通过正负性比较大小即可。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$，其中$k=-6＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
（1）点$(-6,y_1)、(-4,y_2)$的横坐标均为负，都在第二象限，
$\because -6＜-4$，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_1＜y_2$；
（2）点$(4,y_3)、(6,y_4)$的横坐标均为正，都在第四象限，
$\because 4＜6$，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_3＜y_4$；
（3）点$(-4,y_5)$横坐标为负，在第二象限，因此$y_5＞0$；点$(6,y_6)$横坐标为正，在第四象限，因此$y_6＜0$，
$\because$正数大于负数，可得$y_5＞y_6$。
【答案】
（1）$y_1＜y_2$ （2）$y_3＜y_4$ （3）$y_5＞y_6$
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、有理数大小比较
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限比较函数值大小时，可直接通过函数值的正负判断，避免误用增减性出错。
【难度系数】
0.7
首先明确反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。解题时先判断点所在的象限：若两点在同一象限，直接用增减性比较$y$值大小；若两点在不同象限，第二象限的$y$值恒为正，第四象限的$y$值恒为负，通过正负性比较大小即可。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\frac{6}{x}$，其中$k=-6＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
（1）点$(-6,y_1)、(-4,y_2)$的横坐标均为负，都在第二象限，
$\because -6＜-4$，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_1＜y_2$；
（2）点$(4,y_3)、(6,y_4)$的横坐标均为正，都在第四象限，
$\because 4＜6$，根据同一象限内$y$随$x$增大而增大，可得$y_3＜y_4$；
（3）点$(-4,y_5)$横坐标为负，在第二象限，因此$y_5＞0$；点$(6,y_6)$横坐标为正，在第四象限，因此$y_6＜0$，
$\because$正数大于负数，可得$y_5＞y_6$。
【答案】
（1）$y_1＜y_2$ （2）$y_3＜y_4$ （3）$y_5＞y_6$
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、有理数大小比较
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限比较函数值大小时，可直接通过函数值的正负判断，避免误用增减性出错。
【难度系数】
0.7
2. 已知反比例函数① $y=-\dfrac{2}{x}$，② $y=\dfrac{1}{3x}$，③ $7y=-\dfrac{10}{x}$，④ $y=\dfrac{3}{100x}$，点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$都在各函数图象上，且在同一象限.
（1）若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$的函数是________；
（2）若$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$的函数是________.
（1）若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$的函数是________；
（2）若$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$的函数是________.
答案
2.（1）①③ （2）②④
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$，当$k＞0$时，在同一象限内，$y$随$x$的增大而减小，即$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$；当$k＜0$时，在同一象限内，$y$随$x$的增大而增大，即$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$。解题时先将所有函数整理为$y=\dfrac{k}{x}$的标准形式，判断每个函数$k$的正负，再对应题目要求筛选即可。
【解析】
先将4个反比例函数整理为标准形式$y=\dfrac{k}{x}$，确定$k$的符号：
①$y=-\dfrac{2}{x}$，比例系数$k=-2＜0$；
②$y=\dfrac{1}{3x}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{x}$，比例系数$k=\dfrac{1}{3}＞0$；
③$7y=-\dfrac{10}{x}$，整理得$y=-\dfrac{10}{7x}=\dfrac{-\dfrac{10}{7}}{x}$，比例系数$k=-\dfrac{10}{7}＜0$；
④$y=\dfrac{3}{100x}=\dfrac{\dfrac{3}{100}}{x}$，比例系数$k=\dfrac{3}{100}＞0$。
（1）若同一象限内$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$，说明$y$随$x$增大而增大，对应$k＜0$的函数，即①③；
（2）若同一象限内$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$增大而减小，对应$k＞0$的函数，即②④。
【答案】
（1）①③；（2）②④
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数的一般形式
【点评】
本题核心考查反比例函数在同一象限内的增减性应用，解题关键是准确求出各反比例函数的比例系数并判断正负，注意反比例函数的增减性只有在同一象限内才成立，本题已给出该前提，熟练掌握性质即可快速作答。
【难度系数】
0.75
要解决本题，首先需明确反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$，当$k＞0$时，在同一象限内，$y$随$x$的增大而减小，即$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$；当$k＜0$时，在同一象限内，$y$随$x$的增大而增大，即$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$。解题时先将所有函数整理为$y=\dfrac{k}{x}$的标准形式，判断每个函数$k$的正负，再对应题目要求筛选即可。
【解析】
先将4个反比例函数整理为标准形式$y=\dfrac{k}{x}$，确定$k$的符号：
①$y=-\dfrac{2}{x}$，比例系数$k=-2＜0$；
②$y=\dfrac{1}{3x}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{x}$，比例系数$k=\dfrac{1}{3}＞0$；
③$7y=-\dfrac{10}{x}$，整理得$y=-\dfrac{10}{7x}=\dfrac{-\dfrac{10}{7}}{x}$，比例系数$k=-\dfrac{10}{7}＜0$；
④$y=\dfrac{3}{100x}=\dfrac{\dfrac{3}{100}}{x}$，比例系数$k=\dfrac{3}{100}＞0$。
（1）若同一象限内$x_1＜x_2$时$y_1＜y_2$，说明$y$随$x$增大而增大，对应$k＜0$的函数，即①③；
（2）若同一象限内$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$增大而减小，对应$k＞0$的函数，即②④。
【答案】
（1）①③；（2）②④
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数的一般形式
【点评】
本题核心考查反比例函数在同一象限内的增减性应用，解题关键是准确求出各反比例函数的比例系数并判断正负，注意反比例函数的增减性只有在同一象限内才成立，本题已给出该前提，熟练掌握性质即可快速作答。
【难度系数】
0.75
