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14.(2026昭通期末)下面是某同学解方程的过程,请认真阅读解题过程并回答相应问题.
解方程$\frac{3x+1}{2}-\frac{3x-2}{10}=\frac{2x+3}{5}$.
解:去分母,得$5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)$.
去括号,得$15x+5-20=3x-2-4x+6$.
移项,得$15x-3x+4x=-2+6-5+20$.
合并同类项,得$16x=19$.
系数化为1,得$x=\frac{19}{16}$.
第五步
(1)在上述解题过程中,第一步变形的依据是;
(2)请诊断这位同学的解答过程中,第步开始出现错误,这一步错误的原因是;
(3)求该方程正确的解.
解方程$\frac{3x+1}{2}-\frac{3x-2}{10}=\frac{2x+3}{5}$.
解:去分母,得$5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)$.
去括号,得$15x+5-20=3x-2-4x+6$.
移项,得$15x-3x+4x=-2+6-5+20$.
合并同类项,得$16x=19$.
系数化为1,得$x=\frac{19}{16}$.
第五步
(1)在上述解题过程中,第一步变形的依据是;
(2)请诊断这位同学的解答过程中,第步开始出现错误,这一步错误的原因是;
(3)求该方程正确的解.
答案
解：
(1) 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立（等式的性质2）
(2) 二；去括号时，括号前的因数-2未乘括号内的+3，且括号前是负号，括号内+3未变号，错误得到+6，正确结果应为-6
(3) 正确求解该方程：
去分母，得 $5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)$
去括号，得 $15x+5-20=3x-2-4x-6$
移项，得 $15x-3x+4x=-2-6-5+20$
合并同类项，得 $16x=7$
系数化为1，得 $x=\frac{7}{16}$
(1) 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立（等式的性质2）
(2) 二；去括号时，括号前的因数-2未乘括号内的+3，且括号前是负号，括号内+3未变号，错误得到+6，正确结果应为-6
(3) 正确求解该方程：
去分母，得 $5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)$
去括号，得 $15x+5-20=3x-2-4x-6$
移项，得 $15x-3x+4x=-2-6-5+20$
合并同类项，得 $16x=7$
系数化为1，得 $x=\frac{7}{16}$
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的求解相关知识，解题思路如下：
（1）去分母的变形是给等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，依据是等式的基本性质2；
（2）逐步骤核对解题过程：第一步去分母符合变形规则，第二步去括号时，根据去括号法则，括号前是负因数时，括号内每一项都要乘该负因数且变号，该同学计算-2乘(2x+3)时，误将+3的计算结果写为+6，实际应为-6，因此第二步开始出现错误；
（3）按照解一元一次方程的规范步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步计算即可得到正确的解。
【解析】
(1) 去分母是对等式两边同乘分母的最小公倍数，变形依据为等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
(2) 核对去括号步骤：原式中-2(2x+3)去括号后应为-4x-6，该同学错误得到-4x+6，因此从第二步开始出错，错误原因是去括号时，括号前的因数-2未正确乘括号内的+3，且括号前是负号，括号内+3未变号。
(3) 正确求解过程如下：
去分母，得 $5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)$
去括号，得 $15x+5-20=3x-2-4x-6$
移项，得 $15x-3x+4x=-2-6-5+20$
合并同类项，得 $16x=7$
系数化为1，得 $x=\frac{7}{16}$
【答案】
(1) 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立（或等式的性质2）
(2) 二；去括号时，括号前的因数-2未乘括号内的+3，且括号前是负号，括号内+3未变号，错误得到+6，正确结果应为-6
(3) $x=\frac{7}{16}$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题属于解方程的基础类题型，重点考查解一元一次方程过程中去分母、去括号的易错点，熟练掌握每一步的运算规则，避免漏乘、符号错误是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次方程的求解相关知识，解题思路如下：
（1）去分母的变形是给等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，依据是等式的基本性质2；
（2）逐步骤核对解题过程：第一步去分母符合变形规则，第二步去括号时，根据去括号法则，括号前是负因数时，括号内每一项都要乘该负因数且变号，该同学计算-2乘(2x+3)时，误将+3的计算结果写为+6，实际应为-6，因此第二步开始出现错误；
（3）按照解一元一次方程的规范步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步计算即可得到正确的解。
【解析】
(1) 去分母是对等式两边同乘分母的最小公倍数，变形依据为等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
(2) 核对去括号步骤：原式中-2(2x+3)去括号后应为-4x-6，该同学错误得到-4x+6，因此从第二步开始出错，错误原因是去括号时，括号前的因数-2未正确乘括号内的+3，且括号前是负号，括号内+3未变号。
(3) 正确求解过程如下：
去分母，得 $5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3)$
去括号，得 $15x+5-20=3x-2-4x-6$
移项，得 $15x-3x+4x=-2-6-5+20$
合并同类项，得 $16x=7$
系数化为1，得 $x=\frac{7}{16}$
【答案】
(1) 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立（或等式的性质2）
(2) 二；去括号时，括号前的因数-2未乘括号内的+3，且括号前是负号，括号内+3未变号，错误得到+6，正确结果应为-6
(3) $x=\frac{7}{16}$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题属于解方程的基础类题型，重点考查解一元一次方程过程中去分母、去括号的易错点，熟练掌握每一步的运算规则，避免漏乘、符号错误是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
15.用一元一次方程解决以下问题：
“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将大象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入一块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变。若每块条形石的质量都是120 kg，求该头象的质量.（假设每个搬运工体重都相同）
“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将大象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入一块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变。若每块条形石的质量都是120 kg，求该头象的质量.（假设每个搬运工体重都相同）
答案
解：设每个搬运工的体重为$x$ kg。
根据两次水位均到达标记位置，总重量相等，列方程得：
$20×120 + 3x = (20+1)×120 + x$
化简得：$2400 + 3x = 2520 + x$
移项得：$3x - x = 2520 - 2400$
合并同类项得：$2x = 120$
系数化为1得：$x = 60$
则大象的质量为：$20×120 + 3×60 = 2580$（kg）
答：该头象的质量为2580 kg。
根据两次水位均到达标记位置，总重量相等，列方程得：
$20×120 + 3x = (20+1)×120 + x$
化简得：$2400 + 3x = 2520 + x$
移项得：$3x - x = 2520 - 2400$
合并同类项得：$2x = 120$
系数化为1得：$x = 60$
则大象的质量为：$20×120 + 3×60 = 2580$（kg）
答：该头象的质量为2580 kg。
解析
【分析】
解题的核心是抓住“水位恰好在标记位置”的含义：此时船的总载重量等于大象的质量，因此两次不同放置方式下的船总载重相等。已知每块条形石质量，仅搬运工体重未知，因此先设每个搬运工的体重为x kg，根据两次总载重相等的等量关系列一元一次方程，解出x后再代入任意一次总载重的计算式，即可求出大象的质量。
【解析】
解：设每个搬运工的体重为$x$ kg。
根据两次水位均到达标记位置，两次总重量相等，列方程得：
$20×120 + 3x = (20+1)×120 + x$
化简得：$2400 + 3x = 2520 + x$
移项得：$3x - x = 2520 - 2400$
合并同类项得：$2x = 120$
系数化为1得：$x = 60$
则大象的质量为：$20×120 + 3×60 = 2580$（kg）
答：该头象的质量为2580 kg。
【答案】
2580 kg
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合“曹冲称象”的经典典故出题，趣味性较强，解题关键是读懂题意，挖掘出两次载重相等的隐含等量关系，能有效考查学生把实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“水位恰好在标记位置”的含义：此时船的总载重量等于大象的质量，因此两次不同放置方式下的船总载重相等。已知每块条形石质量，仅搬运工体重未知，因此先设每个搬运工的体重为x kg，根据两次总载重相等的等量关系列一元一次方程，解出x后再代入任意一次总载重的计算式，即可求出大象的质量。
【解析】
解：设每个搬运工的体重为$x$ kg。
根据两次水位均到达标记位置，两次总重量相等，列方程得：
$20×120 + 3x = (20+1)×120 + x$
化简得：$2400 + 3x = 2520 + x$
移项得：$3x - x = 2520 - 2400$
合并同类项得：$2x = 120$
系数化为1得：$x = 60$
则大象的质量为：$20×120 + 3×60 = 2580$（kg）
答：该头象的质量为2580 kg。
【答案】
2580 kg
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题结合“曹冲称象”的经典典故出题，趣味性较强，解题关键是读懂题意，挖掘出两次载重相等的隐含等量关系，能有效考查学生把实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
