登录
16.数学课上,高老师带领同学们用天平和一些物品进行等式性质的探究.同学们提出问题:仅用1架天平和1个10 g的砝码能测量出乒乓球和一次性纸杯的质量吗?于是同学们找来足够多的某一品牌的乒乓球和某一品牌的一次性纸杯(假设每个乒乓球的质量相同,每个纸杯的质量也相同),经过多次实验得到以下记录:
请利用以上数据,分别计算一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量.
请利用以上数据,分别计算一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量.
答案
解：设一个乒乓球的质量为$x$ g，一个一次性纸杯的质量为$y$ g。
根据天平平衡的条件，列方程组：
$\begin{cases}6x + 10 = 14y \\8x = 7y + 10\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得：
$16x = 14y + 20$，变形得$14y = 16x - 20$。
把$14y = 16x - 20$代入第一个方程，得：
$6x + 10 = 16x - 20$
移项整理得$10x = 30$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$8x = 7y + 10$，得：
$24 = 7y + 10$，解得$y=2$。
答：一个乒乓球的质量为3 g，一个一次性纸杯的质量为2 g。
根据天平平衡的条件，列方程组：
$\begin{cases}6x + 10 = 14y \\8x = 7y + 10\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得：
$16x = 14y + 20$，变形得$14y = 16x - 20$。
把$14y = 16x - 20$代入第一个方程，得：
$6x + 10 = 16x - 20$
移项整理得$10x = 30$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$8x = 7y + 10$，得：
$24 = 7y + 10$，解得$y=2$。
答：一个乒乓球的质量为3 g，一个一次性纸杯的质量为2 g。
解析
【分析】
要计算单个乒乓球和一次性纸杯的质量，有两个未知量，我们可以先分别设两个未知数，再根据天平平衡时“左右两边总质量相等”的原理，结合两次实验的记录列出两个等式，组成二元一次方程组，最后用代入消元法求解方程组，就能得到两个物品的质量。
【解析】
解：设一个乒乓球的质量为$x$ g，一个一次性纸杯的质量为$y$ g。
根据天平平衡的条件，列方程组：
$\begin{cases}6x + 10 = 14y \\8x = 7y + 10\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得：
$16x = 14y + 20$，变形得$14y = 16x - 20$。
把$14y = 16x - 20$代入第一个方程，得：
$6x + 10 = 16x - 20$
移项整理得$10x = 30$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$8x = 7y + 10$，得：
$24 = 7y + 10$，解得$y=2$。
【答案】
一个乒乓球的质量为3 g，一个一次性纸杯的质量为2 g。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组；等式的性质
【点评】
本题结合天平实验的生活情境，考查用方程解决实际问题的能力，解题核心是抓住天平平衡时左右质量相等的特点准确列出等量关系，计算难度较低，掌握二元一次方程组的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算单个乒乓球和一次性纸杯的质量，有两个未知量，我们可以先分别设两个未知数，再根据天平平衡时“左右两边总质量相等”的原理，结合两次实验的记录列出两个等式，组成二元一次方程组，最后用代入消元法求解方程组，就能得到两个物品的质量。
【解析】
解：设一个乒乓球的质量为$x$ g，一个一次性纸杯的质量为$y$ g。
根据天平平衡的条件，列方程组：
$\begin{cases}6x + 10 = 14y \\8x = 7y + 10\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得：
$16x = 14y + 20$，变形得$14y = 16x - 20$。
把$14y = 16x - 20$代入第一个方程，得：
$6x + 10 = 16x - 20$
移项整理得$10x = 30$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$8x = 7y + 10$，得：
$24 = 7y + 10$，解得$y=2$。
【答案】
一个乒乓球的质量为3 g，一个一次性纸杯的质量为2 g。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组；等式的性质
【点评】
本题结合天平实验的生活情境，考查用方程解决实际问题的能力，解题核心是抓住天平平衡时左右质量相等的特点准确列出等量关系，计算难度较低，掌握二元一次方程组的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
17.(2026昆明期末)请你根据下列素材,完成有关任务.
续表
续表
答案
解：
任务一
设该团队共有$ x $人，由题意得$ x≥10 $。
根据两种方案费用相等列方程：
$30×0.8x = 30×0.9(x-2)$
化简得：
$24x = 27x - 54$
移项解得：
$x=18$
任务二
当团队有28人时，分别计算三种方案的费用：
方案一费用：$ 28×30×0.8 = 672 $（元）
方案二费用：$ (28-2)×30×0.9 = 702 $（元）
方案三费用：$ 30×21 = 630 $（元）
因为$ 630＜672＜702 $，所以方案三费用最低。
答：该团队共有18人；人数为28人时，选择方案三购票最节省费用。
任务一
设该团队共有$ x $人，由题意得$ x≥10 $。
根据两种方案费用相等列方程：
$30×0.8x = 30×0.9(x-2)$
化简得：
$24x = 27x - 54$
移项解得：
$x=18$
任务二
当团队有28人时，分别计算三种方案的费用：
方案一费用：$ 28×30×0.8 = 672 $（元）
方案二费用：$ (28-2)×30×0.9 = 702 $（元）
方案三费用：$ 30×21 = 630 $（元）
因为$ 630＜672＜702 $，所以方案三费用最低。
答：该团队共有18人；人数为28人时，选择方案三购票最节省费用。
解析
【分析】
本题分为两个任务，解题思路清晰：任务一要求解两种购票方案费用相等时的团队人数，首先明确两种方案的计费规则，设团队人数为未知数，以“两种方案总费用相等”为等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果；任务二是给定团队人数时选择最省钱的购票方案，只需分别按照三种方案的计费规则计算出总费用，再比较费用大小，费用最低的即为最优方案。
【解析】
任务一
设该团队共有$ x $人，由题意可知$ x≥10 $。
根据两种方案费用相等列方程：
$30×0.8x = 30×0.9(x-2)$
化简得：
$24x = 27x - 54$
移项合并同类项得：
$3x=54$
解得：
$x=18$
任务二
当团队有28人时，分别计算三种方案的费用：
方案一费用：$ 28×30×0.8 = 672 $（元）
方案二费用：$ (28-2)×30×0.9 = 702 $（元）
方案三费用：$ 30×21 = 630 $（元）
因为$ 630＜672＜702 $，所以方案三费用最低。
【答案】
该团队共有18人；人数为28人时，选择方案三购票最节省费用。
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.方案优化选择
3.有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中购票优惠的实际场景命题，既考查学生提取信息、找准等量关系列方程求解的能力，也考查了学生对不同方案的计算对比能力，解题的关键是准确理解各方案的计费规则，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两个任务，解题思路清晰：任务一要求解两种购票方案费用相等时的团队人数，首先明确两种方案的计费规则，设团队人数为未知数，以“两种方案总费用相等”为等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果；任务二是给定团队人数时选择最省钱的购票方案，只需分别按照三种方案的计费规则计算出总费用，再比较费用大小，费用最低的即为最优方案。
【解析】
任务一
设该团队共有$ x $人，由题意可知$ x≥10 $。
根据两种方案费用相等列方程：
$30×0.8x = 30×0.9(x-2)$
化简得：
$24x = 27x - 54$
移项合并同类项得：
$3x=54$
解得：
$x=18$
任务二
当团队有28人时，分别计算三种方案的费用：
方案一费用：$ 28×30×0.8 = 672 $（元）
方案二费用：$ (28-2)×30×0.9 = 702 $（元）
方案三费用：$ 30×21 = 630 $（元）
因为$ 630＜672＜702 $，所以方案三费用最低。
【答案】
该团队共有18人；人数为28人时，选择方案三购票最节省费用。
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.方案优化选择
3.有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中购票优惠的实际场景命题，既考查学生提取信息、找准等量关系列方程求解的能力，也考查了学生对不同方案的计算对比能力，解题的关键是准确理解各方案的计费规则，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
