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17.1 如图17-1，把$R_1$，$R_2$，$R_3$三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则$U=IR_1+IR_2+IR_3$。当$R_1=19.7$，$R_2=32.4$，$R_3=35.9$，$I=2.5$时，求U的值。
答案
解：$U=IR_1+IR_2+IR_3$
$=I(R_1+R_2+R_3).$
因为 $R_1=19.7,\ R_2=32.4,\ R_3=35.9,$
$I=2.5,$
所以 $U=I(R_1+R_2+R_3)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=2.5×88=220.$
$=I(R_1+R_2+R_3).$
因为 $R_1=19.7,\ R_2=32.4,\ R_3=35.9,$
$I=2.5,$
所以 $U=I(R_1+R_2+R_3)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=2.5×88=220.$
解析
【分析】首先明确串联电路的电压规律：串联电路总电压等于各部分电路两端电压之和，结合欧姆定律，每个电阻两端的电压为$IR$，因此总电压可表示为三个电阻电压之和；为简化计算，可提取公因式$I$，将式子变形为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，再代入已知的电阻值和电流值，先计算电阻总和，再与电流相乘得到结果。
【解析】根据串联电路电压规律及欧姆定律，总电压等于各电阻两端电压之和，步骤如下：
1. 写出总电压的表达式：
$U = IR_1 + IR_2 + IR_3$
2. 提取公因式简化式子：
$U = I(R_1 + R_2 + R_3)$
3. 代入已知数值计算：
先计算三个电阻的和：$R_1 + R_2 + R_3 = 19.7 + 32.4 + 35.9 = 88$
再计算总电压：$U = 2.5 × 88 = 220$
【答案】220
【知识点】串联电路电压规律、欧姆定律
【点评】本题是串联电路电压计算的基础题，通过提取公因式简化计算，体现了数学运算在物理电学中的应用，降低了计算难度，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】根据串联电路电压规律及欧姆定律，总电压等于各电阻两端电压之和，步骤如下：
1. 写出总电压的表达式：
$U = IR_1 + IR_2 + IR_3$
2. 提取公因式简化式子：
$U = I(R_1 + R_2 + R_3)$
3. 代入已知数值计算：
先计算三个电阻的和：$R_1 + R_2 + R_3 = 19.7 + 32.4 + 35.9 = 88$
再计算总电压：$U = 2.5 × 88 = 220$
【答案】220
【知识点】串联电路电压规律、欧姆定律
【点评】本题是串联电路电压计算的基础题，通过提取公因式简化计算，体现了数学运算在物理电学中的应用，降低了计算难度，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
17.2 某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，如图17-2所示，它的规格是内径$d=45\ \mathrm{cm}$，外径$D=75\ \mathrm{cm}$，长$l=300\ \mathrm{cm}$。利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土。（$π$取3.14，结果精确到$0.01\ \mathrm{m}^3$）
答案
解：浇制一节这样的管道需要混凝土
$π(\frac{D}{2})^2 l-π(\frac{d}{2})^2 l$
$=π l[(\frac{D}{2})^2-(\frac{d}{2})^2]$
$=\frac{1}{4}π l(D+d)(D-d)$
$=\frac{1}{4}×3.14×300×(75+45)×(75-45)$
$=847\ 800\ (\mathrm{cm}^3).$
$847\ 800\ \mathrm{cm}^3=0.847\ 8\ \mathrm{m}^3\approx0.85\ \mathrm{m}^3.$
答：浇制一节这样的管道约需要 $0.85\ \mathrm{m}^3$的混凝土.
$π(\frac{D}{2})^2 l-π(\frac{d}{2})^2 l$
$=π l[(\frac{D}{2})^2-(\frac{d}{2})^2]$
$=\frac{1}{4}π l(D+d)(D-d)$
$=\frac{1}{4}×3.14×300×(75+45)×(75-45)$
$=847\ 800\ (\mathrm{cm}^3).$
$847\ 800\ \mathrm{cm}^3=0.847\ 8\ \mathrm{m}^3\approx0.85\ \mathrm{m}^3.$
答：浇制一节这样的管道约需要 $0.85\ \mathrm{m}^3$的混凝土.
解析
【分析】
要计算浇制一节管道所需混凝土的体积，本质是求空心圆柱的体积，即外圆柱体积减去内圆柱体积。先根据圆柱体积公式列出表达式，再利用因式分解简化计算，最后注意单位转换，将结果从立方厘米换算为立方米并按要求取近似值。
【解析】
浇制一节管道需要的混凝土体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积，根据圆柱体积公式$V = S · l$（$S$为底面积，$l$为长），可得：
$\begin{aligned}V&=π(\frac{D}{2})^2 l - π(\frac{d}{2})^2 l\\&=π l[(\frac{D}{2})^2 - (\frac{d}{2})^2]\\&=\frac{1}{4}π l(D + d)(D - d)\end{aligned}$
代入$d=45\ \mathrm{cm}$，$D=75\ \mathrm{cm}$，$l=300\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$计算：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × (75 + 45) × (75 - 45)\\&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × 120 × 30\\&=847800\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
单位转换：$1\ \mathrm{m}^3 = 10^6\ \mathrm{cm}^3$，则$847800\ \mathrm{cm}^3 = 0.8478\ \mathrm{m}^3 \approx 0.85\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
约$0.85\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
因式分解的应用，圆柱体积计算，单位换算
【点评】
本题结合实际工程问题，考查因式分解在简化计算中的应用，核心是理解空心圆柱体积的计算方法，正确运用平方差公式分解因式，需注意单位统一，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要计算浇制一节管道所需混凝土的体积，本质是求空心圆柱的体积，即外圆柱体积减去内圆柱体积。先根据圆柱体积公式列出表达式，再利用因式分解简化计算，最后注意单位转换，将结果从立方厘米换算为立方米并按要求取近似值。
【解析】
浇制一节管道需要的混凝土体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积，根据圆柱体积公式$V = S · l$（$S$为底面积，$l$为长），可得：
$\begin{aligned}V&=π(\frac{D}{2})^2 l - π(\frac{d}{2})^2 l\\&=π l[(\frac{D}{2})^2 - (\frac{d}{2})^2]\\&=\frac{1}{4}π l(D + d)(D - d)\end{aligned}$
代入$d=45\ \mathrm{cm}$，$D=75\ \mathrm{cm}$，$l=300\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$计算：
$\begin{aligned}V&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × (75 + 45) × (75 - 45)\\&=\frac{1}{4} × 3.14 × 300 × 120 × 30\\&=847800\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
单位转换：$1\ \mathrm{m}^3 = 10^6\ \mathrm{cm}^3$，则$847800\ \mathrm{cm}^3 = 0.8478\ \mathrm{m}^3 \approx 0.85\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
约$0.85\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
因式分解的应用，圆柱体积计算，单位换算
【点评】
本题结合实际工程问题，考查因式分解在简化计算中的应用，核心是理解空心圆柱体积的计算方法，正确运用平方差公式分解因式，需注意单位统一，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5
1.（安徽中考）多项式$mx^2 - m$与多项式$x^2 - 2x + 1$的公因式是（
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x^2 -1$
D.$(x-1)^2$
A
）.A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x^2 -1$
D.$(x-1)^2$
答案
1.A
解析
【分析】要确定两个多项式的公因式，需先分别对两个多项式进行因式分解，再对比分解结果找出共同的因式。先对$mx^2 - m$用提公因式法和平方差公式分解，再对$x^2 -2x +1$用完全平方公式分解，最后提取公共因式即可。
【解析】
1. 分解多项式$mx^2 - m$：
$mx^2 - m = m(x^2 -1) = m(x-1)(x+1)$；
2. 分解多项式$x^2 -2x +1$：
$x^2 -2x +1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$；
3. 对比两个分解式，公共因式为$x-1$，因此公因式是$x-1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解、公因式
【点评】本题考查多项式公因式的确定，核心是掌握提公因式法、公式法分解多项式的技能，属于中考基础题型，难度较低，是学生需熟练掌握的基础考点。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 分解多项式$mx^2 - m$：
$mx^2 - m = m(x^2 -1) = m(x-1)(x+1)$；
2. 分解多项式$x^2 -2x +1$：
$x^2 -2x +1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$；
3. 对比两个分解式，公共因式为$x-1$，因此公因式是$x-1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解、公因式
【点评】本题考查多项式公因式的确定，核心是掌握提公因式法、公式法分解多项式的技能，属于中考基础题型，难度较低，是学生需熟练掌握的基础考点。
【难度系数】0.7
2.（吉林中考）把多项式$x^2 -6x +9$分解因式，结果正确的是（
A.$(x-3)^2$
B.$(x-9)^2$
C.$(x+3)(x-3)$
D.$(x+9)(x-9)$
A
）.A.$(x-3)^2$
B.$(x-9)^2$
C.$(x+3)(x-3)$
D.$(x+9)(x-9)$
答案
2.A
解析
【分析】首先观察多项式$x^2 -6x +9$的结构，回忆因式分解的常用公式：完全平方差公式为$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。本题中多项式首项为$x^2$，末项为$9=3^2$，中间项为$-6x=-2· x·3$，符合完全平方差公式的结构，据此分解后逐一排除错误选项即可。
【解析】对多项式$x^2 -6x +9$分解因式：
$x^2 -6x +9 = x^2 - 2· x·3 + 3^2$，符合完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$（其中$a=x$，$b=3$），因此分解结果为$(x - 3)^2$。
再分析各选项：
选项B：$(x-9)^2=x^2 -18x +81$，与原式不符，错误；
选项C：$(x+3)(x-3)=x^2 -9$，与原式不符，错误；
选项D：$(x+9)(x-9)=x^2 -81$，与原式不符，错误；
只有选项A正确。
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式，因式分解
【点评】本题是中考基础题型，主要考查完全平方公式的应用，难度较低，熟练掌握因式分解的基本公式即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】对多项式$x^2 -6x +9$分解因式：
$x^2 -6x +9 = x^2 - 2· x·3 + 3^2$，符合完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$（其中$a=x$，$b=3$），因此分解结果为$(x - 3)^2$。
再分析各选项：
选项B：$(x-9)^2=x^2 -18x +81$，与原式不符，错误；
选项C：$(x+3)(x-3)=x^2 -9$，与原式不符，错误；
选项D：$(x+9)(x-9)=x^2 -81$，与原式不符，错误；
只有选项A正确。
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式，因式分解
【点评】本题是中考基础题型，主要考查完全平方公式的应用，难度较低，熟练掌握因式分解的基本公式即可快速解答。
【难度系数】0.9
