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3.（河北中考）若k为任意整数，则$(2k+3)^2 -4k^2$的值总能（
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
B
）。A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查代数式化简与整除的判断，解题思路为先对给出的代数式进行化简，可利用平方差公式或者直接展开完全平方公式，合并同类项得到最简结果，再分析最简结果的因数特征，即可判断其能被哪个整数整除。
【解析】
我们可以通过整式运算化简原式：
方法1：利用平方差公式化简
观察式子可知$(2k+3)^2 -4k^2=(2k+3)^2-(2k)^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=2k+3$，$b=2k$，代入得：
$\begin{aligned}(2k+3)^2-(2k)^2&=(2k+3-2k)(2k+3+2k)\\&=3×(4k+3)\end{aligned}$
方法2：直接展开完全平方化简
$\begin{aligned}(2k+3)^2 -4k^2&=4k^2+12k+9-4k^2\\&=12k+9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
因为$k$为任意整数，所以$4k+3$是整数，因此$3(4k+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过整式运算将原式化简为乘积形式，再根据因数特征判断整除性，熟练掌握整式的乘法公式及运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式化简与整除的判断，解题思路为先对给出的代数式进行化简，可利用平方差公式或者直接展开完全平方公式，合并同类项得到最简结果，再分析最简结果的因数特征，即可判断其能被哪个整数整除。
【解析】
我们可以通过整式运算化简原式：
方法1：利用平方差公式化简
观察式子可知$(2k+3)^2 -4k^2=(2k+3)^2-(2k)^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=2k+3$，$b=2k$，代入得：
$\begin{aligned}(2k+3)^2-(2k)^2&=(2k+3-2k)(2k+3+2k)\\&=3×(4k+3)\end{aligned}$
方法2：直接展开完全平方化简
$\begin{aligned}(2k+3)^2 -4k^2&=4k^2+12k+9-4k^2\\&=12k+9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
因为$k$为任意整数，所以$4k+3$是整数，因此$3(4k+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过整式运算将原式化简为乘积形式，再根据因数特征判断整除性，熟练掌握整式的乘法公式及运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.（安徽中考）已知三个实数$a$，$b$，$c$满足$a - 2b + c = 0$，$a + 2b + c ＜ 0$，则（
A.$b ＞ 0$，$b^2 - ac ≤ 0$
B.$b ＜ 0$，$b^2 - ac ≤ 0$
C.$b ＞ 0$，$b^2 - ac ≥ 0$
D.$b ＜ 0$，$b^2 - ac ≥ 0$
D
）。A.$b ＞ 0$，$b^2 - ac ≤ 0$
B.$b ＜ 0$，$b^2 - ac ≤ 0$
C.$b ＞ 0$，$b^2 - ac ≥ 0$
D.$b ＜ 0$，$b^2 - ac ≥ 0$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先运用整体思想，观察已知的两个式子都含有a+c的整体结构，首先从第一个等式推导出a+c与b的关系，代入第二个不等式即可判断b的正负；再将b用a、c表示后代入b²-ac，利用完全平方公式配方，根据平方的非负性即可判断b²-ac的符号，进而选出正确选项。
【解析】
1. 求b的符号：
已知$a - 2b + c = 0$，移项可得$a + c = 2b$。
将$a + c = 2b$代入不等式$a + 2b + c ＜ 0$，得：
$(a+c) + 2b ＜ 0$，即$2b + 2b ＜ 0$，化简得$4b ＜ 0$，因此$b ＜ 0$。
2. 判断$b^2 - ac$的符号：
由$a + c = 2b$得$b = \frac{a+c}{2}$，代入$b^2 - ac$得：
$b^2 - ac = (\frac{a+c}{2})^2 - ac = \frac{a^2 + 2ac + c^2}{4} - ac = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{4} = \frac{(a-c)^2}{4}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(a-c)^2 ≥ 0$，
∴ $\frac{(a-c)^2}{4} ≥ 0$，即$b^2 - ac ≥ 0$。
综上可得$b ＜ 0$，$b^2 - ac ≥ 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的性质，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题侧重考查整体代入思想和配方法的应用，将a+c作为整体代入能快速简化计算，通过配方结合平方的非负性判断代数式正负是解题的关键，是代数运算的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先运用整体思想，观察已知的两个式子都含有a+c的整体结构，首先从第一个等式推导出a+c与b的关系，代入第二个不等式即可判断b的正负；再将b用a、c表示后代入b²-ac，利用完全平方公式配方，根据平方的非负性即可判断b²-ac的符号，进而选出正确选项。
【解析】
1. 求b的符号：
已知$a - 2b + c = 0$，移项可得$a + c = 2b$。
将$a + c = 2b$代入不等式$a + 2b + c ＜ 0$，得：
$(a+c) + 2b ＜ 0$，即$2b + 2b ＜ 0$，化简得$4b ＜ 0$，因此$b ＜ 0$。
2. 判断$b^2 - ac$的符号：
由$a + c = 2b$得$b = \frac{a+c}{2}$，代入$b^2 - ac$得：
$b^2 - ac = (\frac{a+c}{2})^2 - ac = \frac{a^2 + 2ac + c^2}{4} - ac = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{4} = \frac{(a-c)^2}{4}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(a-c)^2 ≥ 0$，
∴ $\frac{(a-c)^2}{4} ≥ 0$，即$b^2 - ac ≥ 0$。
综上可得$b ＜ 0$，$b^2 - ac ≥ 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的性质，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题侧重考查整体代入思想和配方法的应用，将a+c作为整体代入能快速简化计算，通过配方结合平方的非负性判断代数式正负是解题的关键，是代数运算的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
5.（安徽中考）把多项式$4ax^2 - 9ay^2$分解因式的结果是
$a(2x+3y)(2x-3y)$
。答案
5.$a(2x+3y)(2x-3y)$
解析
【分析】
对多项式进行因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后余下的式子的结构，匹配对应的乘法公式继续分解；第三步检查最终结果，确保每个因式都无法再分解。本题中多项式两项均含有公因式a，先提取a后余下的$4x^2-9y^2$符合平方差公式的特征，可继续用平方差公式分解。
【解析】
解：$4ax^2 - 9ay^2$
① 提取公因式$a$：
$=a(4x^2 - 9y^2)$
② 对括号内的式子套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中$m=2x$，$n=3y$：
$=a(2x+3y)(2x-3y)$
分解后各因式均无法继续分解，因式分解完成。
【答案】
$a(2x+3y)(2x-3y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心是牢记因式分解的操作顺序，提取公因式后要确认余下的式子是否能继续用公式分解，保证最终结果分解彻底。
【难度系数】
0.85
对多项式进行因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后余下的式子的结构，匹配对应的乘法公式继续分解；第三步检查最终结果，确保每个因式都无法再分解。本题中多项式两项均含有公因式a，先提取a后余下的$4x^2-9y^2$符合平方差公式的特征，可继续用平方差公式分解。
【解析】
解：$4ax^2 - 9ay^2$
① 提取公因式$a$：
$=a(4x^2 - 9y^2)$
② 对括号内的式子套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中$m=2x$，$n=3y$：
$=a(2x+3y)(2x-3y)$
分解后各因式均无法继续分解，因式分解完成。
【答案】
$a(2x+3y)(2x-3y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心是牢记因式分解的操作顺序，提取公因式后要确认余下的式子是否能继续用公式分解，保证最终结果分解彻底。
【难度系数】
0.85
6.（湖北中考）分解因式：$(m+n)^2 -6(m+n)+9=$
$(m+n-3)^2$
.答案
6.$(m+n-3)^2$
解析
【分析】
解题时先观察多项式的结构特征：该式为三项式，可优先考虑用完全平方公式分解因式。我们可以将$m+n$看作一个整体，对应完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$中的$a$，再看常数项9是$3^2$，对应公式中的$b^2$，验证中间项$-6(m+n)$刚好等于$-2×(m+n)×3$，符合完全平方差公式的结构，因此可以直接套用公式求解。
【解析】
将$m+n$视为整体，原式可变形为：
$\begin{aligned}&(m+n)^2 - 2×(m+n)×3 + 3^2\\=&(m+n - 3)^2\end{aligned}$
【答案】
$(m+n-3)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是树立整体意识，将多项式中重复出现的整式看作一个整体套用公式，熟练掌握公式特征即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时先观察多项式的结构特征：该式为三项式，可优先考虑用完全平方公式分解因式。我们可以将$m+n$看作一个整体，对应完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$中的$a$，再看常数项9是$3^2$，对应公式中的$b^2$，验证中间项$-6(m+n)$刚好等于$-2×(m+n)×3$，符合完全平方差公式的结构，因此可以直接套用公式求解。
【解析】
将$m+n$视为整体，原式可变形为：
$\begin{aligned}&(m+n)^2 - 2×(m+n)×3 + 3^2\\=&(m+n - 3)^2\end{aligned}$
【答案】
$(m+n-3)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是树立整体意识，将多项式中重复出现的整式看作一个整体套用公式，熟练掌握公式特征即可快速得分。
【难度系数】
0.85
7.（广东中考）分解因式：$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy.$
答案
7. 解：$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$
$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$
$=x^2-16y^2$
$=(x+4y)(x-4y).$
$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$
$=x^2-16y^2$
$=(x+4y)(x-4y).$
解析
【分析】
解题时先遵循整式运算规则去除原式中的括号，注意去括号时的符号变化；接下来合并同类项，将原式化简为最简多项式；最后观察化简后多项式的特征，发现其符合平方差公式的结构，套用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$
$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$
$=x^2-16y^2$
$=(x+4y)(x-4y)$
【答案】
$(x+4y)(x-4y)$
【知识点】
整式去括号，合并同类项，平方差公式因式分解
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式化简和因式分解的应用，解题关键是正确完成去括号、合并同类项的运算，再根据化简后的式子结构选择对应的因式分解方法，计算时要注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.75
解题时先遵循整式运算规则去除原式中的括号，注意去括号时的符号变化；接下来合并同类项，将原式化简为最简多项式；最后观察化简后多项式的特征，发现其符合平方差公式的结构，套用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$8(x^2 - 2y^2) - x(7x + y) + xy$
$=8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$
$=x^2-16y^2$
$=(x+4y)(x-4y)$
【答案】
$(x+4y)(x-4y)$
【知识点】
整式去括号，合并同类项，平方差公式因式分解
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式化简和因式分解的应用，解题关键是正确完成去括号、合并同类项的运算，再根据化简后的式子结构选择对应的因式分解方法，计算时要注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.75
8.（河北中考）有一道电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上$a^2$，同时B区就会自动减去$3a$，且均显示化简后的结果. 已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图17-3①.
如图17-3②，第一次按键后，A，B两区分别显示为$25+a^2$，$-16-3a$.
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.
如图17-3②，第一次按键后，A，B两区分别显示为$25+a^2$，$-16-3a$.
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.
答案
8. 解：(1) A区显示的结果为 $25+2a^2$，B区显示的结果为$-16-6a.$
(2) 这个和不能为负数. 理由如下：
根据题意，得 $25+4a^2+(-16-12a)=25+4a^2-16-12a=4a^2-12a+9$
$=(2a-3)^2.$
$\because (2a-3)^2≥0,$
$\therefore$ 这个和不能为负数.
(2) 这个和不能为负数. 理由如下：
根据题意，得 $25+4a^2+(-16-12a)=25+4a^2-16-12a=4a^2-12a+9$
$=(2a-3)^2.$
$\because (2a-3)^2≥0,$
$\therefore$ 这个和不能为负数.
解析
【分析】
（1）根据按键规则，每按1次A区加$a^2$、B区减$3a$，按2次时分别在初始值基础上累加2次对应变化量，即可求出两区的显示结果。
（2）先写出按4次后A、B两区的代数式，再求和并合并同类项，将得到的多项式利用完全平方公式因式分解，结合平方数的非负性即可判断和是否能为负数。
【解析】
(1) 按2次按键后，A区显示结果为初始值加2个$a^2$：
$25+a^2+a^2=25+2a^2$
B区显示结果为初始值减2个$3a$：
$-16-3a-3a=-16-6a$
(2) 按4次按键后，A区代数式为$25+4a^2$，B区代数式为$-16-12a$，两区代数式的和为：
$\begin{aligned}&25+4a^2+(-16-12a)\\=&25+4a^2-16-12a\\=&4a^2-12a+9\\=&(2a-3)^2\end{aligned}$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(2a-3)^2≥0$，
$\therefore$ 这个和最小为0，不可能是负数。
【答案】
(1) A区：$25+2a^2$，B区：$-16-6a$；
(2) 这个和不能为负数。
【知识点】
列代数式，整式加减运算，完全平方公式
【点评】
本题以趣味程序操作为命题背景，考查了整式运算和完全平方非负性的应用，解题关键是准确梳理操作次数和代数式变化的对应关系，能有效考查学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据按键规则，每按1次A区加$a^2$、B区减$3a$，按2次时分别在初始值基础上累加2次对应变化量，即可求出两区的显示结果。
（2）先写出按4次后A、B两区的代数式，再求和并合并同类项，将得到的多项式利用完全平方公式因式分解，结合平方数的非负性即可判断和是否能为负数。
【解析】
(1) 按2次按键后，A区显示结果为初始值加2个$a^2$：
$25+a^2+a^2=25+2a^2$
B区显示结果为初始值减2个$3a$：
$-16-3a-3a=-16-6a$
(2) 按4次按键后，A区代数式为$25+4a^2$，B区代数式为$-16-12a$，两区代数式的和为：
$\begin{aligned}&25+4a^2+(-16-12a)\\=&25+4a^2-16-12a\\=&4a^2-12a+9\\=&(2a-3)^2\end{aligned}$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(2a-3)^2≥0$，
$\therefore$ 这个和最小为0，不可能是负数。
【答案】
(1) A区：$25+2a^2$，B区：$-16-6a$；
(2) 这个和不能为负数。
【知识点】
列代数式，整式加减运算，完全平方公式
【点评】
本题以趣味程序操作为命题背景，考查了整式运算和完全平方非负性的应用，解题关键是准确梳理操作次数和代数式变化的对应关系，能有效考查学生的运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
