7. 利用因式分解可以知道，$17^4 - 15^4$能够被某个数整除，这个数是（）。

A.18
B.28
C.36
D.64

7. D

【分析】
遇到判断两个数的乘方差能被哪个数整除的问题时，优先通过因式分解将原式转化为多个因数乘积的形式，再匹配选项中的公因数即可。本题中$17^4-15^4$符合平方差公式的结构特征，可先将四次方变形为平方的平方，第一次用平方差公式分解后，得到的$17^2-15^2$仍然是平方差的形式，可再次运用平方差公式分解，最后计算各因式的数值就能找到对应的整除因数。
【解析】
对$17^4 - 15^4$因式分解：
$\begin{aligned}17^4 - 15^4&=(17^2)^2 - (15^2)^2\\&=(17^2 - 15^2)(17^2 + 15^2) \quad \mathrm{（第一次运用平方差公式）}\\&=(17 - 15)(17 + 15)(17^2 + 15^2) \quad \mathrm{（第二次运用平方差公式）}\end{aligned}$
计算各因式的数值：
$17-15=2$，$17+15=32$，$17^2+15^2=289+225=514$
代入得：原式$=2×32×514=64×514$
因此$17^4 - 15^4$是64的倍数，能被64整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题核心考查平方差公式在整除问题中的应用，只要熟练掌握平方差公式“两个数的平方差等于两数和乘两数差”的结构特征，多次套用公式分解后即可快速求解，注意计算因式数值时不要出错。
【难度系数】
0.7

8. 分解因式：
(1) $(2x+y)^2 - (x+2y)^2$；
(2) $(2ab+1)^2 - a^4b^4$。

8. 解：(1) $(2x+y)^2-(x+2y)^2$
$=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]$
$=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y).$
(2) $(2ab+1)^2-a^4b^4=(2ab+1+a^2b^2)(2ab+1-a^2b^2)=(ab+1)^2(2ab+1-a^2b^2).$

【分析】
本题考查运用公式法分解因式，解题思路如下：
(1) 观察式子结构，发现是两个整式的平方作差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，可将$2x+y$看作整体$a$，$x+2y$看作整体$b$，先套用平方差公式展开，再合并同类项，最后检查是否有公因式可提，保证分解彻底。
(2) 先将$a^4b^4$变形为$(a^2b^2)^2$，此时式子也符合平方差公式的形式，先套用平方差公式分解为两个因式的乘积，再观察分解后的因式，发现其中$a^2b^2+2ab+1$符合完全平方公式的结构，继续用完全平方公式分解，剩余因式不能再分解即可停止。
【解析】
(1) $(2x+y)^2 - (x+2y)^2$
根据平方差公式变形得：
$=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]$
合并两个括号内的同类项：
$=(3x+3y)(x-y)$
提取公因式3得：
$=3(x+y)(x-y)$
(2) $(2ab+1)^2 - a^4b^4$
先将$a^4b^4$改写为$(a^2b^2)^2$，套用平方差公式得：
$=(2ab+1+a^2b^2)(2ab+1-a^2b^2)$
第一个因式$a^2b^2+2ab+1$符合完全平方公式，分解得：
$=(ab+1)^2(2ab+1-a^2b^2)$
【答案】
(1) $3(x+y)(x-y)$
(2) $(ab+1)^2(2ab+1-a^2b^2)$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，核心是学会观察式子的结构特征，灵活运用整体思想将复杂式子看作整体套用乘法公式，分解过程中要注意检查每一步的因式是否还能继续分解，保证分解结果彻底。
【难度系数】
0.7

9. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法. 下面是某同学对多项式$(x^2+2x)(x^2+2x+2)+1$进行因式分解的过程. 将“$x^2+2x$”看成一个整体，令$x^2+2x=y$，则原式$=y^2+2y+1=(y+1)^2$，再将“$y$”还原即可.
解：设$x^2+2x=y$，
原式$=y(y+2)+1$
$=y^2+2y+1$
$=(y+1)^2$
$=(x^2+2x+1)^2$.
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果________；
②请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^2-4x)(x^2-4x+8)+16$进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：
$(1-2-3-···-2025)×(2+3+···+2026)-(1-2-3-···-2026)×(2+3+···+2025)$.

9. 解：(1) ①$(x+1)^4$
②设$x^2-4x=y$，
原式$=y(y+8)+16$
$=y^2+8y+16=(y+4)^2=(x^2-4x+4)^2=(x-2)^4.$
(2) 设$x=1-2-3-\dots-2\ 025$，
$y=2+3+\dots+2\ 026$，
则$1-2-3-\dots-2\ 026=x-2\ 026$，
$2+3+\dots+2\ 025=y-2\ 026$，
$x+y=1+2\ 026=2\ 027.$
所以原式$=xy-(x-2\ 026)(y-2\ 026)$
$=xy-xy+2\ 026(x+y)-2\ 026^2=2\ 026×2\ 027-2\ 026^2=2\ 026×(2\ 027-2\ 026)=2\ 026.$

【分析】
本题核心考查整体换元思想的应用，解题思路如下：
（1）①观察该同学的分解结果$(x^2+2x+1)^2$，其中$x^2+2x+1$还可以用完全平方公式继续分解，因此因式分解未完成，进一步分解即可得到最终结果；
（1）②模仿题中给出的换元方法，将重复出现的$x^2-4x$整体设为$y$，代入原式后先展开整理，再用完全平方公式因式分解，最后将$y$还原为$x^2-4x$，继续分解至不能再分解为止；
（2）观察式子中重复出现的长算式，将$1-2-3-\dots-2025$设为$x$，$2+3+\dots+2026$设为$y$，把剩余的两个长算式用含$x$、$y$的式子表示，代入原式后展开化简，结合$x+y$的数值即可快速算出结果，避免计算长数列的和。
【解析】
(1) ①该同学得到的$(x^2+2x+1)^2$可继续分解：
$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此$(x^2+2x+1)^2=[(x+1)^2]^2=(x+1)^4$。
②设$x^2-4x=y$，
原式$=y(y+8)+16$
$=y^2+8y+16$
$=(y+4)^2$
将$y=x^2-4x$代回得：
$(x^2-4x+4)^2=[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$。
(2) 设$x=1-2-3-\dots-2025$，$y=2+3+\dots+2026$，
则$1-2-3-\dots-2026=x-2026$，$2+3+\dots+2025=y-2026$，
且$x+y=1+2026=2027$。
原式$=xy-(x-2026)(y-2026)$
$=xy-(xy-2026x-2026y+2026^2)$
$=2026x+2026y-2026^2$
$=2026(x+y)-2026^2$
代入$x+y=2027$得：
$2026×2027 - 2026^2=2026×(2027-2026)=2026$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{(x+1)^4}$；②$\boldsymbol{(x-2)^4}$；(2) $\boldsymbol{2026}$
【知识点】
换元法，公式法因式分解，整式化简运算
【点评】
本题重点考查整体换元思想在因式分解和整式计算中的应用，通过将重复出现的复杂部分设为新变量，可有效简化运算过程，解题时需注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，换元时要准确梳理各表达式之间的数量关系。
【难度系数】
0.6