1. 分解因式：$x^4 - y^4 =$ .

1. $(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

【分析】
观察式子结构，$x^4$可变形为$(x^2)^2$，$y^4$可变形为$(y^2)^2$，整体符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，首先用平方差公式完成第一次分解；分解后得到的因式$x^2-y^2$仍然符合平方差公式的结构，需要继续分解，直到所有多项式因式都不能再分解为止，即可得到最终结果。
【解析】
解：$x^4 - y^4$
$=(x^2)^2 - (y^2)^2$
$=(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
$=(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
【答案】
$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，主要考查对平方差公式的掌握，解题时要注意因式分解必须进行到每个多项式因式都不能再分解为止，避免仅分解到$(x^2+y^2)(x^2-y^2)$就停止的错误。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：$3ax^2 + 6axy + 3ay^2 =$ .

2. $3a(x+y)^2$

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项均含公因式3a，因此优先提取公因式；提取公因式后得到的多项式为$x^2+2xy+y^2$，其结构符合完全平方公式“两个数的平方和加两个数乘积的2倍，等于两数和的平方”的特征，可继续用完全平方公式分解，最后确认分解结果不能再分解即可。
【解析】
解：$3ax^2 + 6axy + 3ay^2$
$=3a(x^2+2xy+y^2)$（提取公因式$3a$）
$=3a(x+y)^2$（利用完全平方公式分解）
【答案】
$3a(x+y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础常规题，考查分解因式的基本操作流程，解题时需牢记先提公因式、再套用公式、最后检查分解是否彻底的原则，避免出现漏提公因式或分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8

3. 分解因式：$(a-b)^2 + 4ab =$.

3. $(a+b)^2$

【分析】
解题时先观察式子结构，式子包含$(a-b)$的平方项与单项式$4ab$，首先可以利用完全平方公式将$(a-b)^2$展开，再合并同类项整理多项式，最后判断整理后的式子符合完全平方公式的结构，逆用公式完成因式分解即可。
【解析】
第一步：展开完全平方项
$\begin{aligned}(a-b)^2 + 4ab &= a^2 - 2ab + b^2 + 4ab\end{aligned}$
第二步：合并同类项
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2 + 4ab &= a^2 + 2ab + b^2\end{aligned}$
第三步：逆用完全平方和公式分解因式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
所得结果为最简整式乘积形式，无需继续分解。
【答案】
$(a+b)^2$
【知识点】
完全平方公式，合并同类项，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查完全平方公式的正向展开与逆向运用，解题时需要先对原式展开化简，再匹配对应的因式分解公式，注意合并同类项时计算准确，因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9

1. 把$2xy - x^2 - y^2$分解因式，结果正确的是（）。

A.$(x-y)^2$
B.$(-x-y)^2$
C.$-(x-y)^2$
D.$-(x+y)^2$

1. C

【分析】
首先观察待分解的多项式，包含$x^2$、$y^2$两个平方项，还有$2xy$项，符合完全平方公式的项的特征，但平方项的符号为负，因此先考虑提取负号，将多项式变形为含正平方项的形式，再对照完全平方公式进行分解，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
解：先对多项式变形，调整项的顺序并提取负号：
$2xy - x^2 - y^2 = -x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$
根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，此处$a=x$，$b=y$，因此$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
代入得原式$= -(x - y)^2$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题时要注意观察多项式的符号特征，平方项系数为负时可先提取负号，再套用乘法公式，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：$x^3 -4x^2 +4x = ( )$.

A.$x(x-2)^2$
B.$x(x^2 -4x +4)$
C.$2x(x-2)^2$
D.$x(x^2 -2x +4)$

2. A

【分析】
分解因式的基本思路是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先提取公因式，再判断剩余部分是否为完全平方式即可求解。
【解析】
解：对多项式$x^3 -4x^2 +4x$分解因式：
1. 提取公因式$x$，可得：
$x^3 -4x^2 +4x = x(x^2 - 4x + 4)$
2. 观察括号内的二次三项式$x^2 -4x +4$，符合完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$的特征，其中$a=x$，$b=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
3. 整合结果得原式$=x(x-2)^2$。
其余选项验证：选项B未将$x^2-4x+4$继续分解，分解不彻底；选项C错误提取公因式2，原式无公因式2；选项D中$x^2-2x+4$不符合完全平方公式，与原式展开结果不符，均错误。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本操作，解题时要牢记分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8

3. 把$8a^3 -8a^2 +2a$进行因式分解，结果正确的是（）。

A.$2a(4a^2 -4a +1)$
B.$8a^2(a-1)$
C.$2a(2a-1)^2$
D.$2a(2a+1)^2$

3. C

【分析】
解决这道因式分解题，可按照因式分解的常规步骤“一提、二套、三查”思考：第一步先观察多项式各项，提取公因式；第二步再判断提取公因式后的多项式是否符合乘法公式的特征，套用公式继续分解；第三步检查是否分解到不能再分解为止，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
1. 提取公因式：观察多项式$8a^3 -8a^2 +2a$，各项系数的最大公因数是2，各项均含有字母$a$且$a$的最低次幂是1，因此公因式为$2a$。
提取公因式后可得：$8a^3 -8a^2 +2a=2a(4a^2-4a+1)$。
2. 套用完全平方公式继续分解：观察括号内的$4a^2-4a+1$，其中$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，中间项$-4a=-2×2a×1$，符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的特征（此处$m=2a$，$n=1$），因此$4a^2-4a+1=(2a-1)^2$。
3. 整理得到最终分解结果：$8a^3 -8a^2 +2a=2a(2a-1)^2$。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意先提取完整公因式，再根据剩余多项式的结构匹配对应公式，必须分解到每一个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7

4. 分解因式：$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 =$ .

4. $(x+y)^2(x-y)^2$

【分析】
首先观察待分解的多项式结构：该式共有三项，首尾两项$x^4=(x^2)^2$、$y^4=(y^2)^2$都是平方形式且符号为正，中间项$-2x^2y^2$恰好是$x^2$与$y^2$乘积的2倍的相反数，完全符合完全平方差公式的特征，因此第一步可先用完全平方公式分解；分解后得到因式$x^2-y^2$，它符合平方差公式的特征，还能继续分解，最后整理结果即可，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
$\begin{aligned}x^4 - 2x^2y^2 + y^4&=(x^2)^2 - 2· x^2· y^2 + (y^2)^2\\&=(x^2 - y^2)^2\\&=[(x+y)(x-y)]^2\\&=(x+y)^2(x-y)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是公式法分解因式的常规题型，解题核心是熟练掌握两个乘法公式的结构特征，易错点是分解到$(x^2-y^2)^2$就停止，忽略因式可继续分解，需牢记因式分解要彻底的要求。
【难度系数】
0.7

5. 分解因式：$-ax^{2}+2a^{2}x-a^{3}=$.

5. $-a(x-a)^2$

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路，首先观察多项式：各项均含有公因式$-a$，且首项系数为负，优先提取公因式$-a$，将原式转化为$-a$乘二次三项式的形式；再观察提取公因式后得到的二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，可套用公式继续分解，最后验证分解是否彻底即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式$-a$：
$-ax^2 + 2a^2x - a^3 = -a(x^2 - 2ax + a^2)$
第二步，套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，令$m=x$、$n=a$，可得：
$x^2 - 2ax + a^2=(x-a)^2$
综上，原式分解结果为$-a(x-a)^2$。
【答案】
$\boldsymbol{-a(x-a)^2}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是分解因式的基础题型，考查分解因式的常规步骤，解题时要注意提取负公因式时括号内各项需变号，最终分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8

6. 分解因式：
(1) $(p+1)(p-4)+3p$；
(2) $x^2y-4y$；
(3) $m^4-18m^2+81$；
(4) $(2ab+1)^2-1$。

6. 解：(1) $(p+1)(p-4)+3p$
$=p^2-3p-4+3p$
$=p^2-4$
$=(p+2)(p-2).$
(2) $x^2y-4y=y(x^2-4)=y(x+2)(x-2).$
(3) $m^4-18m^2+81=(m^2-9)^2=(m+3)^2·(m-3)^2.$
(4) $(2ab+1)^2-1=4a^2b^2+4ab+1-1=4a^2b^2+4ab=4ab(ab+1).$

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步判断提取公因式后（或无公因式的原式）能否套用平方差公式或完全平方公式分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能继续分解，需分解到无法再分解为止。
各小题具体思考路径：
(1) 原式含多项式乘积，先按多项式乘法法则展开，合并同类项后得到平方差结构，再套用平方差公式分解；
(2) 原式有公因式y，先提取公因式，剩余的$x^2-4$是平方差结构，再套用平方差公式分解；
(3) 原式是三项式，符合完全平方公式的结构特征，先套用完全平方公式分解，得到的$m^2-9$仍可继续用平方差公式分解，最终结果要写成幂的形式；
(4) 可直接套用平方差公式分解，也可先展开完全平方、合并同类项后再提取公因式，两种方法均可，注意要分解彻底。
【解析】
(1) 先展开乘积、合并同类项，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}(p+1)(p-4)+3p&=p^2-3p-4+3p\\&=p^2-4\\&=(p+2)(p-2)\end{aligned}$
(2) 先提公因式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}x^2y-4y&=y(x^2-4)\\&=y(x+2)(x-2)\end{aligned}$
(3) 先用完全平方公式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}m^4-18m^2+81&=(m^2-9)^2\\&=[(m+3)(m-3)]^2\\&=(m+3)^2(m-3)^2\end{aligned}$
(4) 先展开完全平方、合并同类项，再提公因式分解：
$\begin{aligned}(2ab+1)^2-1&=4a^2b^2+4ab+1-1\\&=4a^2b^2+4ab\\&=4ab(ab+1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(p+2)(p-2)}$
(2) $\boldsymbol{y(x+2)(x-2)}$
(3) $\boldsymbol{(m+3)^2(m-3)^2}$
(4) $\boldsymbol{4ab(ab+1)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础训练题，考查因式分解的常规操作步骤，解题时要注意遵循先提公因式、再套公式的顺序，分解完成后要检查是否分解彻底，避免出现因式还能继续分解却中途停止的错误。
【难度系数】
0.75