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8. 若$x^2+(m-3)x+4$是完全平方式，则$m$的值是（
A.7
B.－1
C.$\pm7$
D.7或－1
D
）.A.7
B.－1
C.$\pm7$
D.7或－1
答案
8. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含完全平方和、完全平方差两种形式，对应中间项有正负两种可能。本题中给定的二次三项式首项为$x^2$，常数项为$4=2^2$，只需要让一次项系数对应完全平方式里的$\pm2ab$，列方程求解即可，注意不要漏了中间项为负的情况。
【解析】
完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，对比$x^2+(m-3)x+4$：
1. 确定对应部分：首项$x^2=a^2$，得$a=x$；常数项$4=2^2=b^2$，得$b=2$；
2. 一次项对应$\pm2ab$，即$(m-3)x=\pm2· x·2=\pm4x$，因此系数满足：
$m-3=4$ 或 $m-3=-4$；
3. 分别解方程：
当$m-3=4$时，$m=4+3=7$；
当$m-3=-4$时，$m=-4+3=-1$；
综上，$m$的值为7或-1。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的结构，一元一次方程的解法
【点评】
本题核心考查对完全平方式结构的理解，易错点是仅考虑完全平方和的情况，遗漏完全平方差的形式导致漏解，做题时要牢记完全平方式有两种形式，对应中间项系数有正负两种取值可能。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含完全平方和、完全平方差两种形式，对应中间项有正负两种可能。本题中给定的二次三项式首项为$x^2$，常数项为$4=2^2$，只需要让一次项系数对应完全平方式里的$\pm2ab$，列方程求解即可，注意不要漏了中间项为负的情况。
【解析】
完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，对比$x^2+(m-3)x+4$：
1. 确定对应部分：首项$x^2=a^2$，得$a=x$；常数项$4=2^2=b^2$，得$b=2$；
2. 一次项对应$\pm2ab$，即$(m-3)x=\pm2· x·2=\pm4x$，因此系数满足：
$m-3=4$ 或 $m-3=-4$；
3. 分别解方程：
当$m-3=4$时，$m=4+3=7$；
当$m-3=-4$时，$m=-4+3=-1$；
综上，$m$的值为7或-1。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的结构，一元一次方程的解法
【点评】
本题核心考查对完全平方式结构的理解，易错点是仅考虑完全平方和的情况，遗漏完全平方差的形式导致漏解，做题时要牢记完全平方式有两种形式，对应中间项系数有正负两种取值可能。
【难度系数】
0.7
9. 已知$a+b=1$，$ab=-6$，则$a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$的值为（
A.57
B.120
C.-39
D.-150
D
）。A.57
B.120
C.-39
D.-150
答案
9. D
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，每一项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式ab；提取后剩余的多项式为a²-2ab+b²，符合完全平方公式的形式，可分解为(a-b)²，此时所求式转化为ab·(a-b)²。已知a+b和ab的值，可利用完全平方公式的变形(a-b)²=(a+b)²-4ab求出(a-b)²的值，最后将ab和(a-b)²的值整体代入计算即可，无需单独求解a、b的数值，简化计算过程。
【解析】
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b - 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 - 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a - b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式分解）}\end{aligned}$
根据完全平方公式的变形可得：
$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab$
将$a+b=1$，$ab=-6$代入上式：
$(a - b)^2=1^2 - 4×(-6)=1 + 24=25$
再将$ab=-6$，$(a - b)^2=25$代入分解后的式子：
原式$=(-6)×25=-150$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入思想计算，避免求解a、b的具体值，减少计算量，考查对因式分解方法和完全平方公式变形的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，每一项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式ab；提取后剩余的多项式为a²-2ab+b²，符合完全平方公式的形式，可分解为(a-b)²，此时所求式转化为ab·(a-b)²。已知a+b和ab的值，可利用完全平方公式的变形(a-b)²=(a+b)²-4ab求出(a-b)²的值，最后将ab和(a-b)²的值整体代入计算即可，无需单独求解a、b的数值，简化计算过程。
【解析】
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b - 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 - 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a - b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式分解）}\end{aligned}$
根据完全平方公式的变形可得：
$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab$
将$a+b=1$，$ab=-6$代入上式：
$(a - b)^2=1^2 - 4×(-6)=1 + 24=25$
再将$ab=-6$，$(a - b)^2=25$代入分解后的式子：
原式$=(-6)×25=-150$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入思想计算，避免求解a、b的具体值，减少计算量，考查对因式分解方法和完全平方公式变形的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 已知$x+y=4$，$xy=2$，求$x^3y+2x^2y^2+xy^3$的值.
答案
10. 解：$x^3y+2x^2y^2+xy^3$
$=xy(x^2+2xy+y^2)$
$=xy(x+y)^2$.
$\because x+y=4,\ xy=2,$
$\therefore x^3y+2x^2y^2+xy^3=xy(x+y)^2=2×4^2=32.$
$=xy(x^2+2xy+y^2)$
$=xy(x+y)^2$.
$\because x+y=4,\ xy=2,$
$\therefore x^3y+2x^2y^2+xy^3=xy(x+y)^2=2×4^2=32.$
解析
【分析】
观察待求代数式，若直接求解x、y的具体值再代入计算会比较繁琐，因此优先考虑对待求式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$、$xy$的形式，再整体代入求值。第一步先提取各项的公因式$xy$，提取后剩余的多项式$x^2+2xy+y^2$符合完全平方和公式的结构特征，可进一步分解为$(x+y)^2$，此时待求式就转化为$xy·(x+y)^2$，直接代入已知数值计算即可。
【解析】
先对待求式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y+2x^2y^2+xy^3&=xy(x^2+2xy+y^2)\\&=xy(x+y)^2\end{aligned}$
$\because x+y=4,\ xy=2,$
$\therefore$代入得：
$\begin{aligned}x^3y+2x^2y^2+xy^3&=xy(x+y)^2\\&=2×4^2\\&=2×16\\&=32\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{32}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心是通过因式分解将待求式转化为含已知条件的整体形式，避免了求解单个未知数的繁琐过程，体现了整体代入的数学思想，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.8
观察待求代数式，若直接求解x、y的具体值再代入计算会比较繁琐，因此优先考虑对待求式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$、$xy$的形式，再整体代入求值。第一步先提取各项的公因式$xy$，提取后剩余的多项式$x^2+2xy+y^2$符合完全平方和公式的结构特征，可进一步分解为$(x+y)^2$，此时待求式就转化为$xy·(x+y)^2$，直接代入已知数值计算即可。
【解析】
先对待求式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y+2x^2y^2+xy^3&=xy(x^2+2xy+y^2)\\&=xy(x+y)^2\end{aligned}$
$\because x+y=4,\ xy=2,$
$\therefore$代入得：
$\begin{aligned}x^3y+2x^2y^2+xy^3&=xy(x+y)^2\\&=2×4^2\\&=2×16\\&=32\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{32}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常见题型，核心是通过因式分解将待求式转化为含已知条件的整体形式，避免了求解单个未知数的繁琐过程，体现了整体代入的数学思想，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.8
11.【阅读与思考】利用公式法，可以将一些形如$ax^2+bx+c(a≠0)$的多项式变形为$a(x+m)^2+n$的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^2+bx+c(a≠0)$的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解。
例如：$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5=(x+2)^2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)$。
（1）【解决问题】运用配方法将下列多项式进行因式分解。
①$x^2+3x-4$；②$x^2-8x-9$。
（2）【深入研究】说明多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数。
（3）【拓展运用】已知$a，b，c$分别是$△ ABC$的三条边的长，且$a^2-2ab+2b^2-2bc+c^2=0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
例如：$x^2+4x-5=x^2+4x+2^2-2^2-5=(x+2)^2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)$。
（1）【解决问题】运用配方法将下列多项式进行因式分解。
①$x^2+3x-4$；②$x^2-8x-9$。
（2）【深入研究】说明多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数。
（3）【拓展运用】已知$a，b，c$分别是$△ ABC$的三条边的长，且$a^2-2ab+2b^2-2bc+c^2=0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
11. 解：（1）①$x^2+3x-4$
$=x^2+3x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2-4$
$=(x+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$
$=(x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2})(x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})$
$=(x+4)(x-1).$
②$x^2-8x-9=x^2-8x+4^2-4^2-9$
$=(x-4)^2-25$
$=(x-4+5)(x-4-5)$
$=(x+1)(x-9).$
（2）$x^2-6x+12=x^2-6x+9+3$
$=(x-3)^2+3.$
$\because (x-3)^2≥0,\ \therefore (x-3)^2+3＞0.$
$\therefore$多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数.
（3）$△ ABC$为等边三角形. 理由如下：
$\because a^2-2ab+2b^2-2bc+c^2=0,$
$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)=0.$
$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0.$
$\therefore a-b=0,\ b-c=0.$
$\therefore a=b=c.$
$\therefore△ ABC$为等边三角形.
$=x^2+3x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2-4$
$=(x+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$
$=(x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2})(x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})$
$=(x+4)(x-1).$
②$x^2-8x-9=x^2-8x+4^2-4^2-9$
$=(x-4)^2-25$
$=(x-4+5)(x-4-5)$
$=(x+1)(x-9).$
（2）$x^2-6x+12=x^2-6x+9+3$
$=(x-3)^2+3.$
$\because (x-3)^2≥0,\ \therefore (x-3)^2+3＞0.$
$\therefore$多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数.
（3）$△ ABC$为等边三角形. 理由如下：
$\because a^2-2ab+2b^2-2bc+c^2=0,$
$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)=0.$
$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0.$
$\therefore a-b=0,\ b-c=0.$
$\therefore a=b=c.$
$\therefore△ ABC$为等边三角形.
解析
【分析】
（1）用配方法因式分解的思路：对于二次项系数为1的二次三项式，先加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，再减去这个常数保证原式值不变，将原式转化为“平方差”的结构后，用平方差公式完成因式分解。
（2）要证明多项式的值恒为正数，可通过配方法将多项式变形为“完全平方+正数”的形式，结合平方的非负性即可判断其值恒大于0。
（3）判断三角形形状时，先对已知等式拆分后配方，将等式左边转化为两个完全平方的和，再根据“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质得到三边的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
（1）①$x^2+3x-4$
$=x^2+3x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2-4$
$=(x+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$
$=(x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2})(x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})$
$=(x+4)(x-1)$
②$x^2-8x-9=x^2-8x+4^2-4^2-9$
$=(x-4)^2-25$
$=(x-4+5)(x-4-5)$
$=(x+1)(x-9)$
（2）$x^2-6x+12=x^2-6x+9+3$
$=(x-3)^2+3$
$\because (x-3)^2≥0,\ \therefore (x-3)^2+3＞0$
$\therefore$多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数。
（3）$△ ABC$为等边三角形，理由如下：
$\because a^2-2ab+2b^2-2bc+c^2=0$
$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$
$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0$
$\therefore a-b=0,\ b-c=0$
$\therefore a=b=c$
$\therefore△ ABC$为等边三角形。
【答案】
（1）①$\boldsymbol{(x+4)(x-1)}$；②$\boldsymbol{(x+1)(x-9)}$
（2）多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数。
（3）$△ ABC$是等边三角形。
【知识点】
配方法的应用，因式分解，非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设置了三类不同的考查场景，既考查了完全平方公式、平方差公式的基础运用，也考查了非负数性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能根据式子的特征合理拆分、配方，侧重对基础方法迁移运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）用配方法因式分解的思路：对于二次项系数为1的二次三项式，先加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，再减去这个常数保证原式值不变，将原式转化为“平方差”的结构后，用平方差公式完成因式分解。
（2）要证明多项式的值恒为正数，可通过配方法将多项式变形为“完全平方+正数”的形式，结合平方的非负性即可判断其值恒大于0。
（3）判断三角形形状时，先对已知等式拆分后配方，将等式左边转化为两个完全平方的和，再根据“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质得到三边的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
（1）①$x^2+3x-4$
$=x^2+3x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2-4$
$=(x+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{25}{4}$
$=(x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2})(x+\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})$
$=(x+4)(x-1)$
②$x^2-8x-9=x^2-8x+4^2-4^2-9$
$=(x-4)^2-25$
$=(x-4+5)(x-4-5)$
$=(x+1)(x-9)$
（2）$x^2-6x+12=x^2-6x+9+3$
$=(x-3)^2+3$
$\because (x-3)^2≥0,\ \therefore (x-3)^2+3＞0$
$\therefore$多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数。
（3）$△ ABC$为等边三角形，理由如下：
$\because a^2-2ab+2b^2-2bc+c^2=0$
$\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)=0$
$\therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0$
$\therefore a-b=0,\ b-c=0$
$\therefore a=b=c$
$\therefore△ ABC$为等边三角形。
【答案】
（1）①$\boldsymbol{(x+4)(x-1)}$；②$\boldsymbol{(x+1)(x-9)}$
（2）多项式$x^2-6x+12$的值总是一个正数。
（3）$△ ABC$是等边三角形。
【知识点】
配方法的应用，因式分解，非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设置了三类不同的考查场景，既考查了完全平方公式、平方差公式的基础运用，也考查了非负数性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能根据式子的特征合理拆分、配方，侧重对基础方法迁移运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
