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在
直角
三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边
等于斜边的一半。答案
直角 它所对的直角边
解析
【分析】
本题考查含30°角的直角三角形性质的识记。首先明确该性质的适用前提：只有直角三角形才有“斜边”的概念，因此第一个空对应性质的前提条件；其次，30°锐角对应的特定边是它所对的直角边，只有这条边满足长度为斜边的一半，可直接对应填空。
【解析】
回忆含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，据此填写对应内容即可。
【答案】
直角；它所对的直角边
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查几何核心定理内容，该性质是解决直角三角形边长相关问题的常用结论，需要准确记忆前提和对应结论。
【难度系数】
0.9
本题考查含30°角的直角三角形性质的识记。首先明确该性质的适用前提：只有直角三角形才有“斜边”的概念，因此第一个空对应性质的前提条件；其次，30°锐角对应的特定边是它所对的直角边，只有这条边满足长度为斜边的一半，可直接对应填空。
【解析】
回忆含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，据此填写对应内容即可。
【答案】
直角；它所对的直角边
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查几何核心定理内容，该性质是解决直角三角形边长相关问题的常用结论，需要准确记忆前提和对应结论。
【难度系数】
0.9
1. 如图15.3-27，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
D
）。A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
答案
1. D
解析
【分析】
要判断AP的长不可能是哪个选项，首先需要确定AP的取值范围：第一步，根据“垂线段最短”，点A到直线BC的最短距离是垂线段AC的长度，也就是AP的最小值；第二步，当P运动到点B的位置时，AP的长度达到最大值，即斜边AB的长度，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，即可得到AP的取值范围，最后对比选项选出不符合范围的答案。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
AB=2AC=2×3=6。
因为P是BC边上的动点，根据垂线段最短可知：
当P与点C重合时，AP取最小值3；当P与点B重合时，AP取最大值6，
因此AP的取值范围是$3≤ AP≤6$。
观察选项：3.5、4.2、5.8都在取值范围内，只有7＞6，不在取值范围内，因此AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础的动点最值问题，解题的关键是结合动点的运动范围，利用几何性质确定线段的取值范围，需要注意端点处的线段长度是可以取到的。
【难度系数】
0.8
要判断AP的长不可能是哪个选项，首先需要确定AP的取值范围：第一步，根据“垂线段最短”，点A到直线BC的最短距离是垂线段AC的长度，也就是AP的最小值；第二步，当P运动到点B的位置时，AP的长度达到最大值，即斜边AB的长度，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，即可得到AP的取值范围，最后对比选项选出不符合范围的答案。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
AB=2AC=2×3=6。
因为P是BC边上的动点，根据垂线段最短可知：
当P与点C重合时，AP取最小值3；当P与点B重合时，AP取最大值6，
因此AP的取值范围是$3≤ AP≤6$。
观察选项：3.5、4.2、5.8都在取值范围内，只有7＞6，不在取值范围内，因此AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础的动点最值问题，解题的关键是结合动点的运动范围，利用几何性质确定线段的取值范围，需要注意端点处的线段长度是可以取到的。
【难度系数】
0.8
2. 如图15.3-28（示意图），一次强台风中，一棵树在离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成$30°$角，这棵树在折断前的高度为（
A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m
图15.3-28
图15.3-29
图15.3-30
图15.3-31
B
）.A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m
图15.3-28
图15.3-29
图15.3-30
图15.3-31
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先将实际场景转化为几何图形：树未折断部分垂直地面，与地面、折断倒下的部分构成直角三角形。已知倒下部分与地面的夹角为30°，该角的对边为长度3m的未折断树干，接下来结合含30°角的直角三角形的性质，先求出折断部分（即直角三角形的斜边）的长度，最后将未折断部分和折断部分的长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，树折断后形成直角三角形，其中未折断的树干长3m，垂直于地面，是30°角所对的直角边，折断部分为该直角三角形的斜边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度为 $3×2=6\,\mathrm{m}$。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分的长度：$3+6=9\,\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形的实际应用
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用型题目，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，准确找到30°角对应的直角边，结合对应性质计算即可，注意不要遗漏未折断部分的高度。
【难度系数】
0.8
解题时先将实际场景转化为几何图形：树未折断部分垂直地面，与地面、折断倒下的部分构成直角三角形。已知倒下部分与地面的夹角为30°，该角的对边为长度3m的未折断树干，接下来结合含30°角的直角三角形的性质，先求出折断部分（即直角三角形的斜边）的长度，最后将未折断部分和折断部分的长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意可知，树折断后形成直角三角形，其中未折断的树干长3m，垂直于地面，是30°角所对的直角边，折断部分为该直角三角形的斜边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度为 $3×2=6\,\mathrm{m}$。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分的长度：$3+6=9\,\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形的实际应用
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用型题目，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，准确找到30°角对应的直角边，结合对应性质计算即可，注意不要遗漏未折断部分的高度。
【难度系数】
0.8
3. 如图15.3-29，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$，$E$为$AB$上一点，连接$DE$，则下列说法错误的是（
A.$∠ CAD=30°$
B.$AD=BD$
C.$BD=2CD$
D.$CD=ED$
D
）.A.$∠ CAD=30°$
B.$AD=BD$
C.$BD=2CD$
D.$CD=ED$
答案
3. D
解析
【分析】首先根据三角形内角和求出∠CAB的度数，再结合角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定，逐一验证四个选项的正误，重点注意题目中仅说明E是AB上任意一点，没有给出DE与AB的位置关系，不能默认DE⊥AB。
【解析】
解：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-90°-30°=60°$，
$\because AD$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$，故A选项正确，不符合题意；
$\because ∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$，故B选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质可得$AD=2CD$，
又$\because AD=BD$，
$\therefore BD=2CD$，故C选项正确，不符合题意；
$\because E$为AB上任意一点，DE的长度随E点位置变化而变化，仅当$DE⊥ AB$时才有$CD=ED$，题中未给出该条件，
$\therefore CD$与$ED$不一定相等，故D选项错误，符合题意。
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】本题考查直角三角形相关性质的综合应用，解题时要注意审题，明确E点是AB上的任意点，不要自行添加$DE⊥ AB$的条件，否则容易判断错误。
【难度系数】0.7
【解析】
解：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-90°-30°=60°$，
$\because AD$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$，故A选项正确，不符合题意；
$\because ∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$，故B选项正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质可得$AD=2CD$，
又$\because AD=BD$，
$\therefore BD=2CD$，故C选项正确，不符合题意；
$\because E$为AB上任意一点，DE的长度随E点位置变化而变化，仅当$DE⊥ AB$时才有$CD=ED$，题中未给出该条件，
$\therefore CD$与$ED$不一定相等，故D选项错误，符合题意。
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】本题考查直角三角形相关性质的综合应用，解题时要注意审题，明确E点是AB上的任意点，不要自行添加$DE⊥ AB$的条件，否则容易判断错误。
【难度系数】0.7
4. 如图15.3-30，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=30°$，$AB⊥ AD$，$AD=4\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长是（
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$12\ \mathrm{cm}$
D.$14\ \mathrm{cm}$
C
）.A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$12\ \mathrm{cm}$
D.$14\ \mathrm{cm}$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠B的度数，再结合三角形内角和算出∠BAC的度数；接下来由AB⊥AD得出∠BAD=90°，进而求出∠DAC的度数，通过等角对等边得到DC与AD的长度关系；最后利用含30°角的直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BD的长度，将BD与DC相加即可得到BC的长。
【解析】
∵ AB=AC，∠C=30°，
∴ ∠B=∠C=30°，
由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵ AB⊥AD，
∴ ∠BAD=90°，
∴ ∠DAC=∠BAC - ∠BAD=120°-90°=30°，
∴ ∠DAC=∠C=30°，
∴ DC=AD=4cm，
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90°，
∴ BD=2AD=2×4=8cm，
∴ BC=BD+DC=8+4=12cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形和特殊直角三角形的性质，解题的关键是正确推导角的数量关系，将角的关系转化为边的关系，是几何基础类的典型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠B的度数，再结合三角形内角和算出∠BAC的度数；接下来由AB⊥AD得出∠BAD=90°，进而求出∠DAC的度数，通过等角对等边得到DC与AD的长度关系；最后利用含30°角的直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BD的长度，将BD与DC相加即可得到BC的长。
【解析】
∵ AB=AC，∠C=30°，
∴ ∠B=∠C=30°，
由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵ AB⊥AD，
∴ ∠BAD=90°，
∴ ∠DAC=∠BAC - ∠BAD=120°-90°=30°，
∴ ∠DAC=∠C=30°，
∴ DC=AD=4cm，
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90°，
∴ BD=2AD=2×4=8cm，
∴ BC=BD+DC=8+4=12cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形和特殊直角三角形的性质，解题的关键是正确推导角的数量关系，将角的关系转化为边的关系，是几何基础类的典型题。
【难度系数】
0.7
5. 如图15.3-31，已知$∠ AOP=∠ BOP=15°$，$PC// OA$交OB于点C，$PD⊥ OA$，垂足为D。若$PC=4$，则PD的长是
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
解题时首先观察到OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，可联想到过点P作OB的垂线，得到与PD长度相等的线段；再结合PC平行于OA的条件，利用平行线内错角相等推导角度，得到含30°角的直角三角形，最后利用含30°角直角三角形的性质即可求出PD的长度。
【解析】
解：过点P作PE⊥OB于点E。
1. 因为$PC// OA$，$∠AOP=15°$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠CPO=∠AOP=15°$。
2. 已知$∠BOP=15°$，根据三角形外角的性质，$∠BCP=∠BOP+∠CPO=15°+15°=30°$。
3. 因为OP平分$∠AOB$，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PD=PE$。
4. 在$Rt△PEC$中，$∠PEC=90°$，$∠PCE=30°$，$PC=4$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$PE=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}×4=2$。
因此$PD=PE=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合角平分线性质实现线段的等量转化，再利用特殊直角三角形的性质求解，是角平分线与特殊三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到OP是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，可联想到过点P作OB的垂线，得到与PD长度相等的线段；再结合PC平行于OA的条件，利用平行线内错角相等推导角度，得到含30°角的直角三角形，最后利用含30°角直角三角形的性质即可求出PD的长度。
【解析】
解：过点P作PE⊥OB于点E。
1. 因为$PC// OA$，$∠AOP=15°$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠CPO=∠AOP=15°$。
2. 已知$∠BOP=15°$，根据三角形外角的性质，$∠BCP=∠BOP+∠CPO=15°+15°=30°$。
3. 因为OP平分$∠AOB$，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PD=PE$。
4. 在$Rt△PEC$中，$∠PEC=90°$，$∠PCE=30°$，$PC=4$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$PE=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}×4=2$。
因此$PD=PE=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合角平分线性质实现线段的等量转化，再利用特殊直角三角形的性质求解，是角平分线与特殊三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
