11. 如图15.3-25，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为BC延长线上一点，且AD=CE，连接DB，DE.
（1）求证$DB=DE$.
（2）若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请画出图形，并证明；若不成立，说明理由.

11. （1）证明：过点E作EF//BA交AC的延长线于点F，如图.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC.
∴∠F=60°，∠ECF=60°.
∴△CEF为等边三角形.
∴EF=CE=CF.
又AD=CE，
∴AD=EF=CF.
∴AC=DF=AB.
在△ABD和△FDE中，$\begin{cases} AB=FD, \\ ∠A=∠F, \\ AD=FE, \end{cases}$
∴△ABD≌△FDE（SAS）.
∴DB=DE.
（2）解：（1）中的结论仍成立，即有DB=DE. 证明如下：
如图，过点E作EF//BA交AC的延长线于点F.
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF=CF.
∴DF=AC=AB.
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE.

【分析】
（1）要证明DB=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等解决。结合已知等边△ABC的条件，我们可以过点E作EF//AB交AC延长线于F，先利用平行线的性质和等边三角形的判定推出△CEF是等边三角形，得到边相等的关系，再结合AD=CE的条件，找到△ABD和△FDE全等的三个判定条件，用SAS证明全等即可得到DB=DE。
（2）当点D在AC延长线上时，沿用（1）的辅助线构造思路，同样过E作EF//BA交AC延长线于F，和（1）的推理逻辑一致，先证△CEF为等边三角形，再推导得到△ABD≌△FDE的条件，即可证明结论仍然成立。
【解析】
（1）首先作辅助线EF//BA交AC的延长线于F，根据等边三角形性质可得∠A=∠ACB=60°，AB=AC；由平行线性质得∠F=60°，结合对顶角相等得∠ECF=60°，即可判定△CEF为等边三角形，因此EF=CE=CF；结合已知AD=CE，可推出AD=EF=CF，进一步得到AC=DF=AB；最后根据SAS判定△ABD≌△FDE，即可得到DB=DE。
（2）结论成立，和（1）同理作辅助线EF//BA交AC的延长线于F，先证明△CEF为等边三角形，得到CE=EF=CF，结合AD=CE可推出DF=AC=AB，再通过SAS判定△ABD≌△FDE，即可证得DB=DE。
【答案】
11. （1）证明：过点E作EF//BA交AC的延长线于点F，如图。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC.
∴∠F=60°，∠ECF=60°.
∴△CEF为等边三角形.
∴EF=CE=CF.
又AD=CE，
∴AD=EF=CF.
∴AC=DF=AB.
在△ABD和△FDE中，$\begin{cases} AB=FD, \\ ∠A=∠F, \\ AD=FE, \end{cases}$
∴△ABD≌△FDE（SAS）.
∴DB=DE.
（2）解：（1）中的结论仍成立，即有DB=DE. 证明如下：
如图，过点E作EF//BA交AC的延长线于点F.
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF=CF.
∴DF=AC=AB.
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE.
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查全等三角形的证明及等边三角形的性质应用，通过作平行线构造等边三角形得到全等所需的边、角相等条件是解题的突破口，两小问采用相同的构造思路，体现了几何证明中的类比迁移思想，有助于掌握辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6

12. 如图15.3-26，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP对称的点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；
（3）连接CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论.

12. 解：（1）如图所示.
（2）在等边三角形ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°.
由对称可知，AC=AD，∠PAC=∠PAD，
∴AB=AD.
∴∠ABD=∠D.
∵∠PAC=20°，
∴∠PAD=20°.
∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°.
∴∠D=$\frac{1}{2}(180°-∠BAD)=40°$.
∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.
（3）CE+AE=BE.
证明：如图，在BE上取点M，使ME=AE.
在等边三角形ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°.
由对称可知AC=AD，∠EAC=∠EAD.
设∠EAC=∠EAD=x.
∵AD=AC=AB，
∴∠D=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC-2x)=60°-x$，
∴∠AEB=60°-x+x=60°.
∴△AME为等边三角形.
∴∠MAE=60°，AM=AE.
∴∠BAC-∠MAC=∠MAE-∠MAC，
即∠BAM=∠CAE.
在△AEC和△AMB中，$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠CAE=∠BAM, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△AEC≌△AMB（SAS）.
∴CE=BM.
∴CE+AE=BM+ME=BE.

【分析】
（1）补全图形思路：根据轴对称的性质，作出点C关于直线AP的对称点D，再连接AD、BD即可完成补图；
（2）求∠AEB的思路：首先利用等边三角形性质得到AC=AB、∠BAC=60°，再结合轴对称性质得到AC=AD、∠PAC=∠PAD，推出AB=AD，△ABD为等腰三角形；先计算∠BAD的度数，求出等腰△ABD的底角∠D，最后利用三角形外角的性质即可求出∠AEB的度数；
（3）探究线段数量关系的思路：线段和差问题常用截长补短法，结合（2）可推出∠AEB恒为60°，因此在BE上截取ME=AE，得到等边△AME，再证明△AEC≌△AMB，将CE转化为BM，即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
（1）根据轴对称作图方法，补全图形如下：

（2）
∵△ABC是等边三角形，
∴$AC=AB$，$∠ BAC=60°$，
∵点C与点D关于直线AP对称，
∴$AC=AD$，$∠ PAC=∠ PAD$，
∴$AB=AD$，
∴$∠ ABD=∠ D$，
已知$∠ PAC=20°$，则$∠ PAD=20°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC+∠ PAC+∠ PAD=60°+20°+20°=100°$，
在$△ ABD$中，$∠ D=\frac{1}{2}(180°-∠ BAD)=\frac{1}{2}×(180°-100°)=40°$，
∵$∠ AEB$是$△ AED$的外角，
∴$∠ AEB=∠ D+∠ PAD=40°+20°=60°$。
（3）数量关系为$CE+AE=BE$，证明如下：
如图，在BE上取点M，使$ME=AE$，

∵△ABC是等边三角形，
∴$AC=AB$，$∠ BAC=60°$，
由对称可知$AC=AD$，$∠ EAC=∠ EAD$，
设$∠ EAC=∠ EAD=x$，
∵$AD=AC=AB$，
∴$∠ D=\frac{1}{2}[180°-(∠ BAC+2x)]=\frac{1}{2}(120°-2x)=60°-x$，
∴$∠ AEB=∠ D+∠ EAD=(60°-x)+x=60°$，
又
∵$ME=AE$，
∴$△ AME$为等边三角形，
∴$∠ MAE=60°$，$AM=AE$，
∴$∠ BAC-∠ MAC=∠ MAE-∠ MAC$，即$∠ BAM=∠ CAE$，
在$△ AEC$和$△ AMB$中：
$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠ CAE=∠ BAM, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴$△ AEC≌△ AMB$（SAS），
∴$CE=BM$，
∵$BE=BM+ME$，$ME=AE$，
∴$CE+AE=BE$。
【答案】
（1）补全图形见；
（2）$\boldsymbol{∠ AEB=60°}$；
（3）数量关系为$\boldsymbol{CE+AE=BE}$，证明见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了轴对称、等边三角形及全等三角形的相关知识，解题时要善于利用轴对称性质得到相等的边和角，解决线段和差问题时，截长补短法是常用的解题思路，需要熟练掌握全等三角形的构造方法和相关性质定理的应用。
【难度系数】
0.6