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6. 如图15.3-32，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，AD恰好平分∠BAC。若DE=1，则BC的长是
3
。答案
6. 3
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的性质，可直接得出CD的长度等于DE；再利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，相加即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠B=∠DAB。
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠CAD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=∠B+∠DAB+∠CAD=90°，
即3∠B=90°，解得∠B=30°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2×1=2（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∴BC=BD+CD=2+1=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将三个基础几何性质结合考察，解题的核心是通过角度的等量代换求出∠B为30°，再分别计算两段线段的长度求和即可，解题时要注意性质应用的前提条件不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的性质，可直接得出CD的长度等于DE；再利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，相加即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠B=∠DAB。
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠CAD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=∠B+∠DAB+∠CAD=90°，
即3∠B=90°，解得∠B=30°。
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2×1=2（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∴BC=BD+CD=2+1=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将三个基础几何性质结合考察，解题的核心是通过角度的等量代换求出∠B为30°，再分别计算两段线段的长度求和即可，解题时要注意性质应用的前提条件不要混淆。
【难度系数】
0.7
7. 如图15.3-33，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$。若$BD=1$，则$AD$的长是________。
答案
7. 3
解析
【分析】
解题时先根据直角三角形两锐角互余的性质，求出$△ ABC$中$∠ B$的度数，再结合$CD⊥ AB$的条件，得到$\mathrm{Rt}△ BCD$中$∠ BCD=30°$，利用“含$30°$角的直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半”，先由$BD$的长度求出$BC$的长度，再回到$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用同样的性质求出$AB$的长度，最后用$AB$减去$BD$即可得到$AD$的长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠ B=90°-∠ A=60°$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=2BD=2×1=2$，
回到$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=30°$，$30°$角所对的直角边为$BC$，
∴ $AB=2BC=2×2=4$，
∴ $AD=AB-BD=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 含$30°$角的直角三角形的性质；2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含$30°$角直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是准确找到不同直角三角形中$30°$角对应的对边和斜边，逐步推导边长，是直角三角形性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先根据直角三角形两锐角互余的性质，求出$△ ABC$中$∠ B$的度数，再结合$CD⊥ AB$的条件，得到$\mathrm{Rt}△ BCD$中$∠ BCD=30°$，利用“含$30°$角的直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半”，先由$BD$的长度求出$BC$的长度，再回到$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用同样的性质求出$AB$的长度，最后用$AB$减去$BD$即可得到$AD$的长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠ B=90°-∠ A=60°$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=2BD=2×1=2$，
回到$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=30°$，$30°$角所对的直角边为$BC$，
∴ $AB=2BC=2×2=4$，
∴ $AD=AB-BD=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 含$30°$角的直角三角形的性质；2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含$30°$角直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是准确找到不同直角三角形中$30°$角对应的对边和斜边，逐步推导边长，是直角三角形性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图15.3-34，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，$D$为$BC$的中点，若动点$E$以1 cm/s的速度从A点出发，沿着$A\rightarrow B\rightarrow A$的方向运动，设点$E$的运动时间为$t\ \mathrm{s}\ (0＜t＜6)$，连接$DE$，当$△ BDE$是直角三角形时，$t$的值为（
A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5
D
）.A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5
答案
8. D
解析
【分析】
首先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，再结合D是BC中点得到BD的长度。由于△BDE是直角三角形时直角顶点不明确，所以需分两种情况讨论：①∠BDE=90°；②∠BED=90°。同时动点E是沿A→B→A往返运动，还要结合E的运动方向（往程、返程）分别计算对应运动时间，最后筛选出符合0＜t＜6的结果即可。
【解析】
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠A=30°$，因此$AB=2BC=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
∵D为BC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=1\ \mathrm{cm}$。
已知动点E的速度为1 cm/s，分两种情况讨论△BDE为直角三角形的情况：
1. 当$∠BDE=90°$时：
∵$∠B=60°$，
∴$∠BED=30°$，因此$BE=2BD=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
此时E在AB段往程上，$AE=AB-BE=4-2=2\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=2÷1=2\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜6$的要求。
2. 当$∠BED=90°$时：
∵$∠B=60°$，
∴$∠BDE=30°$，因此$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{cm}$。
此时分两种子情况：
（1）E沿A→B往程运动时：$AE=AB-BE=4-0.5=3.5\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=3.5÷1=3.5\ \mathrm{s}$，符合要求；
（2）E沿B→A返程运动时：E走过的总路程为$AB+BE=4+0.5=4.5\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=4.5÷1=4.5\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜6$的要求。
综上，t的值为2或3.5或4.5。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论；直角三角形内角和
【点评】
本题的易错点是容易漏解，一是忽略直角顶点的两种可能，二是忘记动点有往返运动的特征，解题时要全面梳理所有可能的情况再计算。
【难度系数】
0.6
首先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，再结合D是BC中点得到BD的长度。由于△BDE是直角三角形时直角顶点不明确，所以需分两种情况讨论：①∠BDE=90°；②∠BED=90°。同时动点E是沿A→B→A往返运动，还要结合E的运动方向（往程、返程）分别计算对应运动时间，最后筛选出符合0＜t＜6的结果即可。
【解析】
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠A=30°$，因此$AB=2BC=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
∵D为BC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=1\ \mathrm{cm}$。
已知动点E的速度为1 cm/s，分两种情况讨论△BDE为直角三角形的情况：
1. 当$∠BDE=90°$时：
∵$∠B=60°$，
∴$∠BED=30°$，因此$BE=2BD=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
此时E在AB段往程上，$AE=AB-BE=4-2=2\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=2÷1=2\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜6$的要求。
2. 当$∠BED=90°$时：
∵$∠B=60°$，
∴$∠BDE=30°$，因此$BE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{cm}$。
此时分两种子情况：
（1）E沿A→B往程运动时：$AE=AB-BE=4-0.5=3.5\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=3.5÷1=3.5\ \mathrm{s}$，符合要求；
（2）E沿B→A返程运动时：E走过的总路程为$AB+BE=4+0.5=4.5\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=4.5÷1=4.5\ \mathrm{s}$，符合$0＜t＜6$的要求。
综上，t的值为2或3.5或4.5。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论；直角三角形内角和
【点评】
本题的易错点是容易漏解，一是忽略直角顶点的两种可能，二是忘记动点有往返运动的特征，解题时要全面梳理所有可能的情况再计算。
【难度系数】
0.6
9. 如图15.3-35，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D. 求证BC=3AD. 
图15.3-35
图15.3-35答案
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
又AD⊥AC，
∴∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°.
∴AD=DB.
在Rt△CAD中，
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD.
∴BC=CD+DB=2AD+AD=3AD.
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
又AD⊥AC，
∴∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°.
∴AD=DB.
在Rt△CAD中，
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD.
∴BC=CD+DB=2AD+AD=3AD.
解析
【分析】
首先利用等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和，求出△ABC的底角∠B、∠C均为30°；再由AD⊥AC得∠DAC=90°，可推出∠BAD=30°=∠B，根据等角对等边得到BD=AD；接着在Rt△ADC中，利用含30°角的直角三角形的性质，得到CD=2AD；最后结合BC=BD+CD，代入线段关系即可完成证明。
【解析】
要证明BC=3AD，可将BC拆分为BD+CD，分别推导BD、CD与AD的数量关系：
1. 求底角度数：已知AB=AC，△ABC是等腰三角形，结合∠BAC=120°，根据三角形内角和为180°，可得∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°；
2. 推导BD=AD：由AD⊥AC得∠DAC=90°，则∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°，即∠BAD=∠B，根据等角对等边可得AD=DB；
3. 推导CD=2AD：在Rt△CAD中，∠C=30°，根据含30°角的直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得CD=2AD；
4. 合并线段：BC=CD+BD=2AD+AD=3AD，得证。
【答案】
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°。
又AD⊥AC，
∴∠DAC=90°。
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°。
∴AD=DB。
在Rt△CAD中，
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD。
∴BC=CD+DB=2AD+AD=3AD。
【知识点】
等腰三角形的性质、等角对等边、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角度推导建立线段间的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和特殊直角三角形的相关性质，注意角的转化和性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
首先利用等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和，求出△ABC的底角∠B、∠C均为30°；再由AD⊥AC得∠DAC=90°，可推出∠BAD=30°=∠B，根据等角对等边得到BD=AD；接着在Rt△ADC中，利用含30°角的直角三角形的性质，得到CD=2AD；最后结合BC=BD+CD，代入线段关系即可完成证明。
【解析】
要证明BC=3AD，可将BC拆分为BD+CD，分别推导BD、CD与AD的数量关系：
1. 求底角度数：已知AB=AC，△ABC是等腰三角形，结合∠BAC=120°，根据三角形内角和为180°，可得∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°；
2. 推导BD=AD：由AD⊥AC得∠DAC=90°，则∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°，即∠BAD=∠B，根据等角对等边可得AD=DB；
3. 推导CD=2AD：在Rt△CAD中，∠C=30°，根据含30°角的直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得CD=2AD；
4. 合并线段：BC=CD+BD=2AD+AD=3AD，得证。
【答案】
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°。
又AD⊥AC，
∴∠DAC=90°。
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°。
∴AD=DB。
在Rt△CAD中，
∵∠DAC=90°，∠C=30°，
∴CD=2AD。
∴BC=CD+DB=2AD+AD=3AD。
【知识点】
等腰三角形的性质、等角对等边、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角度推导建立线段间的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和特殊直角三角形的相关性质，注意角的转化和性质的适用条件。
【难度系数】
0.7
