10. 如图15.3-36，已知∠MAN，AC平分∠MAN。（1）在图15.3-36①中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC。（2）在图15.3-36②中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。图15.3-36

10.（1）证明：
∵∠MAN = 120°，AC 平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°.
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°.
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AB=$\frac{1}{2}$AC.
∴AB+AD=AC.
（2）解：结论仍成立. 证明如下：
如图，过点 C 分别作 CE⊥AM，CF⊥AN，垂足分别为 E，F，
则∠CED=∠CFB=90°.
∵AC 平分∠MAN，
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC.
在△CDE 和△CBF 中，
$\begin{cases}∠CDE=∠CBF,\\∠CED=∠CFB,\\CE=CF,\end{cases}$
∴△CDE≌△CBF（AAS）.
∴DE=BF.
∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°.
∴∠ECA=∠FCA=30°.
∴在Rt△ACE 与 Rt△ACF 中，有 AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AC.
∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC.

【分析】
（1）第一问先利用角平分线的定义求出两个分角都是60°，结合直角三角形两锐角互余得到30°角，再根据含30°角的直角三角形的性质，得出AD、AB分别是AC的一半，相加即可证明结论。
（2）第二问结论仍然成立，解题思路为：过点C作AM、AN的垂线，利用角平分线的性质得到两条垂线段相等；再根据已知的角互补关系推出等角，证明△CDE和△CBF全等，将BF转化为DE；最后结合含30°角的直角三角形的性质，把AB+AD转化为AE+AF，即可得到和（1）相同的结论。
【解析】
（1）证明：
∵∠MAN = 120°，AC 平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°.
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°.
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AB=$\frac{1}{2}$AC.
∴AB+AD=AC.
（2）解：结论仍成立. 证明如下：
如图，过点 C 分别作 CE⊥AM，CF⊥AN，垂足分别为 E，F，
则∠CED=∠CFB=90°.
∵AC 平分∠MAN，
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC.
在△CDE 和△CBF 中，
$\begin{cases}∠CDE=∠CBF,\\∠CED=∠CFB,\\CE=CF,\end{cases}$
∴△CDE≌△CBF（AAS）.
∴DE=BF.
∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°.
∴∠ECA=∠FCA=30°.
∴在Rt△ACE 与 Rt△ACF 中，有 AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AC.
∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC.
【答案】
（1）AB+AD=AC得证；（2）（1）中的结论仍然成立，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，既考查了角平分线、特殊直角三角形的基础性质，又需要通过构造辅助线证明全等实现线段的转化，能有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造意识。
【难度系数】
0.6