登录
1. 抛物线$y=x^2+2x-3$与$x$轴的交点个数有（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. C 解析:当抛物线与x轴相交时,函数值为0,0=x²+2x-3,Δ=b²-4ac=4+12＞0,
∴方程有2个不相等的实数根,
∴抛物线y=x²+2x-3与x轴交点的个数为2.故选C.
∴方程有2个不相等的实数根,
∴抛物线y=x²+2x-3与x轴交点的个数为2.故选C.
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此交点的横坐标就是当y=0时对应的一元二次方程的实数根，交点个数等于方程实数根的个数。解题思路为：先令y=0得到一元二次方程，再计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断根的个数，即可得到交点个数。
【解析】
当抛物线与x轴相交时，函数值y=0，代入抛物线解析式得：
$0 = x^2 + 2x - 3$
该一元二次方程中，$a=1$，$b=2$，$c=-3$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，
因此该方程有2个不相等的实数根，即抛物线$y=x^2+2x-3$与x轴的交点个数为2。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关联，掌握判别式符号和根的个数的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此交点的横坐标就是当y=0时对应的一元二次方程的实数根，交点个数等于方程实数根的个数。解题思路为：先令y=0得到一元二次方程，再计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断根的个数，即可得到交点个数。
【解析】
当抛物线与x轴相交时，函数值y=0，代入抛物线解析式得：
$0 = x^2 + 2x - 3$
该一元二次方程中，$a=1$，$b=2$，$c=-3$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-3) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，
因此该方程有2个不相等的实数根，即抛物线$y=x^2+2x-3$与x轴的交点个数为2。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关联，掌握判别式符号和根的个数的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线$y=x^2 -2kx +2k +8$与$x$轴有唯一的一个交点,则$k$的值为 （
A.$-2$
B.$4$
C.$2$或$-4$
D.$-2$或$4$
D
）A.$-2$
B.$4$
C.$2$或$-4$
D.$-2$或$4$
答案
2. D 解析:
∵抛物线$y=x^2 -2kx +2k +8$与$x$轴有唯一的一个交点,
∴Δ=(-2k)²-4×1×(2k+8)=0,解得$k_1=-2,k_2=4$,故选D.
∵抛物线$y=x^2 -2kx +2k +8$与$x$轴有唯一的一个交点,
∴Δ=(-2k)²-4×1×(2k+8)=0,解得$k_1=-2,k_2=4$,故选D.
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系：抛物线与x轴有唯一交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0。接下来先确定二次函数的各项系数a、b、c，代入判别式公式列出关于k的一元二次方程，求解方程即可得到k的取值，对应选出正确选项。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 -2kx +2k +8$与$x$轴有唯一的一个交点，
∴对应一元二次方程$x^2 -2kx +2k +8=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=2k+8$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4×1×(2k+8) = 0$
整理得：$4k^2 - 8k - 32 = 0$，两边同时除以4得$k^2 - 2k - 8 = 0$，
因式分解得$(k-4)(k+2)=0$，解得$k_1=4$，$k_2=-2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、根的判别式、一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考查交点个数与判别式的对应关系，解题时需准确提取函数各项系数，避免代入计算出错，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数图象与x轴的交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系：抛物线与x轴有唯一交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0。接下来先确定二次函数的各项系数a、b、c，代入判别式公式列出关于k的一元二次方程，求解方程即可得到k的取值，对应选出正确选项。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 -2kx +2k +8$与$x$轴有唯一的一个交点，
∴对应一元二次方程$x^2 -2kx +2k +8=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2k$，常数项$c=2k+8$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4×1×(2k+8) = 0$
整理得：$4k^2 - 8k - 32 = 0$，两边同时除以4得$k^2 - 2k - 8 = 0$，
因式分解得$(k-4)(k+2)=0$，解得$k_1=4$，$k_2=-2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点判定、根的判别式、一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考查交点个数与判别式的对应关系，解题时需准确提取函数各项系数，避免代入计算出错，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. |易错题 已知函数$y=(k-1)x^2 -4x +4$的图象与x轴有交点，则k的取值范围为
k≤2
。答案
3. $k≤2$ 解析:①当$k-1≠0$,即$k≠1$时,$(k-1)x^2 -4x +4=0$,Δ=b²-4ac=4²-4(k-1)×4=-16k+32≥0,
∴$k≤2$且$k≠1$;②当$k-1=0$,即$k=1$时,$y=-4x+4$,与x轴有交点.故k的取值范围是$k≤2$.
易错提醒 因为二次项系数含有字母,所以要分两种情况讨论:①函数是一次函数;②函数是二次函数.
∴$k≤2$且$k≠1$;②当$k-1=0$,即$k=1$时,$y=-4x+4$,与x轴有交点.故k的取值范围是$k≤2$.
易错提醒 因为二次项系数含有字母,所以要分两种情况讨论:①函数是一次函数;②函数是二次函数.
解析
【分析】
解题时首先观察函数表达式的二次项系数含参数k，由于不确定函数类型，需分类讨论：①先考虑二次项系数为0的情况，此时函数为一次函数，判断其是否与x轴有交点；②再考虑二次项系数不为0的情况，此时函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，解不等式得到该情况下k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k-1=0$，即$k=1$时，函数解析式为$y=-4x+4$，是一次函数。令$y=0$，解得$x=1$，即该函数图象与x轴有交点$(1,0)$，符合题意；
② 当$k-1≠0$，即$k≠1$时，函数为二次函数，若其图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程$(k-1)x^2 -4x +4=0$有实数根，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
其中$a=k-1$，$b=-4$，$c=4$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×(k-1)×4 = 16 - 16(k-1) = 32 - 16k ≥ 0$
解不等式得：$k ≤ 2$，结合$k≠1$的前提，该情况k的取值范围为$k ≤ 2$且$k≠1$。
综合两种情况，将取值范围合并，得k的取值范围是$k ≤ 2$。
【答案】
$k ≤ 2$
【知识点】
一次函数的图象性质；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的易错题，易错点是直接默认函数为二次函数，忽略二次项系数为0的情况导致漏解。遇到最高次项系数含参数的函数与x轴交点问题时，一定要先分最高次项系数为0和不为0两种情况讨论，再分别结合对应函数的性质求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察函数表达式的二次项系数含参数k，由于不确定函数类型，需分类讨论：①先考虑二次项系数为0的情况，此时函数为一次函数，判断其是否与x轴有交点；②再考虑二次项系数不为0的情况，此时函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，解不等式得到该情况下k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k-1=0$，即$k=1$时，函数解析式为$y=-4x+4$，是一次函数。令$y=0$，解得$x=1$，即该函数图象与x轴有交点$(1,0)$，符合题意；
② 当$k-1≠0$，即$k≠1$时，函数为二次函数，若其图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程$(k-1)x^2 -4x +4=0$有实数根，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
其中$a=k-1$，$b=-4$，$c=4$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×(k-1)×4 = 16 - 16(k-1) = 32 - 16k ≥ 0$
解不等式得：$k ≤ 2$，结合$k≠1$的前提，该情况k的取值范围为$k ≤ 2$且$k≠1$。
综合两种情况，将取值范围合并，得k的取值范围是$k ≤ 2$。
【答案】
$k ≤ 2$
【知识点】
一次函数的图象性质；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的易错题，易错点是直接默认函数为二次函数，忽略二次项系数为0的情况导致漏解。遇到最高次项系数含参数的函数与x轴交点问题时，一定要先分最高次项系数为0和不为0两种情况讨论，再分别结合对应函数的性质求解。
【难度系数】
0.6
4. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的条件是
$a＞0$且$b^2-4ac＜0$
.答案
4. $a＞0$且$b^2-4ac＜0$ 解析:
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方,
∴开口要向上,并且图象与$x$轴没有交点,
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的条件是$a＞0$且$b^2-4ac＜0$.
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方,
∴开口要向上,并且图象与$x$轴没有交点,
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的条件是$a＞0$且$b^2-4ac＜0$.
解析
【分析】
要判断二次函数图象在x轴上方的条件，可分两步思考：第一步，二次函数图象是抛物线，若开口向下（a＜0），抛物线两端会向下延伸，必然存在图象在x轴下方的部分，因此首先要保证开口向上，即a＞0；第二步，开口向上的前提下，要让整个图象都在x轴上方，说明抛物线和x轴没有交点，对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，根据根的判别式的意义，此时判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$，两个条件需同时满足。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方，
∴首先抛物线开口要向上，即$a＞0$，
其次图象与$x$轴没有交点，即对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$无实数根，可得$b^2-4ac＜0$，
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的条件是$a＞0$且$b^2-4ac＜0$。
【答案】
$a＞0$且$b^2-4ac＜0$
【知识点】
二次函数图象性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础考题，解题时要注意两个条件缺一不可，不能仅考虑判别式小于0而忽略开口方向的限制。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象在x轴上方的条件，可分两步思考：第一步，二次函数图象是抛物线，若开口向下（a＜0），抛物线两端会向下延伸，必然存在图象在x轴下方的部分，因此首先要保证开口向上，即a＞0；第二步，开口向上的前提下，要让整个图象都在x轴上方，说明抛物线和x轴没有交点，对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，根据根的判别式的意义，此时判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$，两个条件需同时满足。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方，
∴首先抛物线开口要向上，即$a＞0$，
其次图象与$x$轴没有交点，即对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$无实数根，可得$b^2-4ac＜0$，
∴二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的条件是$a＞0$且$b^2-4ac＜0$。
【答案】
$a＞0$且$b^2-4ac＜0$
【知识点】
二次函数图象性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数的基础考题，解题时要注意两个条件缺一不可，不能仅考虑判别式小于0而忽略开口方向的限制。
【难度系数】
0.8
5. 已知二次函数$y=x^2 - mx -2$.
(1)求证:不论$m$取何值,该函数图象与$x$轴一定有两个交点;
(2)若该函数图象与$x$轴的两个交点为$A,B$,且点$A$的坐标为$(2,0)$,求点$B$的坐标.
(1)求证:不论$m$取何值,该函数图象与$x$轴一定有两个交点;
(2)若该函数图象与$x$轴的两个交点为$A,B$,且点$A$的坐标为$(2,0)$,求点$B$的坐标.
答案
5. (1)令$y=0$,得$x^2 -mx -2=0$.
∵$m^2 -4×1×(-2)=m^2+8＞0$,
∴不论$m$取何值,该函数的图象与$x$轴一定有两个交点.
(2)将$A(2,0)$代入$y=x^2 -mx -2$,得$4-2m-2=0$,解得$m=1$,
∴$y=x^2 -x -2$.令$y=0$,得$x^2 -x -2=0$,解得$x_1=-1,x_2=2$,
∴点$B$的坐标为$(-1,0)$.
∵$m^2 -4×1×(-2)=m^2+8＞0$,
∴不论$m$取何值,该函数的图象与$x$轴一定有两个交点.
(2)将$A(2,0)$代入$y=x^2 -mx -2$,得$4-2m-2=0$,解得$m=1$,
∴$y=x^2 -x -2$.令$y=0$,得$x^2 -x -2=0$,解得$x_1=-1,x_2=2$,
∴点$B$的坐标为$(-1,0)$.
解析
【分析】
(1)要证明二次函数图象与x轴总有两个交点，可转化为证明对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根：先令y=0得到关于x的一元二次方程，再计算根的判别式，验证判别式恒大于0即可得证。
(2)已知点A在函数图象上，将A点坐标代入函数解析式可求出参数m，得到完整的二次函数表达式，再令y=0解一元二次方程，排除已知的A点横坐标，剩余的根就是B点的横坐标，结合交点纵坐标为0即可得到B点坐标。
【解析】
(1)证明：令$y=0$，可得一元二次方程$x^2 - mx - 2 = 0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$，
∵ 不论m取何值，$m^2≥0$，
∴ $m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，
∴ 不论m取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即该函数图象与x轴一定有两个交点。
(2)解：将$A(2,0)$代入$y=x^2 - mx - 2$，得：
$4 - 2m - 2 = 0$，解得$m=1$，
∴ 二次函数解析式为$y = x^2 - x - 2$，
令$y=0$，得$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
∵ 点A坐标为$(2,0)$，
∴ 点B的坐标为$(-1,0)$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $B(-1,0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，根的判别式，待定系数法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的关联，熟练运用判别式判断交点个数、代入法求参数是解题关键，是巩固二次函数与方程相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1)要证明二次函数图象与x轴总有两个交点，可转化为证明对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根：先令y=0得到关于x的一元二次方程，再计算根的判别式，验证判别式恒大于0即可得证。
(2)已知点A在函数图象上，将A点坐标代入函数解析式可求出参数m，得到完整的二次函数表达式，再令y=0解一元二次方程，排除已知的A点横坐标，剩余的根就是B点的横坐标，结合交点纵坐标为0即可得到B点坐标。
【解析】
(1)证明：令$y=0$，可得一元二次方程$x^2 - mx - 2 = 0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(-2) = m^2 + 8$，
∵ 不论m取何值，$m^2≥0$，
∴ $m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，
∴ 不论m取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即该函数图象与x轴一定有两个交点。
(2)解：将$A(2,0)$代入$y=x^2 - mx - 2$，得：
$4 - 2m - 2 = 0$，解得$m=1$，
∴ 二次函数解析式为$y = x^2 - x - 2$，
令$y=0$，得$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
∵ 点A坐标为$(2,0)$，
∴ 点B的坐标为$(-1,0)$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $B(-1,0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，根的判别式，待定系数法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的关联，熟练运用判别式判断交点个数、代入法求参数是解题关键，是巩固二次函数与方程相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的变量$x,y$的部分对应值如下表：
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是（
A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
根据表中信息，可得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的范围是（
C
）A.$-3＜x_1＜-2$
B.$-2＜x_1＜-1$
C.$-1＜x_1＜0$
D.$0＜x_1＜1$
答案
6. C 解析:观察表格可知,随着x的增大,$y=ax^2+bx+c$的值逐渐增大,在$x=-1$和$x=0$时函数值由负数变为正数,
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$在$x=-1$和$x=0$之间,即$-1＜x_1＜0$.故选C.
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$在$x=-1$和$x=0$之间,即$-1＜x_1＜0$.故选C.
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解范围，首先明确：方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的值，也就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。二次函数的图象是连续的曲线，因此当两个相邻的$x$对应的函数值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得函数值为0，也就是方程的一个解。接下来只需观察表格中$y$值的正负变化，找到对应的相邻$x$的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：当$x=-1$时，$y=-1＜0$；当$x=0$时，$y=1＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$-1＜x＜0$的范围内，必然存在一个$x_1$使得$y=ax^2+bx+c=0$，即方程的一个近似解$x_1$的范围是$-1＜x_1＜0$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题属于二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是理解方程的解与对应函数值为0的等价关系，通过观察相邻自变量对应的函数值符号变化即可快速确定解的范围，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解范围，首先明确：方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的值，也就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。二次函数的图象是连续的曲线，因此当两个相邻的$x$对应的函数值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得函数值为0，也就是方程的一个解。接下来只需观察表格中$y$值的正负变化，找到对应的相邻$x$的区间即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：当$x=-1$时，$y=-1＜0$；当$x=0$时，$y=1＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$-1＜x＜0$的范围内，必然存在一个$x_1$使得$y=ax^2+bx+c=0$，即方程的一个近似解$x_1$的范围是$-1＜x_1＜0$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题属于二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是理解方程的解与对应函数值为0的等价关系，通过观察相邻自变量对应的函数值符号变化即可快速确定解的范围，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
7. |教材P34习题T6变式 利用二次函数的图象求一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的实数根.(精确到0.1)
答案
7. 方程$x^2 -2x -1=0$的根是函数$y=x^2 -2x -1$的图象与x轴的公共点的横坐标.作出二次函数$y=x^2 -2x -1$的图象(如图).
由图象可知方程有两个根,一个根在-1和0之间,另一个根在2和3之间.先求-1和0之间的根.当$x=-0.4$时,$y=-0.04$;当$x=-0.5$时,$y=0.25$.因此,-0.4是方程的一个近似根.同理,2.4是方程的另一个近似根.综上,方程$x^2 -2x -1=0$的实数根为$x_1≈-0.4,x_2≈2.4$(根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可).解析
【分析】
要利用二次函数图象求一元二次方程的根，首先需明确二者的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴公共点的横坐标。解题时先通过函数图象确定根的大致区间，再在区间内取不同的x值代入计算函数值，找到函数值最接近0时对应的x值，即可得到符合精度要求的近似根。
【解析】
1. 明确对应关系：方程$x^2 -2x -1=0$的根是二次函数$y=x^2 -2x -1$的图象与x轴公共点的横坐标；
2. 确定根的大致范围：观察给出的二次函数图象，可知图象与x轴有两个交点，一个交点横坐标在-1和0之间，另一个在2和3之间，即方程的两个根分别在这两个区间内；
3. 估算-1~0之间的根：分别代入x值计算y值：
当$x=-0.5$时，$y=(-0.5)^2-2×(-0.5)-1=0.25$；
当$x=-0.4$时，$y=(-0.4)^2-2×(-0.4)-1=-0.04$；
$y=-0.04$更接近0，因此$x\approx-0.4$是方程的一个近似根；
4. 估算2~3之间的根：同理代入x值计算：
当$x=2.5$时，$y=2.5^2-2×2.5-1=0.25$；
当$x=2.4$时，$y=2.4^2-2×2.4-1=-0.04$；
$y=-0.04$更接近0，因此$x\approx2.4$是方程的另一个近似根。
【答案】
方程$x^2 -2x -1=0$的根是函数$y=x^2 -2x -1$的图象与x轴的公共点的横坐标.作出二次函数$y=x^2 -2x -1$的图象(如图).由图象可知方程有两个根,一个根在-1和0之间,另一个根在2和3之间.先求-1和0之间的根.当$x=-0.4$时,$y=-0.04$;当$x=-0.5$时,$y=0.25$.因此,-0.4是方程的一个近似根.同理,2.4是方程的另一个近似根.综上,方程$x^2 -2x -1=0$的实数根为$x_1≈-0.4,x_2≈2.4$(根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可).
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；近似根估算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程求解转化为函数图象与x轴交点横坐标的问题，降低了抽象的方程求解难度，同时试值估算近似根的方法也为无法直接开方或因式分解求解的方程提供了实用的求解思路，是二次函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要利用二次函数图象求一元二次方程的根，首先需明确二者的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴公共点的横坐标。解题时先通过函数图象确定根的大致区间，再在区间内取不同的x值代入计算函数值，找到函数值最接近0时对应的x值，即可得到符合精度要求的近似根。
【解析】
1. 明确对应关系：方程$x^2 -2x -1=0$的根是二次函数$y=x^2 -2x -1$的图象与x轴公共点的横坐标；
2. 确定根的大致范围：观察给出的二次函数图象，可知图象与x轴有两个交点，一个交点横坐标在-1和0之间，另一个在2和3之间，即方程的两个根分别在这两个区间内；
3. 估算-1~0之间的根：分别代入x值计算y值：
当$x=-0.5$时，$y=(-0.5)^2-2×(-0.5)-1=0.25$；
当$x=-0.4$时，$y=(-0.4)^2-2×(-0.4)-1=-0.04$；
$y=-0.04$更接近0，因此$x\approx-0.4$是方程的一个近似根；
4. 估算2~3之间的根：同理代入x值计算：
当$x=2.5$时，$y=2.5^2-2×2.5-1=0.25$；
当$x=2.4$时，$y=2.4^2-2×2.4-1=-0.04$；
$y=-0.04$更接近0，因此$x\approx2.4$是方程的另一个近似根。
【答案】
方程$x^2 -2x -1=0$的根是函数$y=x^2 -2x -1$的图象与x轴的公共点的横坐标.作出二次函数$y=x^2 -2x -1$的图象(如图).
由图象可知方程有两个根,一个根在-1和0之间,另一个根在2和3之间.先求-1和0之间的根.当$x=-0.4$时,$y=-0.04$;当$x=-0.5$时,$y=0.25$.因此,-0.4是方程的一个近似根.同理,2.4是方程的另一个近似根.综上,方程$x^2 -2x -1=0$的实数根为$x_1≈-0.4,x_2≈2.4$(根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可).【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；近似根估算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程求解转化为函数图象与x轴交点横坐标的问题，降低了抽象的方程求解难度，同时试值估算近似根的方法也为无法直接开方或因式分解求解的方程提供了实用的求解思路，是二次函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8. ★★ 如图所示是二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象，由图象可知不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是（
A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$且$x＞5$
D.$x＜-1$或$x＞5$
D
）A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$且$x＞5$
D.$x＜-1$或$x＞5$
答案
8. D 解析:由题图可知,对称轴为直线$x=2$.
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-1,0)$.又
∵抛物线开口向下,
∴不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是$x＜-1$或$x＞5$.故选D.
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-1,0)$.又
∵抛物线开口向下,
∴不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是$x＜-1$或$x＞5$.故选D.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，本质是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像位于x轴下方时对应的x的取值范围。解题思路如下：第一步，先根据图像确定抛物线的对称轴，以及抛物线与x轴的已知交点；第二步，利用二次函数的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点；第三步，结合抛物线的开口方向，确定图像在x轴下方对应的x的范围，即为不等式的解集。
【解析】
由题图可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，抛物线与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则有：
$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(-1,0)$。
又因为抛物线开口向下，当$y=ax^2+bx+c＜0$时，图像位于x轴下方，对应x的取值为$x＜-1$或$x＞5$。
因此不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是$x＜-1$或$x＞5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次不等式；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型考题，解题的核心是掌握二次函数图像的对称性，以及函数值的正负和图像与x轴位置关系的对应规律，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，本质是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像位于x轴下方时对应的x的取值范围。解题思路如下：第一步，先根据图像确定抛物线的对称轴，以及抛物线与x轴的已知交点；第二步，利用二次函数的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点；第三步，结合抛物线的开口方向，确定图像在x轴下方对应的x的范围，即为不等式的解集。
【解析】
由题图可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，抛物线与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则有：
$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(-1,0)$。
又因为抛物线开口向下，当$y=ax^2+bx+c＜0$时，图像位于x轴下方，对应x的取值为$x＜-1$或$x＞5$。
因此不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是$x＜-1$或$x＞5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次不等式；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型考题，解题的核心是掌握二次函数图像的对称性，以及函数值的正负和图像与x轴位置关系的对应规律，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
