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9. (2025·蚌埠期中)如图，一次函数$y_1=kx+m$与二次函数$y_2=ax^2+bx+c$的图象相交于点$A(-2,5),B(7,2)$，则能使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围是
$-2＜x＜7$
。答案
9. $-2＜x＜7$ 解析:
∵一次函数$y_1=kx+m$与二次函数$y_2=ax^2+bx+c$的图象相交于点$A(-2,5),B(7,2)$,
∴一次函数图象在二次函数图象上方时,$y_1＞y_2$,即$-2＜x＜7$,故答案为$-2＜x＜7$.
∵一次函数$y_1=kx+m$与二次函数$y_2=ax^2+bx+c$的图象相交于点$A(-2,5),B(7,2)$,
∴一次函数图象在二次函数图象上方时,$y_1＞y_2$,即$-2＜x＜7$,故答案为$-2＜x＜7$.
解析
【分析】
要找到使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围，首先明确函数值的大小关系对应图象的上下位置关系：当一次函数图象在二次函数图象上方时，对应的$x$就满足$y_1＞y_2$。两个函数的交点是函数值相等的临界点，因此先确定交点的横坐标，再观察图象判断满足条件的$x$区间即可。
【解析】
$\because$一次函数$y_1=kx+m$与二次函数$y_2=ax^2+bx+c$的图象相交于点$A(-2,5)$、$B(7,2)$，
$\therefore y_1＞y_2$即一次函数图象位于二次函数图象上方，观察图象可得，该部分对应的$x$取值在两个交点的横坐标之间，即$-2＜x＜7$。
【答案】
$-2＜x＜7$
【知识点】
函数与不等式的关系；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解函数值大小与图象上下位置的对应关系，无需复杂计算，观察图象即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要找到使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围，首先明确函数值的大小关系对应图象的上下位置关系：当一次函数图象在二次函数图象上方时，对应的$x$就满足$y_1＞y_2$。两个函数的交点是函数值相等的临界点，因此先确定交点的横坐标，再观察图象判断满足条件的$x$区间即可。
【解析】
$\because$一次函数$y_1=kx+m$与二次函数$y_2=ax^2+bx+c$的图象相交于点$A(-2,5)$、$B(7,2)$，
$\therefore y_1＞y_2$即一次函数图象位于二次函数图象上方，观察图象可得，该部分对应的$x$取值在两个交点的横坐标之间，即$-2＜x＜7$。
【答案】
$-2＜x＜7$
【知识点】
函数与不等式的关系；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解函数值大小与图象上下位置的对应关系，无需复杂计算，观察图象即可得到结果。
【难度系数】
0.8
10. (2025·合肥期中)已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$A(1,0),B(4,3)$。
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)已知二次函数$y=x^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于$A,B$两点,请结合图象直接写出不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集。
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)已知二次函数$y=x^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于$A,B$两点,请结合图象直接写出不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集。
答案
10. (1)将$A(1,0),B(4,3)$代入$y=x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}1+b+c=0,\\16+4b+c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-4,\\c=3,\end{cases}$
∴$y=x^2-4x+3$.
(2)$x≤1$或$x≥4$ 解析:
∵$x^2+(b-m)x+c≥n$,
∴$x^2+bx+c≥mx+n$,
∴不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集为二次函数图象在一次函数图象上方部分所对应的x的取值范围,由图象可知,不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集为$x≤1$或$x≥4$.
$\begin{cases}1+b+c=0,\\16+4b+c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-4,\\c=3,\end{cases}$
∴$y=x^2-4x+3$.
(2)$x≤1$或$x≥4$ 解析:
∵$x^2+(b-m)x+c≥n$,
∴$x^2+bx+c≥mx+n$,
∴不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集为二次函数图象在一次函数图象上方部分所对应的x的取值范围,由图象可知,不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$的解集为$x≤1$或$x≥4$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式可使用待定系数法，已知函数图象经过A、B两个定点，将两点坐标代入二次函数一般式，就能得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可确定表达式。
(2) 先对所求不等式变形，转化为二次函数值大于等于一次函数值的形式，根据函数图象的意义：二次函数图象在一次函数图象上方（含交点）对应的x的取值范围就是不等式的解集，结合A、B两点的横坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 将$A(1,0),B(4,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1+b+c=0\\16+4b+c=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去c，得$15+3b=3$，解得$b=-4$；
将$b=-4$代入$1+b+c=0$，得$1-4+c=0$，解得$c=3$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 对不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$移项，可得$x^2+bx+c≥mx+n$，即二次函数$y=x^2+bx+c$的函数值大于等于一次函数$y=mx+n$的函数值。
对应图象为二次函数图象位于一次函数图象上方（含交点）的部分，已知两函数交于$A(1,0)$、$B(4,3)$，结合图象可得不等式的解集为$x≤1$或$x≥4$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) $x≤1$或$x≥4$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既考察了待定系数法求函数解析式这一基础技能，也考察了数形结合思想的应用，理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系是解第二问的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数表达式可使用待定系数法，已知函数图象经过A、B两个定点，将两点坐标代入二次函数一般式，就能得到关于b、c的二元一次方程组，解出b、c的值即可确定表达式。
(2) 先对所求不等式变形，转化为二次函数值大于等于一次函数值的形式，根据函数图象的意义：二次函数图象在一次函数图象上方（含交点）对应的x的取值范围就是不等式的解集，结合A、B两点的横坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 将$A(1,0),B(4,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1+b+c=0\\16+4b+c=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去c，得$15+3b=3$，解得$b=-4$；
将$b=-4$代入$1+b+c=0$，得$1-4+c=0$，解得$c=3$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 对不等式$x^2+(b-m)x+c≥n$移项，可得$x^2+bx+c≥mx+n$，即二次函数$y=x^2+bx+c$的函数值大于等于一次函数$y=mx+n$的函数值。
对应图象为二次函数图象位于一次函数图象上方（含交点）的部分，已知两函数交于$A(1,0)$、$B(4,3)$，结合图象可得不等式的解集为$x≤1$或$x≥4$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) $x≤1$或$x≥4$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既考察了待定系数法求函数解析式这一基础技能，也考察了数形结合思想的应用，理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系是解第二问的关键。
【难度系数】
0.8
11. 已知抛物线$y=x^2 - mx -3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，且$AB=4$，则$m$的值为（
A.2
B.-2
C.$\pm2$
D.$\pm4$
C
）A.2
B.-2
C.$\pm2$
D.$\pm4$
答案
11. C 解析:设A,B两点的横坐标为$x_1,x_2$,由题意知$AB=|x_1-x_2|=4$,$x_1+x_2=m$,$x_1·x_2=-3$.
∵$(x_1+x_2)^2-4x_1·x_2=(x_1-x_2)^2$,
∴$m^2-4×(-3)=4^2$,解得$m=±2$,故选C.
∵$(x_1+x_2)^2-4x_1·x_2=(x_1-x_2)^2$,
∴$m^2-4×(-3)=4^2$,解得$m=±2$,故选C.
解析
【分析】
遇到抛物线与x轴交点的问题，可转化为对应一元二次方程的根的问题求解。本题中抛物线与x轴交点A、B的横坐标就是方程$x^2 - mx -3=0$的两个根$x_1、x_2$，线段AB的长度就是两根差的绝对值$|x_1-x_2|$。接下来利用一元二次方程根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再结合完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入已知条件列方程即可求出m的值。
【解析】
设A、B两点的横坐标为$x_1、x_2$，即$x_1、x_2$是方程$x^2 - mx -3=0$的两个实数根。
由题意得$AB=|x_1-x_2|=4$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=m$，$x_1·x_2=-3$，
由完全平方公式变形可知：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
将已知条件代入得：$4^2 = m^2 - 4×(-3)$，
即$16 = m^2 + 12$，
解得$m^2=4$，即$m=±2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题，核心考察转化思想，即把函数交点问题转化为方程根的问题求解，解题时需注意开平方运算会得到正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
遇到抛物线与x轴交点的问题，可转化为对应一元二次方程的根的问题求解。本题中抛物线与x轴交点A、B的横坐标就是方程$x^2 - mx -3=0$的两个根$x_1、x_2$，线段AB的长度就是两根差的绝对值$|x_1-x_2|$。接下来利用一元二次方程根与系数的关系得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再结合完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入已知条件列方程即可求出m的值。
【解析】
设A、B两点的横坐标为$x_1、x_2$，即$x_1、x_2$是方程$x^2 - mx -3=0$的两个实数根。
由题意得$AB=|x_1-x_2|=4$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=m$，$x_1·x_2=-3$，
由完全平方公式变形可知：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，
将已知条件代入得：$4^2 = m^2 - 4×(-3)$，
即$16 = m^2 + 12$，
解得$m^2=4$，即$m=±2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题，核心考察转化思想，即把函数交点问题转化为方程根的问题求解，解题时需注意开平方运算会得到正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. ★★★ (烟台中考)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，其对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，且与x轴的一个交点坐标为$(-2,0)$。下列结论：①$abc＞0$；②$a=b$；③$2a+c=0$；④关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c-1=0$有两个相等的实数根。其中正确结论的序号是 (
A.①③
B.②④
C.③④
D.②③
D
)A.①③
B.②④
C.③④
D.②③
答案
12. D 解析:①由题图可知$a＞0,c＜0,-\frac{b}{2a}＜0$,
∴$b＞0$,
∴$abc＜0$,故①不符合题意.②由题意可知$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$,
∴$b=a$,故②符合题意.③将$(-2,0)$代入$y=ax^2+bx+c$,
∴$4a-2b+c=0$.
∵$a=b$,
∴$2a+c=0$,故③符合题意.④由题图可知二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值小于0,将$y=1$代入$y=ax^2+bx+c$,
∴$ax^2+bx+c=1$有两个不相等的实数根,故④不符合题意.故选D.
∴$b＞0$,
∴$abc＜0$,故①不符合题意.②由题意可知$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$,
∴$b=a$,故②符合题意.③将$(-2,0)$代入$y=ax^2+bx+c$,
∴$4a-2b+c=0$.
∵$a=b$,
∴$2a+c=0$,故③符合题意.④由题图可知二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值小于0,将$y=1$代入$y=ax^2+bx+c$,
∴$ax^2+bx+c=1$有两个不相等的实数根,故④不符合题意.故选D.
解析
【分析】
解决这道题需要结合二次函数的图像特征提取信息，逐步验证每个结论：第一步先通过抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置判断a、b、c的符号，验证结论①；第二步利用对称轴公式推导a和b的关系，验证结论②；第三步将已知的x轴交点坐标代入解析式，结合a和b的关系推导验证结论③；第四步结合二次函数的最小值，判断直线y=1与抛物线的交点个数，从而判断结论④对应的方程根的情况。
【解析】
我们逐个分析四个结论：
1. 分析结论①：
抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$；已知对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$，因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 分析结论②：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，化简得$\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，交叉相乘得$b=a$，结论②正确。
3. 分析结论③：
已知抛物线与x轴的一个交点为$(-2,0)$，将该点代入二次函数解析式得：
$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 0$，即$4a - 2b + c = 0$。
结合结论②的$a=b$，将$b$替换为$a$，得$4a - 2a + c = 0$，即$2a + c = 0$，结论③正确。
4. 分析结论④：
从图像可知二次函数的最小值小于0，因此直线$y=1$与抛物线有2个不同的交点，即方程$ax^2+bx+c=1$（也就是$ax^2+bx+c-1=0$）有两个不相等的实数根，结论④错误。
综上，正确的结论是②③。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程；二次函数系数判断
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，需要熟练掌握二次函数图像与系数的对应关系，能结合几何特征推导代数结论，同时要理解二次函数与一元二次方程的联系，是中考的常考题型。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要结合二次函数的图像特征提取信息，逐步验证每个结论：第一步先通过抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置判断a、b、c的符号，验证结论①；第二步利用对称轴公式推导a和b的关系，验证结论②；第三步将已知的x轴交点坐标代入解析式，结合a和b的关系推导验证结论③；第四步结合二次函数的最小值，判断直线y=1与抛物线的交点个数，从而判断结论④对应的方程根的情况。
【解析】
我们逐个分析四个结论：
1. 分析结论①：
抛物线开口向上，故$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$；已知对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$，因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 分析结论②：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，化简得$\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，交叉相乘得$b=a$，结论②正确。
3. 分析结论③：
已知抛物线与x轴的一个交点为$(-2,0)$，将该点代入二次函数解析式得：
$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 0$，即$4a - 2b + c = 0$。
结合结论②的$a=b$，将$b$替换为$a$，得$4a - 2a + c = 0$，即$2a + c = 0$，结论③正确。
4. 分析结论④：
从图像可知二次函数的最小值小于0，因此直线$y=1$与抛物线有2个不同的交点，即方程$ax^2+bx+c=1$（也就是$ax^2+bx+c-1=0$）有两个不相等的实数根，结论④错误。
综上，正确的结论是②③。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程；二次函数系数判断
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，需要熟练掌握二次函数图像与系数的对应关系，能结合几何特征推导代数结论，同时要理解二次函数与一元二次方程的联系，是中考的常考题型。
【难度系数】
0.6
13. ★★★|新题型·新定义 我们规定:形如 $ y = ax^2 + b|x| + c(a＜0) $ 的函数叫作“M型”函数. 如图是“M型”函数 $ y = -x^2 + 4|x| - 3 $ 的图象,根据图象,有以下结论:
①图象关于y轴对称;
②不等式 $ x^2 - 4|x| + 3 ＜ 0 $ 的解集是 $ -3 ＜ x ＜ -1 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ 3 $;
③方程 $ -x^2 + 4|x| - 3 = k $ 有两个实数解时 $ k ＜ -3 $.
正确的是 (
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
①图象关于y轴对称;
②不等式 $ x^2 - 4|x| + 3 ＜ 0 $ 的解集是 $ -3 ＜ x ＜ -1 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ 3 $;
③方程 $ -x^2 + 4|x| - 3 = k $ 有两个实数解时 $ k ＜ -3 $.
正确的是 (
A
)A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
13. A 解析:①由函数图象可知,此图象关于y轴对称,故①正确;②由对称性可得函数$y=-x^2+4|x|-3$的图象与x轴左边的交点为$(-1,0),(-3,0)$,则不等式$x^2-4|x|+3＜0$,即$-x^2+4|x|-3＞0$的解集是$-3＜x＜-1$或$1＜x＜3$,故②正确;③
∵$y=-x^2+4|x|-3=-(|x|-2)^2+1$,当$|x|=2$时,$y=1$,顶点坐标为$(-2,1)$和$(2,1)$,且与y轴交于点$(0,-3)$,
∴当$k＜-3$或$k=1$时,方程$-x^2+4|x|-3=k$有两个实数解,故③不正确.故选A.
∵$y=-x^2+4|x|-3=-(|x|-2)^2+1$,当$|x|=2$时,$y=1$,顶点坐标为$(-2,1)$和$(2,1)$,且与y轴交于点$(0,-3)$,
∴当$k＜-3$或$k=1$时,方程$-x^2+4|x|-3=k$有两个实数解,故③不正确.故选A.
解析
【分析】
这是一道结合新定义的二次函数综合题，解题思路如下：1. 判断对称性：观察函数表达式含|x|，或直接观察图象，即可判断是否关于y轴对称；2. 解不等式：先将所求不等式变形为给出的“M型”函数大于0的形式，结合图象找到x轴上方对应的x范围，再利用对称性得到完整解集；3. 判断方程解的个数：方程有两个实数解等价于直线y=k与“M型”函数图象有2个交点，先将函数配方得到顶点坐标和最值，再结合图象分析k的取值范围，判断结论是否正确。
【解析】
我们逐个判断三个结论：
① 函数表达式为$y = -x^2 + 4|x| - 3$，将x替换为-x，函数值不变，且从图象可直观看到图象左右两部分关于y轴对称，故①正确；
② 不等式$x^2 - 4|x| + 3 ＜ 0$移项变形可得$-x^2 + 4|x| - 3 ＞ 0$，即求“M型”函数图象在x轴上方的x的取值范围。由图象可知右侧与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，结合对称性可得左侧交点为$(-3,0)$、$(-1,0)$，因此图象在x轴上方时x的范围是$-3 ＜ x ＜ -1$或$1 ＜ x ＜ 3$，故②正确；
③ 将函数配方得：$y=-x^2 + 4|x| - 3 = -(|x|-2)^2 + 1$，可得函数顶点为$(2,1)$和$(-2,1)$，函数最大值为1，与y轴交点为$(0,-3)$。结合图象可知：当$k=1$时，直线$y=k$与两个顶点相交，对应2个实数解；当$k＜-3$时，直线$y=k$与图象左右两支各交于1点，对应2个实数解。因此方程有两个实数解时k的取值为$k=1$或$k＜-3$，结论③漏了$k=1$的情况，故③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与不等式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题为新定义题型，核心考查带绝对值的二次函数的性质，解题时要灵活运用数形结合思想，结合图象分析不等式解集、方程解的个数，同时要注意绝对值对函数对称性的影响，避免漏解。
【难度系数】
0.6
这是一道结合新定义的二次函数综合题，解题思路如下：1. 判断对称性：观察函数表达式含|x|，或直接观察图象，即可判断是否关于y轴对称；2. 解不等式：先将所求不等式变形为给出的“M型”函数大于0的形式，结合图象找到x轴上方对应的x范围，再利用对称性得到完整解集；3. 判断方程解的个数：方程有两个实数解等价于直线y=k与“M型”函数图象有2个交点，先将函数配方得到顶点坐标和最值，再结合图象分析k的取值范围，判断结论是否正确。
【解析】
我们逐个判断三个结论：
① 函数表达式为$y = -x^2 + 4|x| - 3$，将x替换为-x，函数值不变，且从图象可直观看到图象左右两部分关于y轴对称，故①正确；
② 不等式$x^2 - 4|x| + 3 ＜ 0$移项变形可得$-x^2 + 4|x| - 3 ＞ 0$，即求“M型”函数图象在x轴上方的x的取值范围。由图象可知右侧与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，结合对称性可得左侧交点为$(-3,0)$、$(-1,0)$，因此图象在x轴上方时x的范围是$-3 ＜ x ＜ -1$或$1 ＜ x ＜ 3$，故②正确；
③ 将函数配方得：$y=-x^2 + 4|x| - 3 = -(|x|-2)^2 + 1$，可得函数顶点为$(2,1)$和$(-2,1)$，函数最大值为1，与y轴交点为$(0,-3)$。结合图象可知：当$k=1$时，直线$y=k$与两个顶点相交，对应2个实数解；当$k＜-3$时，直线$y=k$与图象左右两支各交于1点，对应2个实数解。因此方程有两个实数解时k的取值为$k=1$或$k＜-3$，结论③漏了$k=1$的情况，故③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与不等式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题为新定义题型，核心考查带绝对值的二次函数的性质，解题时要灵活运用数形结合思想，结合图象分析不等式解集、方程解的个数，同时要注意绝对值对函数对称性的影响，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14. ★★★ 抛物线$y=mx^2+2mx+3(m≠0)$与$x$轴的两个交点为点$A$和点$B$，$AB=1$.
(1) 抛物线的对称轴为
(2) 若关于$x$的方程$mx^2+2mx+3-t=0$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是
(1) 抛物线的对称轴为
直线$x=-1$
；(2) 若关于$x$的方程$mx^2+2mx+3-t=0$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是
$-1≤t＜8$
.答案
14. (1)直线$x=-1$ 解析:对称轴为$x=-\frac{2m}{2m}=-1$.
(2)$-1≤t＜8$ 解析:
∵抛物线与x轴的两个交点为点A和点B,$AB=1$,
∴$A(-1-\frac{1}{2},0)$,$B(-1+\frac{1}{2},0)$,即$A(-\frac{3}{2},0)$,$B(-\frac{1}{2},0)$.将$A(-\frac{3}{2},0)$代入$y=mx^2+2mx+3$中,得$m=4$,
∴$y=4x^2+8x+3$.
∵方程$4x^2+8x+3-t=0$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$的范围内有实数根,
∴抛物线$y=4x^2+8x+3$与直线$y=t$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$的范围内有交点.
如图,当直线$y=t$与直线EF重合时,令$x=\frac{1}{2}$,则$y=8$,当直线$y=t$与直线CD重合时,令$x=-1$,则$y=-1$,∴直线$y=t$在直线EF和直线CD之间,
∴$-1≤t＜8$.故答案为$-1≤t＜8$.
解析
【分析】
（1）对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，本题中$a=m$、$b=2m$，且$m≠0$可约去，直接代入计算即可。
（2）方程$mx^2+2mx+3-t=0$在指定范围内有实根，等价于抛物线$y=mx^2+2mx+3$与直线$y=t$在该范围内有交点。首先根据抛物线对称轴和$AB$的长度，确定$A$、$B$两点的坐标，代入解析式求出$m$的值，得到具体的二次函数表达式；再求出二次函数在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内的最值，结合区间端点的开闭情况，即可得到$t$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=mx^2+2mx+3(m≠0)$，其中$a=m$，$b=2m$，根据对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2m}=-1$
即抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
(2)
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴两交点$A$、$B$的距离$AB=1$，
∴两交点分别在对称轴两侧，距离对称轴$\frac{1}{2}$个单位长度，
即$A$点坐标为$(-1-\frac{1}{2},0)=(-\frac{3}{2},0)$，$B$点坐标为$(-1+\frac{1}{2},0)=(-\frac{1}{2},0)$。
将$A(-\frac{3}{2},0)$代入$y=mx^2+2mx+3$得：
$m· (-\frac{3}{2})^2 + 2m· (-\frac{3}{2}) + 3 = 0$
解得$m=4$，
∴抛物线解析式为$y=4x^2+8x+3$。
方程$mx^2+2mx+3-t=0$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内有实数根，等价于抛物线$y=4x^2+8x+3$与直线$y=t$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内有交点。
将抛物线配方得$y=4(x+1)^2-1$，可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(-1,-1)$，即$x=-1$时，$y$取最小值$-1$。
分别计算区间端点附近的函数值：
当$x=\frac{1}{2}$时，$y=4× (\frac{1}{2})^2 +8× \frac{1}{2}+3=1+4+3=8$，由于$x$的范围是$-2＜x＜\frac{1}{2}$，因此$y＜8$；
当$x=-2$时，$y=4× (-2)^2 +8× (-2)+3=16-16+3=3$，小于8。
因此在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内，$y$的取值范围是$-1≤y＜8$，即$t$的取值范围为$-1≤t＜8$。
【答案】
(1) 直线$x=-1$
(2) $-1≤t＜8$
【知识点】
二次函数的对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数区间最值
【点评】
本题将二次函数性质与一元二次方程的根结合考查，解题核心是将方程有实根的问题转化为函数图像的交点问题，结合抛物线的对称性确定交点坐标、求出解析式，再通过分析区间内的函数取值范围得到结果，需注意开区间端点处的函数值取不到。
【难度系数】
0.6
（1）对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，本题中$a=m$、$b=2m$，且$m≠0$可约去，直接代入计算即可。
（2）方程$mx^2+2mx+3-t=0$在指定范围内有实根，等价于抛物线$y=mx^2+2mx+3$与直线$y=t$在该范围内有交点。首先根据抛物线对称轴和$AB$的长度，确定$A$、$B$两点的坐标，代入解析式求出$m$的值，得到具体的二次函数表达式；再求出二次函数在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内的最值，结合区间端点的开闭情况，即可得到$t$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=mx^2+2mx+3(m≠0)$，其中$a=m$，$b=2m$，根据对称轴公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2m}=-1$
即抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
(2)
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴两交点$A$、$B$的距离$AB=1$，
∴两交点分别在对称轴两侧，距离对称轴$\frac{1}{2}$个单位长度，
即$A$点坐标为$(-1-\frac{1}{2},0)=(-\frac{3}{2},0)$，$B$点坐标为$(-1+\frac{1}{2},0)=(-\frac{1}{2},0)$。
将$A(-\frac{3}{2},0)$代入$y=mx^2+2mx+3$得：
$m· (-\frac{3}{2})^2 + 2m· (-\frac{3}{2}) + 3 = 0$
解得$m=4$，
∴抛物线解析式为$y=4x^2+8x+3$。
方程$mx^2+2mx+3-t=0$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内有实数根，等价于抛物线$y=4x^2+8x+3$与直线$y=t$在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内有交点。
将抛物线配方得$y=4(x+1)^2-1$，可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(-1,-1)$，即$x=-1$时，$y$取最小值$-1$。
分别计算区间端点附近的函数值：
当$x=\frac{1}{2}$时，$y=4× (\frac{1}{2})^2 +8× \frac{1}{2}+3=1+4+3=8$，由于$x$的范围是$-2＜x＜\frac{1}{2}$，因此$y＜8$；
当$x=-2$时，$y=4× (-2)^2 +8× (-2)+3=16-16+3=3$，小于8。
因此在$-2＜x＜\frac{1}{2}$范围内，$y$的取值范围是$-1≤y＜8$，即$t$的取值范围为$-1≤t＜8$。
【答案】
(1) 直线$x=-1$
(2) $-1≤t＜8$
【知识点】
二次函数的对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数区间最值
【点评】
本题将二次函数性质与一元二次方程的根结合考查，解题核心是将方程有实根的问题转化为函数图像的交点问题，结合抛物线的对称性确定交点坐标、求出解析式，再通过分析区间内的函数取值范围得到结果，需注意开区间端点处的函数值取不到。
【难度系数】
0.6
15. (2025·合肥校级月考)在平面直角坐标系中，A点坐标为$(-1,-2)$，B点坐标为$(5,4)$。
(1)若抛物线$y=x^2 - 2x + c$经过点A，则c的值为
(2)若抛物线$y=x^2 - 2x + c$与线段AB只有一个公共点，则c的取值范围为
(1)若抛物线$y=x^2 - 2x + c$经过点A，则c的值为
$-5$
。(2)若抛物线$y=x^2 - 2x + c$与线段AB只有一个公共点，则c的取值范围为
$-11≤c＜-5$或$c=\frac{5}{4}$
。答案
15. (1)$-5$ 解析:依题意,将$A(-1,-2)$代入$y=x^2-2x+c$,
∴$-2=1+2+c$,解得$c=-5$.故答案为$-5$.
(2)$-11≤c＜-5$或$c=\frac{5}{4}$ 解析:
∵抛物线$y=x^2-2x+c=(x-1)^2+c-1$,
∴对称轴为直线$x=1$.
∵A点坐标为$(-1,-2)$,B点坐标为$(5,4)$.设直线AB的表达式为$y=kx+b$,
∴$\begin{cases}-k+b=-2,\\5k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1,\end{cases}$
∴$y=x-1$.如图①所示,当抛物线在线段AB上方,且与AB只有1个交点时,联立$\begin{cases}y=x-1,\\y=x^2-2x+c,\end{cases}$
∴$x^2-2x+c=x-1$,即$x^2-3x+c+1=0$,
∴Δ=b²-4ac=9-4(c+1)=0,解得$c=\frac{5}{4}$.
将抛物线向下移动,当抛物线经过点A时,由(1)可得$c=-5$,继续向下移动,则与AB只有一个交点,当经过点B时,如图②所示,
将$B(5,4)$代入$y=x^2-2x+c$,得$4=25-2×5+c$,解得$c=-11$.综上所述,抛物线$y=x^2-2x+c$与线段AB只有一个公共点,则c的取值范围为$-11≤c＜-5$或$c=\frac{5}{4}$.故答案为$-11≤c＜-5$或$c=\frac{5}{4}$.解析
【分析】
(1) 第一小问已知抛物线经过点A，直接将A点坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的一元一次方程，解方程就能求出c的值。
(2) 第二小问先利用待定系数法求出线段AB对应的一次函数解析式，再分两种情况讨论：①抛物线与直线AB相切，此时联立两个函数得到的一元二次方程判别式为0，求出c后验证切点是否在线段AB的横坐标范围内；②抛物线与直线AB有两个交点，但仅有一个交点落在线段AB上，此时分别求出抛物线经过A、B两点时的c值，结合抛物线平移的规律确定该情况下c的取值范围，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
(1) 将A(-1,-2)代入$y=x^2-2x+c$，得：
$-2=(-1)^2-2×(-1)+c$
即$-2=1+2+c$，解得$c=-5$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(-1,-2)、B(5,4)代入得：
$\begin{cases}-k+b=-2\\5k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-1\end{cases}$，故直线AB的解析式为$y=x-1$。
抛物线$y=x^2-2x+c=(x-1)^2+c-1$，对称轴为直线$x=1$。
第一种情况：抛物线与直线AB相切，仅一个交点且在线段AB上：
联立$\begin{cases}y=x-1\\y=x^2-2x+c\end{cases}$，整理得$x^2-3x+c+1=0$，
令$\Delta=(-3)^2-4(c+1)=0$，解得$c=\frac{5}{4}$。
第二种情况：抛物线与直线AB有两个交点，仅一个交点在线段AB上：
当抛物线经过点A时，由(1)得$c=-5$，此时抛物线与线段AB有2个交点，继续向下平移抛物线，仅1个交点在线段AB上；当抛物线经过点B时，将B(5,4)代入$y=x^2-2x+c$得$4=25-10+c$，解得$c=-11$。
因此该情况c的取值范围为$-11≤c＜-5$。
综上，c的取值范围为$-11≤c＜-5$或$c=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$
(2) $\boldsymbol{-11≤c＜-5}$或$\boldsymbol{c=\frac{5}{4}}$
【知识点】
待定系数法，一次函数解析式求解，二次函数与线段交点
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合应用题型，需要运用分类讨论思想分析交点的不同情况，解题时注意题干限定的是线段AB，而非整条直线，能很好地考察学生的数形结合能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.5
(1) 第一小问已知抛物线经过点A，直接将A点坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的一元一次方程，解方程就能求出c的值。
(2) 第二小问先利用待定系数法求出线段AB对应的一次函数解析式，再分两种情况讨论：①抛物线与直线AB相切，此时联立两个函数得到的一元二次方程判别式为0，求出c后验证切点是否在线段AB的横坐标范围内；②抛物线与直线AB有两个交点，但仅有一个交点落在线段AB上，此时分别求出抛物线经过A、B两点时的c值，结合抛物线平移的规律确定该情况下c的取值范围，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
(1) 将A(-1,-2)代入$y=x^2-2x+c$，得：
$-2=(-1)^2-2×(-1)+c$
即$-2=1+2+c$，解得$c=-5$。
(2) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(-1,-2)、B(5,4)代入得：
$\begin{cases}-k+b=-2\\5k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-1\end{cases}$，故直线AB的解析式为$y=x-1$。
抛物线$y=x^2-2x+c=(x-1)^2+c-1$，对称轴为直线$x=1$。
第一种情况：抛物线与直线AB相切，仅一个交点且在线段AB上：
联立$\begin{cases}y=x-1\\y=x^2-2x+c\end{cases}$，整理得$x^2-3x+c+1=0$，
令$\Delta=(-3)^2-4(c+1)=0$，解得$c=\frac{5}{4}$。
第二种情况：抛物线与直线AB有两个交点，仅一个交点在线段AB上：
当抛物线经过点A时，由(1)得$c=-5$，此时抛物线与线段AB有2个交点，继续向下平移抛物线，仅1个交点在线段AB上；当抛物线经过点B时，将B(5,4)代入$y=x^2-2x+c$得$4=25-10+c$，解得$c=-11$。
因此该情况c的取值范围为$-11≤c＜-5$。
综上，c的取值范围为$-11≤c＜-5$或$c=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$
(2) $\boldsymbol{-11≤c＜-5}$或$\boldsymbol{c=\frac{5}{4}}$
【知识点】
待定系数法，一次函数解析式求解，二次函数与线段交点
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合应用题型，需要运用分类讨论思想分析交点的不同情况，解题时注意题干限定的是线段AB，而非整条直线，能很好地考察学生的数形结合能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.5
16. 已知抛物线 $y = x^2 - (2m - 2)x + m^2 - 2m$.(其中 $m$ 为常数)
(1)求证:不论 $m$ 为何值,该抛物线与 $x$ 轴一定有两个公共点;
(2)若 $(2m, y_1),(2m+1, y_2)$ 两点在抛物线上,试比较 $y_1 - y_2$ 与 $0$ 的大小;
(3)若该抛物线在 $-4 ≤ x ≤ 1$ 的部分与直线 $y = -2mx + m^2 +1$ 有两个公共点,试求出 $m$ 的取值范围.
(1)求证:不论 $m$ 为何值,该抛物线与 $x$ 轴一定有两个公共点;
(2)若 $(2m, y_1),(2m+1, y_2)$ 两点在抛物线上,试比较 $y_1 - y_2$ 与 $0$ 的大小;
(3)若该抛物线在 $-4 ≤ x ≤ 1$ 的部分与直线 $y = -2mx + m^2 +1$ 有两个公共点,试求出 $m$ 的取值范围.
答案
16. (1)当$y=0$时,$x^2-(2m-2)x+m^2-2m=0$,
∴判别式Δ=$[-(2m-2)]^2-4(m^2-2m)=4＞0$,
∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)
∵$(2m,y_1),(2m+1,y_2)$两点在抛物线上,
∴$y_1=(2m)^2-2m(2m-2)+m^2-2m$,$y_2=(2m+1)^2-(2m-2)(2m+1)+m^2-2m$,
∴$y_1-y_2=-2m-3$,当$-2m-3=0$时,$m=-\frac{3}{2}$.
∵$-2＜0$,
∴$y_1-y_2$的值随m的增大而减小,
∴当$m＞-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＜0$,当$m＜-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＞0$.综上所述,当$m＜-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＞0$;当$m=-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2=0$;当$m＞-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＜0$.
(3)
∵该抛物线在$-4≤x≤1$的部分与直线$y=-2mx+m^2+1$有两个公共点,
∴方程$x^2-(2m-2)x+m^2-2m=-2mx+m^2+1$有两个不相等的实数根,且在$-4≤x≤1$之间,整理得$x^2+2x-2m-1=0$,
∴$\begin{cases}2^2-4(-2m-1)＞0,\\(-4)^2+2×(-4)-2m-1≥0,\\1^2+2×1-2m-1≥0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m＞-1,\\m≤\frac{7}{2},\\m≤1,\end{cases}$
∴$-1＜m≤1$.
∴判别式Δ=$[-(2m-2)]^2-4(m^2-2m)=4＞0$,
∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)
∵$(2m,y_1),(2m+1,y_2)$两点在抛物线上,
∴$y_1=(2m)^2-2m(2m-2)+m^2-2m$,$y_2=(2m+1)^2-(2m-2)(2m+1)+m^2-2m$,
∴$y_1-y_2=-2m-3$,当$-2m-3=0$时,$m=-\frac{3}{2}$.
∵$-2＜0$,
∴$y_1-y_2$的值随m的增大而减小,
∴当$m＞-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＜0$,当$m＜-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＞0$.综上所述,当$m＜-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＞0$;当$m=-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2=0$;当$m＞-\frac{3}{2}$时,$y_1-y_2＜0$.
(3)
∵该抛物线在$-4≤x≤1$的部分与直线$y=-2mx+m^2+1$有两个公共点,
∴方程$x^2-(2m-2)x+m^2-2m=-2mx+m^2+1$有两个不相等的实数根,且在$-4≤x≤1$之间,整理得$x^2+2x-2m-1=0$,
∴$\begin{cases}2^2-4(-2m-1)＞0,\\(-4)^2+2×(-4)-2m-1≥0,\\1^2+2×1-2m-1≥0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m＞-1,\\m≤\frac{7}{2},\\m≤1,\end{cases}$
∴$-1＜m≤1$.
解析
【分析】
(1)要证明抛物线与x轴总有两个公共点，只需证明抛物线对应的一元二次方程的判别式Δ恒大于0即可，思路是令y=0得到关于x的一元二次方程，计算Δ并化简，判断其正负性。
(2)比较$y_1-y_2$与0的大小，先将两个点的横坐标分别代入抛物线解析式求出$y_1$、$y_2$，作差得到关于m的代数式，再根据代数式的性质分情况讨论大小。
(3)抛物线与直线在指定区间有两个公共点，等价于联立两个解析式得到的一元二次方程在区间$[-4,1]$上有两个不相等的实数根，先联立方程化简，再结合判别式大于0、区间端点处函数值非负列不等式组求解。
【解析】
(1)证明：令$y=0$，得方程$x^2 - (2m - 2)x + m^2 - 2m=0$，
判别式$\Delta = [-(2m-2)]^2 - 4×1×(m^2 - 2m) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 8m = 4 ＞ 0$，
因此不论m取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴一定有两个公共点。
(2)解：
∵点$(2m, y_1)$、$(2m+1, y_2)$在抛物线上，
∴$y_1=(2m)^2 - (2m-2)·2m + m^2 - 2m = m^2 + 2m$，
$y_2=(2m+1)^2 - (2m-2)(2m+1) + m^2 - 2m = m^2 +4m +3$，
∴$y_1 - y_2 = (m^2 +2m) - (m^2 +4m +3) = -2m -3$。
当$-2m-3=0$时，$m=-\frac{3}{2}$；
∵$-2＜0$，
∴$y_1-y_2$随m的增大而减小，
∴当$m ＜ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＞ 0$；
当$m = -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 = 0$；
当$m ＞ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＜ 0$。
(3)解：联立抛物线与直线的解析式，得：
$x^2 - (2m - 2)x + m^2 - 2m = -2mx + m^2 +1$，
整理得$x^2 + 2x - 2m -1 = 0$，
由题意，该方程在$-4 ≤x ≤1$范围内有两个不相等的实数根，设$g(x)=x^2 +2x -2m -1$，其开口向上，对称轴为$x=-1$（在区间$[-4,1]$内），因此需满足：
$\begin{cases}\Delta = 2^2 -4×1×(-2m -1) ＞ 0 \\g(-4) = (-4)^2 + 2×(-4) -2m -1 ≥0 \\g(1) = 1^2 +2×1 -2m -1 ≥0\end{cases}$
分别解不等式：
第一个不等式：$4 +8m +4 ＞0 \implies m ＞ -1$；
第二个不等式：$16 -8 -2m -1 ≥0 \implies m ≤ \frac{7}{2}$；
第三个不等式：$1 +2 -2m -1 ≥0 \implies m ≤1$；
取三个不等式的交集，得$-1 ＜ m ≤1$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)当$m ＜ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＞ 0$；当$m = -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 = 0$；当$m ＞ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＜ 0$；
(3)$-1 ＜ m ≤1$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数交点问题
【点评】
本题是二次函数综合题，前两问侧重基础，考查判别式的应用、代数式比较大小的方法，第三问考查二次函数与方程的结合，解题时需注意区间对根的限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1)要证明抛物线与x轴总有两个公共点，只需证明抛物线对应的一元二次方程的判别式Δ恒大于0即可，思路是令y=0得到关于x的一元二次方程，计算Δ并化简，判断其正负性。
(2)比较$y_1-y_2$与0的大小，先将两个点的横坐标分别代入抛物线解析式求出$y_1$、$y_2$，作差得到关于m的代数式，再根据代数式的性质分情况讨论大小。
(3)抛物线与直线在指定区间有两个公共点，等价于联立两个解析式得到的一元二次方程在区间$[-4,1]$上有两个不相等的实数根，先联立方程化简，再结合判别式大于0、区间端点处函数值非负列不等式组求解。
【解析】
(1)证明：令$y=0$，得方程$x^2 - (2m - 2)x + m^2 - 2m=0$，
判别式$\Delta = [-(2m-2)]^2 - 4×1×(m^2 - 2m) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 8m = 4 ＞ 0$，
因此不论m取何值，该一元二次方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴一定有两个公共点。
(2)解：
∵点$(2m, y_1)$、$(2m+1, y_2)$在抛物线上，
∴$y_1=(2m)^2 - (2m-2)·2m + m^2 - 2m = m^2 + 2m$，
$y_2=(2m+1)^2 - (2m-2)(2m+1) + m^2 - 2m = m^2 +4m +3$，
∴$y_1 - y_2 = (m^2 +2m) - (m^2 +4m +3) = -2m -3$。
当$-2m-3=0$时，$m=-\frac{3}{2}$；
∵$-2＜0$，
∴$y_1-y_2$随m的增大而减小，
∴当$m ＜ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＞ 0$；
当$m = -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 = 0$；
当$m ＞ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＜ 0$。
(3)解：联立抛物线与直线的解析式，得：
$x^2 - (2m - 2)x + m^2 - 2m = -2mx + m^2 +1$，
整理得$x^2 + 2x - 2m -1 = 0$，
由题意，该方程在$-4 ≤x ≤1$范围内有两个不相等的实数根，设$g(x)=x^2 +2x -2m -1$，其开口向上，对称轴为$x=-1$（在区间$[-4,1]$内），因此需满足：
$\begin{cases}\Delta = 2^2 -4×1×(-2m -1) ＞ 0 \\g(-4) = (-4)^2 + 2×(-4) -2m -1 ≥0 \\g(1) = 1^2 +2×1 -2m -1 ≥0\end{cases}$
分别解不等式：
第一个不等式：$4 +8m +4 ＞0 \implies m ＞ -1$；
第二个不等式：$16 -8 -2m -1 ≥0 \implies m ≤ \frac{7}{2}$；
第三个不等式：$1 +2 -2m -1 ≥0 \implies m ≤1$；
取三个不等式的交集，得$-1 ＜ m ≤1$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)当$m ＜ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＞ 0$；当$m = -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 = 0$；当$m ＞ -\frac{3}{2}$时，$y_1 - y_2 ＜ 0$；
(3)$-1 ＜ m ≤1$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数交点问题
【点评】
本题是二次函数综合题，前两问侧重基础，考查判别式的应用、代数式比较大小的方法，第三问考查二次函数与方程的结合，解题时需注意区间对根的限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
