登录
17. 如图, 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过 $A(2,6)$,$B(-3,-4)$两点.
(1)设直线 $AB$ 的表达式为 $y=ax+m$.
①求直线与抛物线的表达式；
②直接写出不等式 $ax+m＜x^2+bx+c$ 的解集.
(2)将抛物线位于 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折,若直线 $y=x+n$ 与抛物线新图象恰好有2个公共点,求 $n$ 的取值范围.
(1)设直线 $AB$ 的表达式为 $y=ax+m$.
①求直线与抛物线的表达式；
②直接写出不等式 $ax+m＜x^2+bx+c$ 的解集.
(2)将抛物线位于 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折,若直线 $y=x+n$ 与抛物线新图象恰好有2个公共点,求 $n$ 的取值范围.
答案
17. (1)①把$A(2,6),B(-3,-4)$分别代入$y=x^2+bx+c$可得,
$\begin{cases}4+2b+c=6,\\9-3b+c=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=3,\\c=-4,\end{cases}$则抛物线的表达式为$y=x^2+3x-4$.把$A(2,6),B(-3,-4)$分别代入$y=ax+m$可得,
$\begin{cases}2a+m=6,\\-3a+m=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\m=2,\end{cases}$则直线AB的表达式为$y=2x+2$.
②不等式$ax+m＜x^2+bx+c$的解集为$x＜-3$或$x＞2$.
(2)设抛物线与x轴交于P,Q两点,令$x^2+3x-4=0$,解得$x_1=1,x_2=-4$,故P,Q两点的坐标分别为$P(-4,0),Q(1,0)$.如图,当直线$y=x+n$经过P点时,可得$n=4$;当直线$y=x+n$经过Q点时,可得$n=-1$,
∴n的取值范围为$-1＜n＜4$.由条件知翻折后的二次函数(翻折部分)表达式为$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$.当直线$y=x+n$与二次函数$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$的图象只有一个交点时,$x+n=-x^2-3x+4$,整理得,$x^2+4x+n-4=0$,Δ=b²-4ac=16-4(n-4)=32-4n=0,解得$n=8$,
∴n的取值范围为$n＞8$.综上可知,符合题意的n的取值范围为$n＞8$或$-1＜n＜4$.
解析
【分析】
(1)①求直线和抛物线的表达式可采用待定系数法，将已知点A、B的坐标分别代入对应函数表达式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组即可得到系数，进而得到函数解析式。②不等式$ax+m＜x^2+bx+c$的几何意义是直线AB的图象位于抛物线图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标以及抛物线开口向上的性质，即可直接写出解集。
(2)首先求出原抛物线与x轴的两个交点P、Q的坐标，翻折x轴下方部分时，可根据关于x轴对称的点的坐标特征得到翻折部分的解析式，注意翻折部分自变量取值范围为$-4≤x≤1$。要使直线$y=x+n$与新图象恰好有2个公共点，分两类讨论：一是直线经过P、Q两点之间的区域；二是直线与翻折后的抛物线部分相切，结合判别式求出对应n值后再判断更大n的交点情况，综合两类情况即可得到n的取值范围。
【解析】
(1)①将$A(2,6)$、$B(-3,-4)$代入$y=x^2+bx+c$得：
$\begin{cases}4+2b+c=6\\9-3b+c=-4\end{cases}$
两式相减消去c得$-5+5b=10$，解得$b=3$，代入第一个方程得$c=-4$，因此抛物线表达式为$y=x^2+3x-4$。
将$A(2,6)$、$B(-3,-4)$代入$y=ax+m$得：
$\begin{cases}2a+m=6\\-3a+m=-4\end{cases}$
两式相减消去m得$5a=10$，解得$a=2$，代入第一个方程得$m=2$，因此直线AB的表达式为$y=2x+2$。
②因为抛物线开口向上，与直线AB交点的横坐标为$x=-3$和$x=2$，直线在抛物线下方的区域对应$x＜-3$或$x＞2$，即不等式的解集为$x＜-3$或$x＞2$。
(2)令$x^2+3x-4=0$，因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=1$，即抛物线与x轴交点为$P(-4,0)$、$Q(1,0)$。
翻折后x轴下方的抛物线解析式为$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$：
当直线$y=x+n$经过点P时，$0=-4+n$，得$n=4$；经过点Q时，$0=1+n$，得$n=-1$，此时当$-1＜n＜4$时，直线与新图象恰好有2个公共点。
联立$y=x+n$与$y=-x^2-3x+4$，整理得$x^2+4x+n-4=0$，当直线与翻折部分相切时，判别式$\Delta=4^2-4(n-4)=32-4n=0$，解得$n=8$，此时切点横坐标$x=-2$在$-4≤x≤1$范围内，符合要求；当$n＞8$时，直线与翻折部分无交点，与原抛物线未翻折部分有2个交点，也满足恰好2个公共点。
综上，n的取值范围是$n＞8$或$-1＜n＜4$。
【答案】
17. (1)①把$A(2,6),B(-3,-4)$分别代入$y=x^2+bx+c$可得,
$\begin{cases}4+2b+c=6,\\9-3b+c=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=3,\\c=-4,\end{cases}$则抛物线的表达式为$y=x^2+3x-4$.把$A(2,6),B(-3,-4)$分别代入$y=ax+m$可得,
$\begin{cases}2a+m=6,\\-3a+m=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\m=2,\end{cases}$则直线AB的表达式为$y=2x+2$.
②不等式$ax+m＜x^2+bx+c$的解集为$x＜-3$或$x＞2$.
(2)设抛物线与x轴交于P,Q两点,令$x^2+3x-4=0$,解得$x_1=1,x_2=-4$,故P,Q两点的坐标分别为$P(-4,0),Q(1,0)$.如图,当直线$y=x+n$经过P点时,可得$n=4$;当直线$y=x+n$经过Q点时,可得$n=-1$,
∴n的取值范围为$-1＜n＜4$.由条件知翻折后的二次函数(翻折部分)表达式为$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$.当直线$y=x+n$与二次函数$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$的图象只有一个交点时,$x+n=-x^2-3x+4$,整理得,$x^2+4x+n-4=0$,Δ=b²-4ac=16-4(n-4)=32-4n=0,解得$n=8$,
∴n的取值范围为$n＞8$.综上可知,符合题意的n的取值范围为$n＞8$或$-1＜n＜4$.
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.二次函数翻折变换
3.函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的核心知识，包含基础的解析式求解、函数图象与不等式的关系、图象翻折变换及交点个数的分类讨论，解题时要注意翻折部分的自变量取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1)①求直线和抛物线的表达式可采用待定系数法，将已知点A、B的坐标分别代入对应函数表达式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组即可得到系数，进而得到函数解析式。②不等式$ax+m＜x^2+bx+c$的几何意义是直线AB的图象位于抛物线图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标以及抛物线开口向上的性质，即可直接写出解集。
(2)首先求出原抛物线与x轴的两个交点P、Q的坐标，翻折x轴下方部分时，可根据关于x轴对称的点的坐标特征得到翻折部分的解析式，注意翻折部分自变量取值范围为$-4≤x≤1$。要使直线$y=x+n$与新图象恰好有2个公共点，分两类讨论：一是直线经过P、Q两点之间的区域；二是直线与翻折后的抛物线部分相切，结合判别式求出对应n值后再判断更大n的交点情况，综合两类情况即可得到n的取值范围。
【解析】
(1)①将$A(2,6)$、$B(-3,-4)$代入$y=x^2+bx+c$得：
$\begin{cases}4+2b+c=6\\9-3b+c=-4\end{cases}$
两式相减消去c得$-5+5b=10$，解得$b=3$，代入第一个方程得$c=-4$，因此抛物线表达式为$y=x^2+3x-4$。
将$A(2,6)$、$B(-3,-4)$代入$y=ax+m$得：
$\begin{cases}2a+m=6\\-3a+m=-4\end{cases}$
两式相减消去m得$5a=10$，解得$a=2$，代入第一个方程得$m=2$，因此直线AB的表达式为$y=2x+2$。
②因为抛物线开口向上，与直线AB交点的横坐标为$x=-3$和$x=2$，直线在抛物线下方的区域对应$x＜-3$或$x＞2$，即不等式的解集为$x＜-3$或$x＞2$。
(2)令$x^2+3x-4=0$，因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=1$，即抛物线与x轴交点为$P(-4,0)$、$Q(1,0)$。
翻折后x轴下方的抛物线解析式为$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$：
当直线$y=x+n$经过点P时，$0=-4+n$，得$n=4$；经过点Q时，$0=1+n$，得$n=-1$，此时当$-1＜n＜4$时，直线与新图象恰好有2个公共点。
联立$y=x+n$与$y=-x^2-3x+4$，整理得$x^2+4x+n-4=0$，当直线与翻折部分相切时，判别式$\Delta=4^2-4(n-4)=32-4n=0$，解得$n=8$，此时切点横坐标$x=-2$在$-4≤x≤1$范围内，符合要求；当$n＞8$时，直线与翻折部分无交点，与原抛物线未翻折部分有2个交点，也满足恰好2个公共点。
综上，n的取值范围是$n＞8$或$-1＜n＜4$。
【答案】
17. (1)①把$A(2,6),B(-3,-4)$分别代入$y=x^2+bx+c$可得,
$\begin{cases}4+2b+c=6,\\9-3b+c=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=3,\\c=-4,\end{cases}$则抛物线的表达式为$y=x^2+3x-4$.把$A(2,6),B(-3,-4)$分别代入$y=ax+m$可得,
$\begin{cases}2a+m=6,\\-3a+m=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\m=2,\end{cases}$则直线AB的表达式为$y=2x+2$.
②不等式$ax+m＜x^2+bx+c$的解集为$x＜-3$或$x＞2$.
(2)设抛物线与x轴交于P,Q两点,令$x^2+3x-4=0$,解得$x_1=1,x_2=-4$,故P,Q两点的坐标分别为$P(-4,0),Q(1,0)$.如图,当直线$y=x+n$经过P点时,可得$n=4$;当直线$y=x+n$经过Q点时,可得$n=-1$,
∴n的取值范围为$-1＜n＜4$.由条件知翻折后的二次函数(翻折部分)表达式为$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$.当直线$y=x+n$与二次函数$y=-x^2-3x+4(-4≤x≤1)$的图象只有一个交点时,$x+n=-x^2-3x+4$,整理得,$x^2+4x+n-4=0$,Δ=b²-4ac=16-4(n-4)=32-4n=0,解得$n=8$,
∴n的取值范围为$n＞8$.综上可知,符合题意的n的取值范围为$n＞8$或$-1＜n＜4$.
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.二次函数翻折变换
3.函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数与二次函数的核心知识，包含基础的解析式求解、函数图象与不等式的关系、图象翻折变换及交点个数的分类讨论，解题时要注意翻折部分的自变量取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.5
18. 对于一些比较复杂的方程,可以利用函数图象来研究方程的根.
问题:探究方程$2x(|x|-2)=1$的实数根的情况.
下面是小董同学的探究过程,请帮她补全:
(1)设函数$y=2x(|x|-2)$,这个函数的图象与直线$y = 1$的交点的横坐标就是方程$2x(|x|-2)=1$的实数根.
(2)注意到函数表达式中含有绝对值,所以可得:
当$x≤0$时,$y=-2x^2 -4x$；
当$x＞0$时,$y=$
(3)在如图的坐标系中,已经画出了当$x≤0$时的函数图象,请根据(2)中的表达式,通过描点,连线,画出当$x＞0$时的函数图象.
(4)画出直线$y=1$,由此可知$2x(|x|-2)=1$的实数根有
(5)深入探究:若关于$x$的方程$x(|x|-2)=\frac{m}{2}$有三个不相等的实数根,且这三个实数根的和为负数,求$m$的取值范围.
问题:探究方程$2x(|x|-2)=1$的实数根的情况.
下面是小董同学的探究过程,请帮她补全:
(1)设函数$y=2x(|x|-2)$,这个函数的图象与直线$y = 1$的交点的横坐标就是方程$2x(|x|-2)=1$的实数根.
(2)注意到函数表达式中含有绝对值,所以可得:
当$x≤0$时,$y=-2x^2 -4x$；
当$x＞0$时,$y=$
$2x^2-4x$
.(3)在如图的坐标系中,已经画出了当$x≤0$时的函数图象,请根据(2)中的表达式,通过描点,连线,画出当$x＞0$时的函数图象.
(4)画出直线$y=1$,由此可知$2x(|x|-2)=1$的实数根有
$3$
个.(5)深入探究:若关于$x$的方程$x(|x|-2)=\frac{m}{2}$有三个不相等的实数根,且这三个实数根的和为负数,求$m$的取值范围.
答案
18. (2)$2x^2-4x$ 解析:当$x＞0$时,$|x|=x$,
∴$y=2x(|x|-2)=2x(x-2)=2x^2-4x$.
(3)如图①.
(4)$3$ 解析:直线$y=1$与$y=2x(|x|-2)$有3个交点,故方程$2x(|x|-2)=1$的实数根有3个.
(5)题中方程可化为$2x(|x|-2)=m$.①当$m＞0$时,画直线$y=m_1$,如图②,可知三个根满足$x_1＜x_2＜0＜x_3$且$x_1+x_2=-2$,$x_3＞2$,则$x_1+x_2+x_3＞0$,不符合题意;②当$m=0$时,可得$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$,则$x_1+x_2+x_3=0$,不符合题意;③当$m＜0$时,画直线$y=m$如图②,可知三个根满足$x_1＜0＜x_2＜x_3$,且$x_2+x_3=2$,$x_1＜-2$,
∴$x_1+x_2+x_3＜0$,
∴$-2＜m＜0$,
∴关于x的方程$x(|x|-2)=\frac{m}{2}$有三个不相等的实数根,且这三个实数根的和为负数,则m的取值范围是$-2＜m＜0$.
解析
【分析】
本题采用数形结合思想探究含绝对值的方程的根的情况，解题思路如下：1. 化简分段函数：分x≤0和x＞0两种情况去绝对值，化简得到x＞0时的函数表达式；2. 绘制函数图象：根据x＞0时二次函数的顶点、与坐标轴交点等特征，描点连线画出对应部分图象；3. 判断根的个数：方程的根对应函数图象与直线y=1的交点横坐标，数交点个数即可得到根的个数；4. 探究参数范围：将方程转化为分段函数与直线y=m的交点问题，结合二次函数的对称性分析三个根的和的正负，分情况讨论同时结合函数最值确定m的取值范围。
【解析】
(2) 当$x＞0$时，$|x|=x$，代入函数表达式可得：
$y=2x(|x|-2)=2x(x-2)=2x^2-4x$。
(3) $x＞0$时，$y=2x^2-4x$是开口向上的二次函数，对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$，与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$，描点连线画出图象，结果如图①所示。
(4) 画出直线$y=1$，观察图象可得直线$y=1$与函数$y=2x(|x|-2)$的图象共有3个交点，因此方程$2x(|x|-2)=1$的实数根有3个。
(5) 将方程$x(|x|-2)=\frac{m}{2}$两边同乘2，可化为$2x(|x|-2)=m$，即函数$y=2x(|x|-2)$与直线$y=m$的交点横坐标为方程的根：
① 当$m＞0$时，直线$y=m$与函数图象交于3个点，对应根满足$x_1＜x_2＜0＜x_3$：$x≤0$时的二次函数$y=-2x^2-4x$对称轴为$x=-1$，由二次函数对称性得$x_1+x_2=-2$；由图象可知$x_3＞2$，因此$x_1+x_2+x_3=-2+x_3＞0$，不符合三根和为负数的要求；
② 当$m=0$时，方程的根为$x_1=-2$，$x_2=0$，$x_3=2$，三根之和为0，不符合要求；
③ 当$m＜0$时，直线$y=m$与函数图象交于3个点，对应根满足$x_1＜0＜x_2＜x_3$：$x＞0$时的二次函数$y=2x^2-4x$对称轴为$x=1$，由对称性得$x_2+x_3=2$；由图象可知$x_1＜-2$，因此$x_1+x_2+x_3=x_1+2＜0$，符合要求；
若要存在三个不相等的实数根，直线$y=m$需在$x＞0$时二次函数的最小值$-2$的上方，即$m＞-2$。
综上，$m$的取值范围是$-2＜m＜0$。
【答案】
(2) $2x^2-4x$
(3) 如图①
(4) $3$
(5) $-2＜m＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，分段函数，二次函数的对称性
【点评】
本题将方程的根转化为函数图象的交点问题，考查了数形结合与分类讨论思想的应用，需要熟练掌握二次函数的对称性、最值等性质，才能快速分析出参数的取值范围。
【难度系数】
0.6
本题采用数形结合思想探究含绝对值的方程的根的情况，解题思路如下：1. 化简分段函数：分x≤0和x＞0两种情况去绝对值，化简得到x＞0时的函数表达式；2. 绘制函数图象：根据x＞0时二次函数的顶点、与坐标轴交点等特征，描点连线画出对应部分图象；3. 判断根的个数：方程的根对应函数图象与直线y=1的交点横坐标，数交点个数即可得到根的个数；4. 探究参数范围：将方程转化为分段函数与直线y=m的交点问题，结合二次函数的对称性分析三个根的和的正负，分情况讨论同时结合函数最值确定m的取值范围。
【解析】
(2) 当$x＞0$时，$|x|=x$，代入函数表达式可得：
$y=2x(|x|-2)=2x(x-2)=2x^2-4x$。
(3) $x＞0$时，$y=2x^2-4x$是开口向上的二次函数，对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$，与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$，描点连线画出图象，结果如图①所示。
(4) 画出直线$y=1$，观察图象可得直线$y=1$与函数$y=2x(|x|-2)$的图象共有3个交点，因此方程$2x(|x|-2)=1$的实数根有3个。
(5) 将方程$x(|x|-2)=\frac{m}{2}$两边同乘2，可化为$2x(|x|-2)=m$，即函数$y=2x(|x|-2)$与直线$y=m$的交点横坐标为方程的根：
① 当$m＞0$时，直线$y=m$与函数图象交于3个点，对应根满足$x_1＜x_2＜0＜x_3$：$x≤0$时的二次函数$y=-2x^2-4x$对称轴为$x=-1$，由二次函数对称性得$x_1+x_2=-2$；由图象可知$x_3＞2$，因此$x_1+x_2+x_3=-2+x_3＞0$，不符合三根和为负数的要求；
② 当$m=0$时，方程的根为$x_1=-2$，$x_2=0$，$x_3=2$，三根之和为0，不符合要求；
③ 当$m＜0$时，直线$y=m$与函数图象交于3个点，对应根满足$x_1＜0＜x_2＜x_3$：$x＞0$时的二次函数$y=2x^2-4x$对称轴为$x=1$，由对称性得$x_2+x_3=2$；由图象可知$x_1＜-2$，因此$x_1+x_2+x_3=x_1+2＜0$，符合要求；
若要存在三个不相等的实数根，直线$y=m$需在$x＞0$时二次函数的最小值$-2$的上方，即$m＞-2$。
综上，$m$的取值范围是$-2＜m＜0$。
【答案】
(2) $2x^2-4x$
(3) 如图①
(4) $3$
(5) $-2＜m＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，分段函数，二次函数的对称性
【点评】
本题将方程的根转化为函数图象的交点问题，考查了数形结合与分类讨论思想的应用，需要熟练掌握二次函数的对称性、最值等性质，才能快速分析出参数的取值范围。
【难度系数】
0.6
