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1. | 教材P36练习T1变式 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为 (
A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
B
)A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
答案
解析:设一条直角边为 x cm,则另一条为 (20-x) cm,
∴ $S=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$.
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,
∴ 当 $x=10$ 时,$S_{最大}=\frac{1}{2}×10×10=50(\mathrm{cm}^2)$.故选 B.
∴ $S=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$.
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,
∴ 当 $x=10$ 时,$S_{最大}=\frac{1}{2}×10×10=50(\mathrm{cm}^2)$.故选 B.
解析
【分析】
要解决这个问题，可按以下思路思考：第一步，回忆直角三角形的面积公式，面积等于两直角边乘积的一半；第二步，已知两直角边之和为20cm，设其中一条直角边长为x cm，用含x的式子表示出另一条直角边的长度；第三步，将两条直角边代入面积公式，得到面积S关于x的二次函数表达式；第四步，结合二次函数的性质，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，同时验证边长的取值范围包含顶点横坐标，即可求出最大面积。
【解析】
设一条直角边的长度为x cm，则另一条直角边的长度为$(20-x)\ \mathrm{cm}$（$0＜x＜20$）。
根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理为顶点式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$
∵ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 该二次函数图象开口向下，当$x=10$时，S取得最大值，
最大值为$S_{最大}=50\ \mathrm{cm}^2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题将几何图形的面积计算与二次函数的最值应用相结合，解题的核心是通过设未知数建立面积与边长的函数关系，再利用二次函数的性质求解，解题时需要注意自变量的实际取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，可按以下思路思考：第一步，回忆直角三角形的面积公式，面积等于两直角边乘积的一半；第二步，已知两直角边之和为20cm，设其中一条直角边长为x cm，用含x的式子表示出另一条直角边的长度；第三步，将两条直角边代入面积公式，得到面积S关于x的二次函数表达式；第四步，结合二次函数的性质，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，同时验证边长的取值范围包含顶点横坐标，即可求出最大面积。
【解析】
设一条直角边的长度为x cm，则另一条直角边的长度为$(20-x)\ \mathrm{cm}$（$0＜x＜20$）。
根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理为顶点式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$
∵ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴ 该二次函数图象开口向下，当$x=10$时，S取得最大值，
最大值为$S_{最大}=50\ \mathrm{cm}^2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形面积计算；二次函数的最值；二次函数实际应用
【点评】
本题将几何图形的面积计算与二次函数的最值应用相结合，解题的核心是通过设未知数建立面积与边长的函数关系，再利用二次函数的性质求解，解题时需要注意自变量的实际取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2. 为了节省材料,某花农利用一面靠墙的空地(墙足够长),用总长为40 m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,其中$AE=2BE$.设$BC$的长度为$x$ m,矩形区域$ABCD$的面积为$y$ m².
(1)求$BE$的长(用含$x$的代数式表示);
(2)求$y$与$x$的函数表达式,并求矩形区域$ABCD$的面积的最大值.
(1)求$BE$的长(用含$x$的代数式表示);
(2)求$y$与$x$的函数表达式,并求矩形区域$ABCD$的面积的最大值.
答案
(1)
∵ $AE=2BE$,设 $BE=a$ m,则 $AE=2a$ m,$AB=3a$ m,由矩形的性质可知 $8a + 2x = 40$,
∴ $a = -\frac{1}{4}x + 5$, 即 $BE = (-\frac{1}{4}x +5 )\mathrm{m}$.
(2)由(1)可知,矩形区域 $ABCD$ 的面积为 $y=AE·EF+BE·BC=2a · x +a · x = 3ax = 3(-\frac{1}{4}x +5 ) x$, 即 $y = -\frac{3}{4}x^2 +15x$.
∵ $a = -\frac{1}{4}x + 5 ＞ 0$,
∴ $0＜x＜20$, 即 $y = -\frac{3}{4}x^2 + 15x = -\frac{3}{4}(x-10)^2+75(0＜x＜20)$.
∵ $-\frac{3}{4}＜0$,
∴ 当 $x=10$ 时,矩形区域 $ABCD$ 的面积的最大值为 $75\ \mathrm{m}^2$.
∵ $AE=2BE$,设 $BE=a$ m,则 $AE=2a$ m,$AB=3a$ m,由矩形的性质可知 $8a + 2x = 40$,
∴ $a = -\frac{1}{4}x + 5$, 即 $BE = (-\frac{1}{4}x +5 )\mathrm{m}$.
(2)由(1)可知,矩形区域 $ABCD$ 的面积为 $y=AE·EF+BE·BC=2a · x +a · x = 3ax = 3(-\frac{1}{4}x +5 ) x$, 即 $y = -\frac{3}{4}x^2 +15x$.
∵ $a = -\frac{1}{4}x + 5 ＞ 0$,
∴ $0＜x＜20$, 即 $y = -\frac{3}{4}x^2 + 15x = -\frac{3}{4}(x-10)^2+75(0＜x＜20)$.
∵ $-\frac{3}{4}＜0$,
∴ 当 $x=10$ 时,矩形区域 $ABCD$ 的面积的最大值为 $75\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 要求BE的长，先设BE为$a\ \mathrm{m}$，由$AE=2BE$可得$AE=2a\ \mathrm{m}$，$AB=3a\ \mathrm{m}$。梳理篱笆总长的组成：平行于墙的水平段篱笆有DC（长$3a$）、HG（长$2a$）、AB（长$3a$），总长为$8a$；垂直于墙的竖直段篱笆有FE、BC，两段长度都为$x\ \mathrm{m}$，总长为$2x$。结合篱笆总长$40\ \mathrm{m}$列方程，即可解出$a$得到BE的长度。
(2) 矩形ABCD的面积为$AB× BC$，$AB=3a$，$BC=x$，因此$y=3a· x$，将(1)中得到的$a$代入即可得到$y$与$x$的函数表达式。再根据线段长度为正求出$x$的取值范围，将二次函数化为顶点式，结合开口方向即可求出面积最大值。
【解析】
(1) 设$BE=a\ \mathrm{m}$，
$\because AE=2BE$，
$\therefore AE=2a\ \mathrm{m}$，$AB=AE+BE=3a\ \mathrm{m}$，
由篱笆总长为$40\ \mathrm{m}$可得：$8a+2x=40$，
解得$a=-\frac{1}{4}x+5$，
即$BE=(-\frac{1}{4}x+5)\mathrm{m}$。
(2) 矩形$ABCD$的面积$y=AB· BC=3a· x$，
将$a=-\frac{1}{4}x+5$代入得：
$y=3(-\frac{1}{4}x+5)x=-\frac{3}{4}x^2+15x$，
$\because$线段长度为正，$\therefore a=-\frac{1}{4}x+5＞0$，解得$x＜20$，结合$x＞0$，得自变量取值范围为$0＜x＜20$，
将函数化为顶点式：
$y=-\frac{3}{4}x^2+15x=-\frac{3}{4}(x-10)^2+75$，
$\because -\frac{3}{4}＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为$75\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $BE=(-\frac{1}{4}x+5)\mathrm{m}$；
(2) $y$与$x$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x^2+15x(0＜x＜20)$，矩形区域$ABCD$的面积的最大值为$75\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
列代数式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算，考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确梳理篱笆的组成段数，找到等量关系列代数式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值。
【难度系数】
0.6
(1) 要求BE的长，先设BE为$a\ \mathrm{m}$，由$AE=2BE$可得$AE=2a\ \mathrm{m}$，$AB=3a\ \mathrm{m}$。梳理篱笆总长的组成：平行于墙的水平段篱笆有DC（长$3a$）、HG（长$2a$）、AB（长$3a$），总长为$8a$；垂直于墙的竖直段篱笆有FE、BC，两段长度都为$x\ \mathrm{m}$，总长为$2x$。结合篱笆总长$40\ \mathrm{m}$列方程，即可解出$a$得到BE的长度。
(2) 矩形ABCD的面积为$AB× BC$，$AB=3a$，$BC=x$，因此$y=3a· x$，将(1)中得到的$a$代入即可得到$y$与$x$的函数表达式。再根据线段长度为正求出$x$的取值范围，将二次函数化为顶点式，结合开口方向即可求出面积最大值。
【解析】
(1) 设$BE=a\ \mathrm{m}$，
$\because AE=2BE$，
$\therefore AE=2a\ \mathrm{m}$，$AB=AE+BE=3a\ \mathrm{m}$，
由篱笆总长为$40\ \mathrm{m}$可得：$8a+2x=40$，
解得$a=-\frac{1}{4}x+5$，
即$BE=(-\frac{1}{4}x+5)\mathrm{m}$。
(2) 矩形$ABCD$的面积$y=AB· BC=3a· x$，
将$a=-\frac{1}{4}x+5$代入得：
$y=3(-\frac{1}{4}x+5)x=-\frac{3}{4}x^2+15x$，
$\because$线段长度为正，$\therefore a=-\frac{1}{4}x+5＞0$，解得$x＜20$，结合$x＞0$，得自变量取值范围为$0＜x＜20$，
将函数化为顶点式：
$y=-\frac{3}{4}x^2+15x=-\frac{3}{4}(x-10)^2+75$，
$\because -\frac{3}{4}＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为$75\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $BE=(-\frac{1}{4}x+5)\mathrm{m}$；
(2) $y$与$x$的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x^2+15x(0＜x＜20)$，矩形区域$ABCD$的面积的最大值为$75\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
列代数式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算，考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确梳理篱笆的组成段数，找到等量关系列代数式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{mm}$,$BC=12\ \mathrm{mm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向$B$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度移动(不与点$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向$C$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度移动(不与点$C$重合).如果$P,Q$分别从$A,B$同时出发,要使四边形$APQC$的面积最小,那么需经过 (
A.$0.5\ \mathrm{s}$
B.$1.5\ \mathrm{s}$
C.$3\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$
B
)A.$0.5\ \mathrm{s}$
B.$1.5\ \mathrm{s}$
C.$3\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$
答案
解析:
∵ $△ABC$ 面积为定值,
∴ 当$△PBQ$ 面积最大时,四边形 $APQC$ 的面积最小.设时间为 $t$ s,则 $BP=(6-2t)$ mm,$BQ=4t$ mm,
∴ $S_{△PBQ} = \frac{1}{2} · BP · BQ = \frac{1}{2} × (6-2t) × 4t$,
∴ $S_{△PBQ} = -4t^2+12t = -4(t-1.5)^2+9$,
∴ 当 $t = 1.5$ 时,$△PBQ$ 面积最大,此时四边形 $APQC$ 的面积最小.故选 B.
∵ $△ABC$ 面积为定值,
∴ 当$△PBQ$ 面积最大时,四边形 $APQC$ 的面积最小.设时间为 $t$ s,则 $BP=(6-2t)$ mm,$BQ=4t$ mm,
∴ $S_{△PBQ} = \frac{1}{2} · BP · BQ = \frac{1}{2} × (6-2t) × 4t$,
∴ $S_{△PBQ} = -4t^2+12t = -4(t-1.5)^2+9$,
∴ 当 $t = 1.5$ 时,$△PBQ$ 面积最大,此时四边形 $APQC$ 的面积最小.故选 B.
解析
【分析】
要解决四边形APQC面积最小的问题，首先观察到△ABC的面积是固定值，因此四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，所以只需让△PBQ的面积最大即可。接下来设运动时间为t s，先根据动点的速度和移动方向用含t的代数式表示出BP、BQ的长度，再结合三角形面积公式写出△PBQ的面积关于t的函数表达式，该函数是二次函数，利用二次函数求最值的方法找到面积最大时对应的t值，同时验证t是否符合动点的运动范围要求即可。
【解析】
解：设运动时间为$t$ s，根据题意可知$0＜t＜3$：P不与B重合故$6-2t＞0$即$t＜3$，Q不与C重合故$4t＜12$即$t＜3$。
已知△ABC的面积为定值，因此当△PBQ的面积最大时，四边形APQC的面积最小。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，
∴ $BP = AB - AP = (6 - 2t)\ \mathrm{mm}$，
∵ $∠ B=90°$，
∴ $S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · BP · BQ = \frac{1}{2} × (6-2t) × 4t$
整理得：$S_{△ PBQ} = -4t^2 + 12t$
配方得：$S_{△ PBQ} = -4(t - 1.5)^2 + 9$
∵ 二次项系数$-4＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$t=1.5$时，$S_{△ PBQ}$取得最大值，此时四边形APQC的面积最小，且$t=1.5$符合$0＜t＜3$的取值要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值、三角形面积计算、动点问题
【点评】
本题将几何动点问题与二次函数应用相结合，解题核心是将不规则四边形的面积最值问题转化为三角形面积最值问题，通过建立二次函数模型，用配方法求最值即可得到结果，解题时需注意自变量的取值范围要符合动点的运动限制。
【难度系数】
0.7
要解决四边形APQC面积最小的问题，首先观察到△ABC的面积是固定值，因此四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，所以只需让△PBQ的面积最大即可。接下来设运动时间为t s，先根据动点的速度和移动方向用含t的代数式表示出BP、BQ的长度，再结合三角形面积公式写出△PBQ的面积关于t的函数表达式，该函数是二次函数，利用二次函数求最值的方法找到面积最大时对应的t值，同时验证t是否符合动点的运动范围要求即可。
【解析】
解：设运动时间为$t$ s，根据题意可知$0＜t＜3$：P不与B重合故$6-2t＞0$即$t＜3$，Q不与C重合故$4t＜12$即$t＜3$。
已知△ABC的面积为定值，因此当△PBQ的面积最大时，四边形APQC的面积最小。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，
∴ $BP = AB - AP = (6 - 2t)\ \mathrm{mm}$，
∵ $∠ B=90°$，
∴ $S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} · BP · BQ = \frac{1}{2} × (6-2t) × 4t$
整理得：$S_{△ PBQ} = -4t^2 + 12t$
配方得：$S_{△ PBQ} = -4(t - 1.5)^2 + 9$
∵ 二次项系数$-4＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$t=1.5$时，$S_{△ PBQ}$取得最大值，此时四边形APQC的面积最小，且$t=1.5$符合$0＜t＜3$的取值要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值、三角形面积计算、动点问题
【点评】
本题将几何动点问题与二次函数应用相结合，解题核心是将不规则四边形的面积最值问题转化为三角形面积最值问题，通过建立二次函数模型，用配方法求最值即可得到结果，解题时需注意自变量的取值范围要符合动点的运动限制。
【难度系数】
0.7
4. 将一根长 20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,设其中一段铁丝长为 4x cm,两个正方形的面积和为 $ y \ \mathrm{cm}^2 $.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式.
(2)要使这两个正方形面积之和为 $ 17 \ \mathrm{cm}^2 $,那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(3)要使这两个正方形面积之和最小,则这根铁丝剪成两段后的长度各是多少?这两个正方形面积之和最小为多少?
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式.
(2)要使这两个正方形面积之和为 $ 17 \ \mathrm{cm}^2 $,那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(3)要使这两个正方形面积之和最小,则这根铁丝剪成两段后的长度各是多少?这两个正方形面积之和最小为多少?
答案
(1)设一段铁丝的长度为 4x cm,则另一段长为$(20-4x)\mathrm{cm}$,则两个正方形的边长分别为 $x$ cm,$\frac{1}{4}(20-4x)=(5-x)\mathrm{cm}$,则 $y=x^2+(5-x)(5-x)=2x^2-10x+25(0＜x＜5)$.
(2)当 $y=17$ 时,即 $2x^2-10x+25=17$,解得 $x=1$ 或 $x=4$.故这根铁丝剪成两段后的长度分别是 4 cm,16 cm.
(3)
∵ $y = 2x^2 - 10x + 25 = 2(x - \frac{5}{2} )^2 + 12.5$,
∴ 当 $x = \frac{5}{2}$ 时$y_{最小}=12.5$,此时剪成的两段铁丝分别长 $\frac{5}{2}×4=10(\mathrm{cm})$,$20-10=10(\mathrm{cm})$,
∴ 剪成两段长度均为 10 cm 的铁丝时,这两个正方形的面积之和最小,最小面积之和为 $12.5\ \mathrm{cm}^2$.
(2)当 $y=17$ 时,即 $2x^2-10x+25=17$,解得 $x=1$ 或 $x=4$.故这根铁丝剪成两段后的长度分别是 4 cm,16 cm.
(3)
∵ $y = 2x^2 - 10x + 25 = 2(x - \frac{5}{2} )^2 + 12.5$,
∴ 当 $x = \frac{5}{2}$ 时$y_{最小}=12.5$,此时剪成的两段铁丝分别长 $\frac{5}{2}×4=10(\mathrm{cm})$,$20-10=10(\mathrm{cm})$,
∴ 剪成两段长度均为 10 cm 的铁丝时,这两个正方形的面积之和最小,最小面积之和为 $12.5\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数表达式时，先根据两段铁丝的周长分别计算两个正方形的边长：一段铁丝长为4x cm，对应正方形边长为周长除以4即x cm；另一段铁丝长为(20-4x)cm，对应正方形边长为(20-4x)÷4=(5-x)cm，再将两个正方形的面积相加即可得到函数表达式，同时结合两段铁丝长度均为正，可确定x的取值范围。
(2) 求面积和为17 cm²时两段铁丝的长度，只需将y=17代入(1)得到的函数表达式，解关于x的一元二次方程，再根据x的值计算两段铁丝的长度即可。
(3) 求面积和的最小值，本质是求开口向上的二次函数的顶点最小值，可通过配方法将函数化为顶点式，找到取最小值时x的值，再计算对应两段铁丝的长度和最小面积。
【解析】
(1) 由题意得，一段铁丝长为4x cm，则另一段铁丝长为$(20-4x)\mathrm{cm}$。
两个正方形的边长分别为：$4x÷4=x\ \mathrm{cm}$，$(20-4x)÷4=(5-x)\mathrm{cm}$。
因此面积和：
$y=x^2+(5-x)^2=x^2+25-10x+x^2=2x^2-10x+25$
结合实际意义，两段铁丝长度均大于0，即$4x＞0$且$20-4x＞0$，解得$0＜x＜5$。
(2) 当$y=17$时，代入函数表达式得：
$2x^2-10x+25=17$
整理得$x^2-5x+4=0$，因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
当$x=1$时，$4x=4\ \mathrm{cm}$，另一段长$20-4=16\ \mathrm{cm}$；
当$x=4$时，$4x=16\ \mathrm{cm}$，另一段长$20-16=4\ \mathrm{cm}$。
(3) 将函数配方得：
$y=2x^2-10x+25=2(x-\frac{5}{2})^2+12.5$
∵二次项系数$2＞0$，函数图象开口向上，
∴当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取得最小值$12.5$。
此时一段铁丝长为$4×\frac{5}{2}=10\ \mathrm{cm}$，另一段长为$20-10=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=2x^2-10x+25(0＜x＜5)$
(2) 4 cm，16 cm
(3) 两段长度均为10 cm，最小面积和为$12.5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的求解；二次函数的最值
【点评】
本题结合几何实际场景，综合考查了函数解析式构建、方程求解及二次函数最值计算，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，是函数模块的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数表达式时，先根据两段铁丝的周长分别计算两个正方形的边长：一段铁丝长为4x cm，对应正方形边长为周长除以4即x cm；另一段铁丝长为(20-4x)cm，对应正方形边长为(20-4x)÷4=(5-x)cm，再将两个正方形的面积相加即可得到函数表达式，同时结合两段铁丝长度均为正，可确定x的取值范围。
(2) 求面积和为17 cm²时两段铁丝的长度，只需将y=17代入(1)得到的函数表达式，解关于x的一元二次方程，再根据x的值计算两段铁丝的长度即可。
(3) 求面积和的最小值，本质是求开口向上的二次函数的顶点最小值，可通过配方法将函数化为顶点式，找到取最小值时x的值，再计算对应两段铁丝的长度和最小面积。
【解析】
(1) 由题意得，一段铁丝长为4x cm，则另一段铁丝长为$(20-4x)\mathrm{cm}$。
两个正方形的边长分别为：$4x÷4=x\ \mathrm{cm}$，$(20-4x)÷4=(5-x)\mathrm{cm}$。
因此面积和：
$y=x^2+(5-x)^2=x^2+25-10x+x^2=2x^2-10x+25$
结合实际意义，两段铁丝长度均大于0，即$4x＞0$且$20-4x＞0$，解得$0＜x＜5$。
(2) 当$y=17$时，代入函数表达式得：
$2x^2-10x+25=17$
整理得$x^2-5x+4=0$，因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
当$x=1$时，$4x=4\ \mathrm{cm}$，另一段长$20-4=16\ \mathrm{cm}$；
当$x=4$时，$4x=16\ \mathrm{cm}$，另一段长$20-16=4\ \mathrm{cm}$。
(3) 将函数配方得：
$y=2x^2-10x+25=2(x-\frac{5}{2})^2+12.5$
∵二次项系数$2＞0$，函数图象开口向上，
∴当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取得最小值$12.5$。
此时一段铁丝长为$4×\frac{5}{2}=10\ \mathrm{cm}$，另一段长为$20-10=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=2x^2-10x+25(0＜x＜5)$
(2) 4 cm，16 cm
(3) 两段长度均为10 cm，最小面积和为$12.5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的求解；二次函数的最值
【点评】
本题结合几何实际场景，综合考查了函数解析式构建、方程求解及二次函数最值计算，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，是函数模块的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ 如图,等腰直角△EFG以2 cm/s的速度沿直线l向正方形移动,直到EF与BC重合,当运动时间为x s时,△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为y cm²,下列图象中能反映y与x的函数关系的是 (
C
)答案
解析:如图①,当 $x≤5$ 时,重叠部分为三角形,面积 $y= \frac{1}{2} · 2x · 2x = 2x^2$.
如图②,当 $5＜x≤10$ 时,重叠部分为梯形,面积 $y= \frac{1}{2} ×10×10 - \frac{1}{2} (2x-10)^2 = -2(x-5)^2+50$,
∴ 图象为两段二次函数图象,第一段开口向上,第二段开口向下,函数的最大值为 50,观察各选项,只有 C 选项符合.故选 C.
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：等腰直角△EFG直角边长为10cm，以2cm/s的速度向边长为10cm的正方形移动，需分阶段分析重叠部分的图形形状：
1. 第一阶段：运动时间$0≤ x≤5$时，三角形逐渐进入正方形，重叠部分是直角边长为$2x$的等腰直角三角形，可直接用三角形面积公式推导函数关系；
2. 第二阶段：运动时间$5＜x≤10$时，三角形部分露出正方形外，重叠面积等于大等腰直角三角形面积减去露出的小等腰直角三角形面积，据此推导第二段函数关系。
最后结合两段函数的图象性质匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知等腰直角△EFG直角边长为10cm，移动速度为2cm/s，分两种情况讨论：
1. 当$0≤ x≤5$时，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长等于三角形移动的距离$2x$cm，
$\therefore y=\frac{1}{2} × 2x × 2x = 2x^2$，此段为开口向上的二次函数；
2. 当$5＜x≤10$时，重叠部分面积为大等腰直角三角形面积减去正方形外的小等腰直角三角形面积，小三角形的直角边长为$(2x-10)$cm，
$\therefore y=\frac{1}{2} ×10×10 - \frac{1}{2}(2x-10)^2 = -2(x-5)^2+50$，此段为开口向下的二次函数。
综上，函数图象由两段二次函数组成，第一段开口向上，第二段开口向下，函数最大值为50，对比选项只有C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
动点函数图象、二次函数应用、重叠面积计算
【点评】
本题考查动态几何中的函数图象判断，解题核心是分阶段明确重叠图形的形状，结合面积公式推导函数解析式，再利用二次函数的图象性质筛选选项，能有效考查分类讨论和数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时先明确已知条件：等腰直角△EFG直角边长为10cm，以2cm/s的速度向边长为10cm的正方形移动，需分阶段分析重叠部分的图形形状：
1. 第一阶段：运动时间$0≤ x≤5$时，三角形逐渐进入正方形，重叠部分是直角边长为$2x$的等腰直角三角形，可直接用三角形面积公式推导函数关系；
2. 第二阶段：运动时间$5＜x≤10$时，三角形部分露出正方形外，重叠面积等于大等腰直角三角形面积减去露出的小等腰直角三角形面积，据此推导第二段函数关系。
最后结合两段函数的图象性质匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知等腰直角△EFG直角边长为10cm，移动速度为2cm/s，分两种情况讨论：
1. 当$0≤ x≤5$时，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长等于三角形移动的距离$2x$cm，
$\therefore y=\frac{1}{2} × 2x × 2x = 2x^2$，此段为开口向上的二次函数；
2. 当$5＜x≤10$时，重叠部分面积为大等腰直角三角形面积减去正方形外的小等腰直角三角形面积，小三角形的直角边长为$(2x-10)$cm，
$\therefore y=\frac{1}{2} ×10×10 - \frac{1}{2}(2x-10)^2 = -2(x-5)^2+50$，此段为开口向下的二次函数。
综上，函数图象由两段二次函数组成，第一段开口向上，第二段开口向下，函数最大值为50，对比选项只有C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
动点函数图象、二次函数应用、重叠面积计算
【点评】
本题考查动态几何中的函数图象判断，解题核心是分阶段明确重叠图形的形状，结合面积公式推导函数解析式，再利用二次函数的图象性质筛选选项，能有效考查分类讨论和数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
